2、圆的周长第1课时圆周长的意义和计算u教学内容：教科书第16～17页，圆的周长的意义及圆周长计算公式的推导和相关计算。u教学提示《圆的周长》这部分内容是学生在学习了周长的一般概念以及长方形、正方形周长计算，并初步认识了圆的基础上进行教学的。它是学生初步研究曲线图形的基本方法的开始，也是后面学习圆的面积以及今后学习圆柱、圆锥等知识的基础，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。通过本节课的学习，进一步培养学生动手实践、团结协作、解决问题的能力，并使学生从中受到思想品德教育。本课时教材安排了例1和例2两个例题。例1通过量一量、算一算，用线绕圆1周，用圆形物品放在直尺上滚动1周等活动，引发学生对“化曲为直”的转化方法的思考，并通过铁环让学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长。用“猜测、验证”的方式指导学生探索圆周长的计算公式。验证的方式：测量（绕圆、滚圆）——讨论（周长与直径的关系）——归纳（圆的周长总是直径的3倍多一些，注意“总是”的意思）引发学生两个思考：计算时，通常取3.14。“通常”是什么意思？π等于3.14吗？例2是圆周长公式的简单应用，但要计算时要注意单位换算。突出估算对周长计算的检验作用。u教学目标：1.知识与技能：掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆周长公式，并能正确计算圆的周长和解答简单的实际问题。2.过程与方法：让学生在知识的主动建构过程中掌握一些数学的思想方法，发挥学生学习的主动性、独立性、合作性。3.情感态度与价值观：对学生进行辨证唯物主义教育和爱国主义教育。u重点难点：教学重点：认识周长，知道圆周率的意义，能利用周长公式进行简单的运算。教学难点：掌握并理解圆的周长计算公式及其推导过程。 u教学准备:教具准备：多媒体课件，圆规、直尺、三角板。学具准备：圆形物品（如硬币等）、线、三角板、直尺。u教学过程：（一）新课导入出示情境图，请同学们观察情境图。教师谈话：从图中我们看到两个男孩在滚铁环比赛，他们两个谁的铁环滚一圈的距离长一些？为什么？预设：穿红衣服的男孩的铁环滚一圈的距离长一些，因为他的铁环大一些。教师：铁环滚动一周的距离我们就叫做铁环的周长。教师：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。今天我们就一起来研究圆的周长。板书课题：圆的周长。【设计意图：通过具体的情景，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发学生的探索欲望，为后面的学习做好铺垫。】（二）探究新知1.感知圆的周长与直径的关系。出示一个圆形实物，问：谁来指一指这个圆的周长？（用手摸圆形物体如硬币的一周）画一个圆，问：谁来指一指这个圆的周长？谈话，同学们画两个直径都是2厘米的圆，观察一下它们的周长有什么关系？预设：它们的周长相等。再分别画一个直径2厘米与直径3厘米的圆，观察它们的周长有什么关系：预设：直径3厘米的圆的周长比直径2厘米的圆的周长大。教师可提问，圆的周长与直径有关系吗？预设：生1：圆的周长和直径有关系。生2：直径相等，圆的周长就相等。生3：直径大的圆的周长就大。那么，圆的周长与直径到底又怎样的关系呢？我们怎样测量出圆的周长呢？【设计意图：本环节先让学生通过比较圆周长的大小,感悟“圆的周长与它的直径的关系”，为下一步的学习提供了充分的条件。】 2.探究圆的周长与直径的倍数关系圆的周长和直径有怎样的关系呢？我们一起来作一个实验，测量学具中圆形的周长和直径，然后再用周长除以直径得出它们的商。（1）小组讨论，制定探究步骤。出示探究建议：①测量圆的周长和直径；②记录数据；③进行计算；④得出结论。（2）说明活动要求。每个组的同学先测量出圆形物品的周长和直径，然后再用周长除以直径，并把这些数据和计算的结果填在表里。圆的直径，圆的周长，周长除以直径的商。(保留两位小数)（3）小组合作，进行探究。教师巡视，适时指导。（4）汇报交流。①交流测量的方法。提问：谁来介绍一下，你们组是怎样测量圆的周长的？学生汇报测量的方法。(绳绕法、滚动法……)教师：在这些方法中，最欣赏哪个组的方法？小结：不同的材料，可以用不同的方法进行测量。无论是哪一种方法，都是在想办法把圆这个曲线图形转化成直线来进行测量的。(出示绳绕法、滚动法……的动画测量过程)②交流计算方法和结论。 提问：观察这些计算结果，你有什么发现？你还有哪些了解？学生汇报：圆的周长是它的直径的3倍多一些。教师揭示：圆的周长除以直径是一个固定的数，把它叫做圆周率，用希腊字母π（读pai)表示。【设计意图：以小组学习的形式，放手让学生去探求圆的周长，目的是体现让学生进行自主探索的教学思想，同时也培养学生的合作意识与能力。通过滚动法、绕线法等方法测量圆形物品的周长，达到引出探究圆周率的目的。进而通过学生观察表中的数据，发现不论圆的大小，圆周长都是直径的3倍多一点，为下一步总结圆周率以及圆周长的计算公式打下基础。】3.介绍圆周率。圆周长和直径的比值叫做圆周率，对于圆周率我国古代的数学家就对此有了研究了，他们把圆内接正六边形的周长近似的看作圆的周长，因为正六边形的周长是直径的3倍，所以近似的看成圆的周长是直径的3倍，(出示，展示圆内接正六边形周长是圆直径的3倍)可是大家可以发现圆内接正六边形的周长与圆的周长的误差太大了。因此把它的边数加倍，得到正十二边形，再加倍到正二十四边形。我国古代伟大的数学家刘徽用圆的内接正96边形，算出圆的周长是直径的3.14倍，而祖冲之用圆的内接正16384边形，算出圆的周长与直径的倍数精确到小数点后第七位：3.1415926与3.1415927之间，是世界上把圆周率精确到小数点后第七位的第一人，他在数学上的伟大贡献得到了世界的公认。【设计意图：数学文化的渗透是为了激发学生的爱国情怀，从小培养学生的民族自豪感。】π是一个无限不循环小数，计算时通常保留两位小数，取3.14。强调：3.14是一个近似值，不能理解成π等于3.14.4.总结圆周长的计算方法。根据上面的测量结果，你能得出圆的周长应该怎样计算吗？如果用C表示圆的周长，你能写出圆的周长计算公式吗？学生讨论后汇报。预设：生1：由可以得到：C=d。生2：还可以得到：C=2r。【设计意图：通过思考、探索、分析、发现并总结规律，使学生学会了学习的方法。】 5.教学例2。出示教材第17页例2情境图。让学生先小组内交流，然后独立解决。学生独立列式计算，教师可提示用估算检查计算结果。小组汇报：3.14×0.71=2.2294≈2.23（米）答：自行车约前进2.23米。【设计意图：解答时，让学生自己动手解决问题，培养学生自主学习的习惯和能力。】（三）巩固应用1.处理课堂活动第1～2题。2.处理练习四第1～2题。在学生理解半径、直径、周长之间相互关系的基础上，运用公式进行计算。教学时，要求学生认真审题，分清每题的条件和问题，合理地运用公式，同时注意每题的单位名称。【设计意图：通过练习，使学生进一步巩固今天所学的新知识。】（四）达标反馈1.判断题。（1）π=3.14。（   ）（2）圆的周长总是直径的3倍。（   ）（3）圆周率是一个无限不循环小数。（）（4）半径相等的两个圆的周长也相等。（   ） 2.我是计算小能（手求下面各圆的周长）。答案：1.（1）×（2）×（3）√（4）√2.3.14×5=15.7（厘米）3.14×14×2=87.92（分米）3.14×2×2=12.56（米）（五）课堂小结用谈话的方式进行小结：问：你学到了什么？你是怎么学到的？以你的经验，生活中还有哪些类似圆的周长的实际问题？【设计意图：这样用谈话的方式进行总结，不仅对所学知识进行了总结、梳理，还体现了对学法的指导，增强了情感体验。】（六）布置作业1.判断题。（1）大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（）（2）自行车车轮滚动一周的长度就是车轮的周长。（）（3）圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍。（）2.计算下面圆的周长（1）一个圆的半径是3cm，求它的周长。 （2）一个圆的直径是8dm，求它的周长。  3.一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了多少厘米？  答案：1.（1）×（2）√（3）√2.（1）3.14×3×2=18.84（cm）（2）3.14×8=25.12（dm）3.3.14×5×2=31.4（厘米）u板书设计圆周长的意义和计算围成圆的曲线的长叫圆的周长。测量：滚动法绳（线）测法（化曲为直）规律：圆的周长总是它的直径的3倍多一些。圆的周长÷直径=圆周率公式：圆的周长=直径×圆周率用字母表示：C=πd或C=2πr例23.14×0.71=2.2294≈2.23（米）答：自行车约前进2.23米。u教学反思本节课我始终以小组合作、自主探究为教学主线，激发学生的探究欲望，让学生独立思考，然后小组合作，大胆猜想圆的周长可能与什么有关？再引导学生动手操作、测量、观察、计算几个大小不等的圆形物体的周长与直径的比值，使学生明确自己的猜想是否正确，再让学生在讨论中经历探索圆的周长公式的全过程，充分发挥学生学习的主体性，激发学生学习数学的兴趣。在教学圆的周长这课时，采用多种形式激发学生的学习兴趣，调动学生主动参与的积极性，让学习的内容成为学生自身的需要。 先让学生阅读学习目标产生疑惑，激发他们的求知欲，通过自学解决自己的疑惑，一种能力的体现。在测量圆形物品时，使有些学生明白圆的周长没办法用绕线和滚动的方法测量出来，从而激发学生进一步的探究欲望，再去探索新的方法，这使得下面的学习有了驱动力。动手实践，自主探索和合作交流是小学生学习数学的重要方式，而“猜想—验证”又是学生探索中常用的方法。这节课在学生猜测圆的周长可能与圆的直径或半径有关的时候，让学生通过绳绕法测量出不同圆的周长和直径及比值来验证猜想。通过小组间的交流得到周长与直径比值的规律，再尝试写出公式。为了防止小组合作学习流于形式，避免学生在活动时没有目的性，根本不知道自己该干什么。在小组合作前，我明确的提出了提出活动要求：小组合作，测量圆形纸片的周长和直径，把数据填在圆的周长记录单上，让组长分工。本节课带给我的不仅仅是这些收获，还有关于教学不足的思考，比如教学语言不够精炼，小组间的互帮互助没有得到很好的体现，练习的设计上考虑的还是有些不到位，这也是我在今后教学中，应该注意的。u教学资料包（一）教学精彩片段圆的周长的意义及运算(教学片断)创设情境，提出问题。 师：同学们，2010年是中国人扬眉吐气的一年，因为上海世博会的成功举办让我们有足够的理由为之骄傲和自豪。虽然世博会已经于10月31日完美落幕，但是，这场规模空前的盛会却创造了7308万人次参观的新纪录。其中，中国馆是众多展馆中的一朵奇葩，深受游客们的喜爱，它的外观好像古代的一顶帽子，因此又被称为“东方之冠”。此外，城市地球馆也得到了中小学生的青睐。同学们，瞧，这是地球馆中的地球模型，它叫“蓝色星球”。如果老师绕着它的最大横截面走一圈，大约走多少米呢？（板书课题：圆的周长） 【评析：教师创设了上海世博会这个情境，这个情景的创设是为了突破教材，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发了学生的探索欲望，为后面的学习做好了铺垫。】 （二）数学资源1.填空题（1）时钟的分针转动一周形成的图形是（  ）。（2）用圆规画一个直径20厘米的圆，这个圆的周长是（ ）厘米。（3）一个圆的周长是同圆直径的（  　）倍。（4）有一个圆形鱼池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，要走（  ）米。（5）一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（  ）厘米。2.判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）圆的直径是半径的2倍。（）（2）圆的半径扩大2倍，圆的周长也扩大2倍。（）（3）如果两个圆的半径相等，那么这两个圆的周长也一定相等。（）（4）半圆的周长就是这个圆周长的一半。（　　）（5）求圆的周长，用字母表示就是C＝πd或C＝2πr。（　　）3.一个圆形的铁环，直径是40厘米，做这样一个铁环需要用多长的铁条？4.饭店的大厅内挂着一只大钟，它的分针长48厘米。这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？答案：1.（1）圆（2）62.8（3）π（4）62.8（5）31.42.（1）√（2）√（3）√（4）×（5）√3.3.14×40=125.6（厘米）4.3.14×48×2=301.44（厘米） 资料链接祖冲之祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。[七大洲具体包括：亚洲、欧洲、南美洲、北美洲、非洲、大洋洲、南极洲。人物生平祖冲之，429年（南朝宋元嘉六年）出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。西晋末期，北方发生大规模战乱，祖冲之的先辈从河北迁徙到江南，并在江南定居下来。祖冲之就出生在江南，其祖父祖昌任刘宋朝大匠卿，是朝廷管理土木工程的官吏，父亲祖朔之做“奉朝请”，学识渊博，常被邀请参加皇室的典礼、宴会。祖冲之从小就受到很好的家庭教育。爷爷给他讲“斗转星移”，父亲领他读经书典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奋，使他对自然科学和文学、哲学，特别是天文学产生了浓厚的兴趣，在青年时代就有了博学的名声。祖冲之曾在著作中自述说，从很小的时候起便“专功数术，搜烁古今”。他把从上古时起直至他生活的时代止的各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗来进行考察。同时，主张决不“虚推古人”，决不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，并且亲自进行精密的测量和仔细的推算。像他自己所说的那样，每每“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。 由于祖冲之博学多才的名声，被南朝宋孝武帝派至当时朝廷的学术研究机关华林学省做研究工作，后来又到总明观任职。当时的总明观是全国最高的科研学术机构，相当于现在的中国科学院。总明观内分设文、史、儒、道、阴阳5门学科，实行分科教授制度，请来各地有名望的学者任教，祖冲之就是其一。在这里，祖冲之接触了大量国家藏书，包括天文、历法、算术方面的书籍，具备了借鉴与拓展的先决条件。461年（南朝宋大明五年），祖冲之担任南徐州（今江苏镇江）刺史府里的从事，先后任南徐州从事吏、公府参军。祖冲之在这一段期间，虽然生活很不安定，但是仍然继续坚持学术研究，并且取得了很大的成就。462年（南朝宋大明六年），祖冲之把精心编成的《大明历》送给宋孝武帝请求公布实行，宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论，最终，宋孝武帝决定在大明九年（465年）改行新历。464年（南朝宋大明六年），祖冲之被调到娄县（今江苏昆山县东北）作县令。之后又到建康（今江苏南京），担任谒者仆射的官职。从这时起，一直到南朝齐初年，他花了较大的精力来研究机械制造，重造出了用铜制机件传动的指南车，发明了一天能走百里的“千里船”和“木牛流马”、水碓磨（利用水力加工粮食的工具），还设计制造过漏壶（古代计时器）和巧妙的欹器。祖冲之的晚年，正值南齐后期，统治阶级内部矛盾尖锐，政治黑暗，社会动荡不安。在这种情况下，祖冲之的研究方向有了很大的变化。他着重研究文学和社会科学，同时也比较关心政治。494年（南朝齐隆昌元年）到498年（南朝齐建武五年）之间，他担任长水校尉的官职。当时他写了一篇《安边论》，建议政府开垦荒地，发展农业，增强国力，安定民生，巩固国防。齐明帝看到后想令他“巡行四方，兴造大业，可以利百姓者”，后因南齐的统治已经无法再维持下去。国家政权摇摇欲坠，再加上南北朝之间的连年战争，祖冲之良好的政治主张无法在国家内部施行，更无法实现了。500年（南朝齐永元二年），这位卓越的大科学家去世，享年七十二岁。他的天文历法心血之作《大明历》在510年（梁武帝天监九年）才以《甲子元历》之名颁行。主要成就数学史上的创举——“祖率”祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：（约率）和 （密率），其中密率精确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为≈3.14。祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。根据《隋书·律历志》关于圆周率（π）的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是朒圆周率（即不足的近似值），为3.1415926。盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926（*）<π（真实的圆周率）<3.1415927（盈），这表明圆周率应在盈朒两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”，利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。