§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用.明目标、知重点,1.倍角公式(1)S2α：sin2α＝，sincos＝；(2)C2α：cos2α＝＝＝；(3)T2α：tan2α＝.2sinαcosα填要点·记疑点sinαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α,2.倍角公式常用变形(1)＝，＝；(2)(sinα±cosα)2＝；(3)sin2α＝，cos2α＝；(4)1－cosα＝,1＋cosα＝.cosα1±sin2αsinα,探要点·究所然情境导学在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos20°cos70°＋sin20°sin70°，你还能利用诱导公式将70°换为20°吗？当然能换！换出的结果是cos20°sin20°＋sin20°cos20°＝2sin20°cos20°.那么，利用我们已经学习的公式，能否将2sin20°cos20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin20°cos20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题.,探究点一　二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；,思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答∵cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.,探究点二　余弦的二倍角公式的变形形式及应用思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？答二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活.其中sin2α＝，cos2α＝称作降幂公式，＝sin2，＝cos2称作升幂公式.这些公式在统一角或函数名时非常有用.,练习1：函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－的最小正周期是.π,练习2：函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是.解析f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)max＝3；当sinx＝－1时，f(x)min＝－5.[－5,3],思考因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.请完成三倍角公式的证明：(1)sin3α＝3sinα－4sin3α；探究点三　三倍角公式的推导答证明如下：sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos2α＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα－2sin3α＋sinα－2sin3α＝3sinα－4sin3α.,(2)cos3α＝4cos3α－3cosα.答cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα＝(2cos2α－1)cosα－2(1－cos2α)cosα＝2cos3α－cosα－2cosα＋2cos3α＝4cos3α－3cosα.,于是sin4α＝2sin2αcos2α,,反思与感悟解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法.,跟踪训练1求值：(1)cos20°·cos40°·cos80°；,,,＝tan4A＝右边，,反思与感悟利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.,＝tanθ.,,,又tanB＝2，,又tanB＝2，,,反思与感悟倍角公式、和角公式本质上没有区别，可用不同的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式.,,,当堂测·查疑缺1231.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()C4,123B4,1234,1234,呈重点、现规律,