2014年1月寒假班教师版讲义（三年级）\n第一讲第一讲角度初识知识站牌四年级暑假四年级暑假三角形进阶三角形初步三年级寒假角度初识一年级秋季有趣的平面图形一年级秋季线，角初识角度定义；角度分类；角度的计算；互余与互补漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入生活中有好多的角，你们找到下面各图中的角吗？教学目标1.了解角，角度的概念与区别，清楚角的构成（顶点，边）和角的分类，并会表示角2.了解互余与互补的概念3.掌握复杂图形中角度的计算经典精讲一、角的概念1.角的静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。2.角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边二、角度的概念角度：表示角的大小的量或形容角的两边张口大小的量2第6级上优秀A版教师版\n第一讲注意：角的大小与两边长短无关，与角的两边张口大小有关三、互余，互补1.互余：如果两角之和为90°，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角2.互补：如果两角之和为180°，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角四、角的分类（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。（2）直角：等于90°的角叫做直角。（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。（4）平角：等于180°的角叫做平角。（5）优角：大于180°小于360°叫优角。（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。（7）周角：等于360°的角叫做周角。五、角的表示符号及表示方式表示符号：∠表示方式：（1）∠BAC或∠CAB,这个表示方法是通用的，任何情况下角都可以用此方式表示（2）∠A,当顶点只有一个角的时候，可以直接用顶点字母简便表示（3）∠1，可以在角的附近标上圆弧与序号，用序号表示B1AC例题思路模块一：认识角例1：认识角，读角写角模块二：与其他问题结合的角度问题例2：利用和倍问题解决角度例3、利用和差问题解决角度模块三：综合应用例4，例5：复杂图形中的角度计算第6级上优秀A版教师版3\n例1找出图中所有的角，并将它们表示出来CDBAO【分析】枚举：∠AOB，∠BOC，∠COD，∠AOC，∠BOD，∠AOD例2如图所示，已知∠4的度数是∠1度数的3倍，求∠1，∠2，∠3，∠4分别是多少度？4132【分析】由和倍问题，∠4是∠1的3倍，而且∠1+∠4=180°，所以∠1=180（1+3=45）°，则∠4=18045135°，同理，3180418013545°，2=1801=135°点睛：通过本题，老师应引导孩子总结出“两条直线相交，对顶角相等”这个常用的结论【想想练练】如图，两条直线相交，∠1=140°，则∠2+∠3=（）132【分析】∠2=180∠1=40，又因为对顶角相等，所以∠2=∠3=40°，那么∠2+∠3=80°例34第6级上优秀A版教师版\n第一讲如图，已知O是直线AD上一点，∠AOB，∠BOC，∠COD三个角从小到大依次相差25°，求这三个角的度数。CBDAO【分析】由和差问题：AOB：25°180BOC：25°25°COD：∠AOB=（180-25-25-25）335=°，∠OBC=352560+=°，∠COD=60+25=85°【想想练练】如图，已知∠BOC，∠AOB，∠AOC分别相差50°，求∠BOC的度数BAOC【分析】由和差问题，∠BOC=360（505050）3=70第6级上优秀A版教师版5\n动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。例4直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数。ED2OA31BFC【分析】∠3=180∠COF∠1=1809040=50因为对顶角相等，所以∠BOD∠3=50又因为OE平分∠AOD，所以∠2=180（∠BOD）2（=180-50）265=【想想练练】如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，做∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE,若∠AOC=20°，则∠EOF等于多少度?6第6级上优秀A版教师版\n第一讲FEDABOC【分析】∠AOC=20°，由对顶角相等，∠BOD=20°，因为OD平分∠BOE，所以∠BOE=2∠BOD=40所以，∠AOE=180∠BOE=18040=140，有因为OF平分∠AOE，所以，∠EOF=1402=70例5如图所示，三个正方形叠放在一起，有一个公共点，并且已知其中两个角的度数分别为45°和30°，求∠1的度数。130°45°【分析】令∠1与45°角之间的角为∠2，∠1和30°角之间的角为∠3,在左边的正方形中，∠1+∠2+45°=90°，所以，∠1+∠2=45°在中间的正方形中，∠3=90°-∠1-∠2=45°在右边的正方形中，∠1=90°-30°-∠3=90°-30°-45°=15°第6级上优秀A版教师版7\n阿凡提巧惩高利贷者一天，阿凡提来到一个集市，正好遇见一个高利贷者在叫喊，“放金币喽！放金币喽！我的金币可是个宝，只要你把它埋在地里一天一夜，就会变成1000金币。”阿凡提：“我借一个金币！”阿凡提决心惩罚这个愚弄百姓，贪得无厌的家伙，为民除害。高利贷者：“那你每天得还我1000个金币。”阿凡提：“好，一言为定。我将连续15天借金币，第1天借1个金币，以后每天都是前一天的2倍。15天以后我还给你金币，如果这15天之内，你后悔了，那么我借的金币就不能还给你了。”高利贷者一计算，立即眉开眼笑，满口答应。前几天，高利贷者还得意洋洋。可是不到15天，这个贪得无厌的高利贷者就破产了。聪明的同学，你知道他是怎样破产的吗？假如他不破产，他又赔了多少金币呢？【答案】：阿凡提15天向他借的金币的个数依次是：1,2，4,8,16,32,64……16384这样，阿凡提借的金币一共是：1+2+4+8+…+16384=32767（个），阿凡提15天应该还给他的金币是：1000×15=15000（个），照这样计算，高利贷者还赔了17767个金币。杯赛提高如图，从点O引出6条射线OA，OB,OC,OD,OE,OF，且∠AOB=100°，OF平分∠BOC,OE平分∠AOD，∠EOF=140°，求∠COD度数。BFOCDAE【分析】因为∠AOB=100°，∠EOF=140°，所以∠AOE+∠BOF=360°-100°-140°=120°，又因为8第6级上优秀A版教师版\n第一讲OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，所以∠BOC+∠AOD=2(∠AOE∠BOF）=2120=240.所以，∠COD=360-∠AOB-∠BOC-∠AOD=360-240-100=20知识点总结一、角的概念1.角的静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。2.角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边二、角度的概念角度：表示角的大小的量或形容角的两边张口大小的量注意：角的大小与两边长短无关，与角的两边张口大小有关三、互余，互补1.互余：如果两角之和为90°，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角2.互补：如果两角之和为180°，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角四、角的分类锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。直角：等于90°的角叫做直角。钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。平角：等于180°的角叫做平角。优角：大于180°小于360°叫优角。劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。周角：等于360°的角叫做周角。五、角的表示符号及表示方式表示符号：∠表示方式：（1）∠BAC或∠CAB,这个表示方法是通用的，任何情况下角都可以用此方式表示第6级上优秀A版教师版9\n（2）∠A,当顶点只有一个角的时候，可以直接用顶点字母简便表示（3）∠1，可以在角的附近标上圆弧与序号，用序号表示B1AC家庭作业1.将下图中所有的角表示出来OABC【分析】枚举：∠AOB，∠BOC，∠AOC2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数为多少？EDABOC【分析】∠AOC=∠EOC2=702=35，因为对顶角相等，∠BOD=∠AOC=35°3.如图所示，已知OE与OF垂直，过O点做直线AB，若∠EOA=2∠AOF，则∠BOF=_______BOFEA【分析】∠EOA=2∠AOF，由和倍问题，∠AOF=90(12)=30，所以，∠BOF18030=15010第6级上优秀A版教师版\n第一讲4.如图，O是直线AB上一点，∠BOC比∠AOB大30°，∠COD比∠BOC大30°，求∠AOB的大小CBDAO.【分析】∠AOB=180-30-30-30（）3=305.如图，两个正方形重叠放在一起，已知∠1=70°，求∠3的度数231【分析】∠290=∠1=20，∠390=∠2=706.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°，那么∠BOD=______DECBOA【分析】∠BOD=∠DOC∠COB=∠EOC2∠AOC2203555第6级上优秀A版教师版11\n第二讲第二讲速算巧算之四则运算知识站牌五年级春季四年级春季分数四则混合运算小数的巧算三年级寒假速算巧算之四则运算三年级秋季巧算除法三年级秋季巧算乘法加减乘除法的运算律；提取公因数；拆数重组的技巧；凑整思想漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入同学们还记得我们之前学过的凑整，分配律，提取公因数这些巧算方法吗？还记得“坐椅子”，“两头一拉，中间相加”“添0减原数”等等那些让我们印象深刻的巧妙口诀吗？今天我们继续来学习四则运算的巧算方法，让我们的计算能力更上一层楼！教学目标本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣。经典精讲一、运算定律⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)⑶减法的性质：abca(bc)⑷乘法交换律：abba⑸乘法结合律：(ab)ca(bc)⑹乘法分配律：a(bc)abac（反过来就是提取公因数）⑺除法的性质：a(bc)abc(ab)cacbc(ab)cacbc上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响⑴在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变；⑵在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号；⑶在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；2第6级上优秀A版教师版\n第二讲⑷在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．三、带符号搬家四、速算技巧(一)加减法中的速算与巧算:⑴凑整法：①移位凑整法；②借数凑整法；③分组凑整法；⑵找“基准数”法：⑶位值原理⑷数的拆分五、计算的境界：第一层：猛算——金猴奋起千钧棒第二层：巧算——山重水复疑无路第三层：估算——不畏浮云遮望眼第四层：速算——春风得意马蹄疾第五层：数感——熟练后就会有感觉，需要时间，因为这样才能培养出感情~六、考点提炼：比例：数学解题能力展示、走美及各个重点培训坑班必考题，1-2题，会在最前面出现，5%—10%的分值考点：60％考提取公因数，考凑整的题型占20％，还有一些在考察直接列式计算。并且发现很多题直接硬算也是比较快的，并且硬算的题型在逐渐增加。七、难点易错点：难点：提取公因数：孩子会以为必须要有公因数时才能提取，学的死板，应该告诉孩子见到×、+或×、-混合的题目常用，而不是看公因数。易错点：1、乘除抵消=1——50%的孩子开始问的时候会说错=02、括号前除法，添去括号忘变号——70%的孩子会错，并且是几年级都会有的错误3、分配律漏乘项——40%的孩子开始学时会错，所以不应该让孩子记公式，而是按照个数理解就不容易错了。第6级上优秀A版教师版3\n例题思路模块一：加减乘除的凑整巧算例一：代号搬家模块二：添去括号例二：添括号例三：去括号模块三：乘法分配率及提取公因数例四：乘法分配律例五：提取公因数例1请同学们快算一算：⑴2567856⑵134437⑶1217821【分析】⑴256567820078278⑵133744504494⑶12121781007822例2请同学们快算一算：⑴13418787⑵35813961⑶38254⑷28355【分析】⑴13418787134(18787)134100234⑵35813961358(13961)358200158⑶3825438(254)381003800⑷2835528(355)2874【想想练练】请同学们快算一算：⑴20012323⑵30244［分析］⑴20012323200(12323)200100100⑵3024430(244)30654第6级上优秀A版教师版\n第二讲速算小明星“5”在数学城电子计算器展销中心，售货员熟练地操作着各种型号的电子计算器，计算着各种问题。观看的人不时发出一阵阵赞扬声，算得多快多准呀。人群中不少小学生拉着自己的爸爸妈妈，吵着要买电子计算器。有了它，做起数学题该多好呀！“不！”忽然，一个身材奇特的小矮人跳上了柜台，摇着手，对小学生说：“小朋友不宜用这样的东西，要从小培养自己的计算能力，学会简便算法。有了好算法，有时候算起来比计算器还快呢。”大家一齐把目光集中在小矮人身上，仔细一看，原来是外号叫“半截儿”的小“5”。“什么？你能比我的计算器算得还快？”售货员奇怪地问。小“5”说：“你不信，我们试试。”说着，小“5”对大家说：“你们随便报一个数，求这个数乘以5的积，售货员请用电子计算器也一道算，看谁快？”“好！”大家一齐喊道。观看的人群中有人先报了个算式“246×5”。“1230”小“5”脱口而出。“314×5、289×5……”“1570、1445……”小“5”一口气报了出来。售货员还未来得及操作完，得数就被小“5”说出来了。“好啊！”大家热烈地鼓起掌来。小“5”笑着说：“这叫做‘添零折半法’，因为5是10的一半，一个数乘以5，只要把这个数扩大10倍，再折半就行了。比如，246×5＝2460÷2＝1230。“哈哈，这样算快极了。”“半截儿，真正灵，敢同计算器比本领；方法妙，快又准，数学城里大明星。”不知是谁编了几句顺口溜，把大家都逗乐了。例3请同学们快算一算：⑴165(86135)⑵587(87125)⑶150(215)⑷750(7510)【分析】⑴165(86135)1658613516513586386⑵587(87125)58787125500125625⑶150(215)15021515015210220第6级上优秀A版教师版5\n⑷750(7510)75075101010100【想想练练】请同学们快算一算：⑴253(53100)⑵35(354)［分析］⑴253(53100)25353100300（235(354)3535414）4例4下面这些题你会算吗？⑴125(408)⑵(1004)25【分析】⑴125(408)125401258500010006000⑵(1004)251002542525001002400【想想练练】利用乘法分配律将25(402)去括号的正确结果是（）A.25402B.25402C.2540252D.2540252［分析］正确答案是C例5计算：⑴33663334⑵155835583⑶6722677767【分析】应用提取公因数巧算．⑴原式33(6634)331003300⑵原式(15555)83=10083=8300⑶原式67226777671=6722771=67100=67006第6级上优秀A版教师版\n第二讲计算：123456789876543219【分析】1234567898765432191111111111111111119111111111999999999111111110888888889杯赛提高计算：333434356866_______【分析】方法一：原式33343435686634(3335)68663468686668(3466)681006800知识点总结本讲主要掌握以下运算定理：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)⑶减法的性质：abca(bc)⑷乘法交换律：abba⑸乘法结合律：(ab)ca(bc)⑹乘法分配律：a(bc)abac（反过来就是提取公因数）第6级上优秀A版教师版7\n⑺除法的性质：a(bc)abc(ab)cacbc(ab)cacbc上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．家庭作业1.请同学们快算一算：⑴1493849⑵124638⑶1263726【分析】⑴1493849149493810038138⑵124638123846504696⑶1263726126263710037632.请同学们快算一算：⑴25713939⑵1133268⑶8325⑷2493【分析】⑴25713939257(13939)257100357⑵1133268113(3268)11310013⑶832583(25)8310830⑷249324(93)24383.请同学们快算一算：⑴174(98126)⑵234(34210)【分析】⑴174(98126)174981261741269830098398⑵234(34210)234342102002104104.请同学们快算一算：⑴13(413)⑵36(367)【分析】⑴13(413)1341313134144⑴36(367)363671778第6级上优秀A版教师版\n第二讲5.用简便方法计算下面各题．⑴125(804)⑵(1008)25【分析】（1）125(804)1258012541000050010500（2）(1008)2510025825250020023006.算一算:68456855【分析】原式=68(4555)681006800第6级上优秀A版教师版9\n第三讲第三讲用字母表示数知识站牌四年级春季四年级秋季方程与方程组三年级春季列方程解应用题三年级春季简易方程的应用三年级寒假简易方程用字母表示数理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法.漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入有一则招领启事是这样写的：“三（1）班艾迪同学昨天下午在草坪附近拾到人民币若干元，请丢失钱的同学尽快来认领”同学们想一想，启事中的“若干”元表示多少元呢？那在我们数学之中，如何来表示一个不确定的数“若干”呢？学了今天的“用字母表示数”，相信同学们就知道啦！教学目标1.理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法.2.经历把生活问题转化为数学问题的抽象过程，体会用字母表示数的作用，培养学生的数学情感.3.在学生的自主探究、合作交流与比较反思中渗透对应思想、函数思想和辨证思想.经典精讲1.字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来.2.用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义.使思维过程简约化，易于形成概念系统.3.用字母表示数的教学过程：一、让学生亲历用字母表示数的抽象概括的过程；二、让学生理解含有字母的式子既表示结果，也表示关系；三、用代数语言表示数学关系，让学生体会数学的符号化思想4.注意：1.字母与字母和数与字母之间的×号，可以省略.2.ab表示一个两位数，ab表示两个数相乘.2第6级上优秀A版教师版\n第三讲例题思路模块一：用字母表示数例题一：体会生活中字母表示的数模块二：用字母表示数量关系例题二：用字母表示倍数关系例题三：化简字母表达式模块三：用字母表示结果例题四、五：用含字母式子表示结果例1（1）你知道下面扑克牌上的字母代表什么吗？J=___________；Q=___________；K=___________；A=___________（2）观察下面的数列1，2，3，a，5，6，7，b，9，10……a=___________；b=___________【分析】（1）J11；Q12；K13；A1（2）a4；b8第6级上优秀A版教师版3\n例2（1）一只手有5个手指，两只手有___________个手指，三只手有___________个手指，……n只手有___________个手指.手指的数量与手的数量有什么关系呢？（2）1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿；……n只青蛙_____张嘴，_____只眼睛_____条腿.【分析】（1）10，15，5n，手指的数量是手的数量的5倍.（2）n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿.【想想练练】小明每天吃3颗糖，3天吃颗，4天吃颗，一个星期吃颗，如果吃了m天，一共吃颗。【分析】91273213m用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类数学发展史上的一个飞跃，著名的数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言.”你知道最早有意识地使用字母来表示数的人是谁吗？他就是法国数学家韦达.韦达1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎.年轻时学习法律并当过律师.后从事政治活动，当过议会的议员.韦达一生都致力于数学研究，做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家之一.他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的数学家，带来了代数学理论研究的重大进步.自从他系统使用字母表示数后，引出了大量的数学发现，解决了古代的许多复杂问题.4第6级上优秀A版教师版\n第三讲例3用简便方法表示下列各式.a5mnabxaaaaa4bb【分析】a55amnmnabxabx22aaa3aaaa4bb4b【想想练练】判断正误：2（1）a55a（）（2）bbb（）（3）abcabc（）（4）aa2a（）【分析】对错错错例4你能用字母表示下面题目中所求的量吗？（1）修路队已经修完a米的路，还剩下52米没有修，已经修了___________米.（2）甲数加上乙数，和是b，甲数是m，乙数就是____________.（3）丁丁比昕昕小，丁丁今年a岁，昕昕今年b岁，2年后丁丁比昕昕小___________岁.【分析】（1）已修了a52米；（2）乙数是bm；（3）2年后丁丁比昕昕小ba岁。【想想练练】（1）当a3时4a3________.（2）当m2时66m______【分析】（1）当a3时4a343315（2）当m2时66m66218第6级上优秀A版教师版5\n例5你能用字母表示下面题目中所求的量吗？（1）学而思共有m名学生，其中男生230名，女生___________名.（2）学而思有男老师a人，女老师比男老师少b人，学而思有女老师___________人.共有老师___________人.（3）一个等边三角形，每边长a米.它的周长___________米.（4）一个正方形的周长是C厘米，它的边长是___________厘米.【分析】（1）女生有(m230)名；（2）女老师有(ab)人，共有老师(2ab)人；（3）等边三角形的周长是3a米；（4）正方形的边长是(C4)厘米莱蒙托夫猜数俄国著名诗人莱蒙托夫非常喜爱数学.在一次宴会上，他做了一个有趣的游戏.请每个人拿出笔和纸，记上所想的数，在所想的数上加125，然后把得数减去48，再减去原来所想的数，然后除以5并把余数乘7，最后把所得数除以2，大家都一一照办了.莱蒙托夫毫不费力地就猜到了每个人的得数.大家看看自己的计算结果，竟然一点不差！不过他们惊奇的发现：不管你原来想的数是多少，莱蒙托夫的猜数都只有一个！你知道莱蒙托夫猜数的奥秘在哪吗？能不能用字母来表示上面的猜数过程呢?【分析】根据题意，无论这个数是多少，最后结果都是一样的。所以，我们假设这个数为x，根据条件可列式子：(x12548x)5152，2727所以，无论之前x为任何数，最后的结果都是76第6级上优秀A版教师版\n第三讲杯赛提高在有余数的整数除法算式中，除数是b，商是c，（b、c均不为0），被除数最大为多少？请用含有b,c的式子表示【分析】bcb1知识点总结字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来.家庭作业1.1、2、3、N，请你猜猜N=［分析］42.一个三角形有___________条边，两个三角形有___________条边，三个三角形有___________条边，……n个三角形有___________条边.思考：边数与三角形的数量有什么关系呢？【分析】一个三角形有3条边，两个三角形有6条边，三个三角形有9条边，……n个三角形有3n条边.3.用简便方法表示下列各式.aaa2a10x5b3by9y【分析】5a10x2b10y第6级上优秀A版教师版7\n4.判断对错，并将正确答案写在括号后面的横线上：22（1）442（）（2）777（）2（3）5x5x（）（4）c2c（）2【分析】（1）×444；（2）√；（3）×5xx5；（4）×c22c；5.你能用字母表示下面题目中所求的量吗？（1）妈妈今年a岁，明明今年b岁，妈妈比明明大____________岁（2）奥运会第一天中国队获得m枚金牌，第二天获得n枚金牌，这两天共获得____________枚金牌.【分析】（1）妈妈比小明大(ab)岁；（2）中国队这两天一共获得(mn)枚金牌6.你能用字母表示下面题目中所求的量吗？（1）长方形的长边是a，宽是b，长方形的周长是，面积是。（2）正方形的边长是m，正方形的周长是，面积是。（3）三方形的周长是n，边长是。【分析】（1）2a2b2(ab)ab2（2）4mm（3）n38第6级上优秀A版教师版\n第四讲第四讲和差倍知识站牌三年级春季三年级寒假年龄问题和差倍三年级秋季三年级秋季差倍问和倍问题二年级春季和差问题利用线段图解决和差倍问题漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入之前我们已经学过了和差，和倍，差倍问题，你能分清它们之间的区别与联系吗？还记得解决这三种问题我们所用的方法吗？今天的和差倍综合，让我们再来巩固加强一下这三种重要的应用题吧.教学目标1.会判断什么样的应用题属于和差问题、和倍问题、和差问题2.总结归纳出解决和差倍问题的方法，并解决一些实际问题3.学会分析题意并且熟练的利用线段图法来解决和差倍问题4.掌握解决和差倍问题的方法．经典精讲一、和倍问题：基本概念：已知几个数的和以及它们的倍数关系，求这几个数的应用题，就是和倍问题。基本思路：【画图是硬道理哦！】①假设其中较小的那个数为一份，根据几个数的倍数关系，可以求出总量所占的份数。然后根据总量（和）所对应的总份数即可求出一份是多少，依据倍数关系求出各数.②如果总量和倍数关系不是在同一个条件下成立的，那么就假设倍数关系成立，这时将引起总量（和）的变化，根据条件求出新的和，依据①进行计算.关键问题：求出同一条件下的和与倍数。基本公式：和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数和-小数=大数解题步骤：（1）找“1”份量（2）根据题意画线段图2第6级上优秀A版教师版\n第四讲（3）找总和所对应的总份数（4）求一份量及其他量二、差倍问题：基本概念：已知几个数的差和几个数的倍数关系，求这几个数的应用题，就是差倍问题.基本思路：①一般地，设其中较小的那个数为一份，根据几个数的倍数关系，找出差所占的份数。然后根据差和它所占份数即可求出一份是多少，依据倍数关系求出各数。②如果差和倍数关系不是在同一条件下成立的，那么就假设倍数关系成立，这时将引起差的变化，根据条件求出新的差，依据①进行计算.关键问题：求出同一条件下的差和倍数（差的份数）。解题步骤：（1）找“1”份量（2）根据题意画线段图（3）找差所对应的份数（4）求一份量及其他量基本公式：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数小数+差=大数三、和差问题：基本概念：已知几个数的和与差，求这几个数的应用题，叫和差问题。基本思路：通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数和较大的数相等或者假设那个较大的数和较小的数相等，这样就会引起总数（和）的变化（增加或者减少），求出新的和，平均分就可求得其中的一个数。关键问题：求出同一条件下的和与差。基本公式：（1）（和－差）÷2=较小数较小数＋差=较大数和-较小数=较大数（2）（和＋差）÷2=较大数较大数－差=较小数和-较大数=较小数例题思路模块一：和倍问题例一：和倍问题-----几倍还多多少例二：和倍问题-----多量例三：和倍问题-----打包法模块二：差倍问题第6级上优秀A版教师版3\n例四：和差问题-----隐藏差模块三：和差问题例五：和差问题例1一个车间一共有工人83人，其中男工人数比女工人数的3倍还多3人，男女工人各有多少人？【分析】根据题意画图如下：男工人数：┖──┴──┴──┴┚女工人数：┖──┚假设男工人刚好是女工人的3倍，那么男女工人总数应该为（83－3），所以有如下算式：一份数（女工人数）：（83－3）÷（3＋1）=20(人)男工人数：83－20=63（人）或20×3＋3＝63（人）【想想练练】某交通协管员七月份开出78张罚单．这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯．违章停车的罚单较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张．违章停车的罚单有多少张？【分析】假设闯红灯罚单为1份，违章停车是4份多3张，所以每份为(783)(14)15张，违章停车罚单是781563张例2把614元的奖金奖给甲乙丙三人；甲比乙多得24元；比丙多16元；甲乙丙各得奖金多少元?甲乙24丙16【分析】根据题意可以画图如上：由图可知，可以假设三个数都和甲相等，那么乙数需要加上24，才能和甲数相等；丙数需要加上16后才能和甲数相等．那么总数也将增加一个24和一个16，变为614+16+24，这时因为三个数都和甲数相等，所以就可以把新的总数平均分成三份，得出的结果就是甲的大小．（614+16+24）÷3=218（甲的值）然后分别用218减去24得出194就是乙的值；减去16得出202就是丙的值．答：甲得218元；乙得194元；丙得202元．4第6级上优秀A版教师版\n第四讲【想想练练】甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食．其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍．问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？［分析］建议老师画图分析．假设丙是1份，乙是2份，甲是236份多1吨，所以每份为(1091)(126)12吨，甲是126173吨，甲比丙多73-12=61吨趣味数学：模糊数学数学不是需要精确吗？怎么会需要模糊呢？你先别着急，这里给大家讲几个例子。第一个例子：1粒种子肯定不能叫一堆，2粒也不是，3粒也不是……那么多少粒种子叫一堆呢？适当的界限在哪里呢？我们能否说123456粒种子不叫一堆，而123457粒种子叫一堆呢？再举一个例子，我们现在要从一片西瓜地里找出一个最大的西瓜，那是件很麻烦的事。必须把西瓜地里所有的西瓜都找出来，再比较一下，才知道哪个西瓜最大。西瓜越多，工作量就越大。如果按通常说的，到西瓜地里去找一个较大的西瓜，这时精确的问题就转化成模糊的问题，反而容易多了。由此可见，适当的模糊能使问题得到简化。确实，像上面的“一粒”与“一堆”，“最大的”与“较大的”都是有区别的两个概念。但是它们的区别都是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限，换句话说，这些概念带有某种程度的模糊性。类似的，我们说一个人很高或很胖，但是究竟多少厘米才算高，多少千克才算胖呢？像这里的高和胖都是很模糊了。饭什么时候才算熟呢？衣服什么样才能算洗干净？这些都是需要一门新的数学分支——模糊数学来帮助解决的问题。为此，1965年美国的祖德教授开创了对“模糊数学”的研究。现在，模糊数学在各行各业中得到了广泛的应用。例3三块布一共长220米，第一块和第三块的总长是第二块的3倍，第一块比第三块长35米，求三块布分别长多少？第6级上优秀A版教师版5\n【分析】根据题意将第二块看做一份，第一块和第三块打包成一个整体看做3份，则第二块为220（1+3=55）米，第一块和第三块共22055165米，又知第一块比第三块长35米，由和差问题，第一块(16535)2100米，第三块16510065米例4小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？【分析】小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的.“差”是20＋5＋11＝36(本).，小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；小云原来有书18＋5＝23(本)，小雨原来有书23＋20＝43(本)【想想练练】某校五年级比六年级人数少154人，若六年级学生再转来46人，则六年级学生是五年级学生的3倍，问五、六年级各有多少人？【分析】五年级人数为：(15446)(31)100（人），六年级的人数：100154254（人）．例5三条船运砖9800块，第一只船比其余两只船共运的少1400块，第二只船比第三只船多运200块，三条船各运多少块？【分析】①：┖───┚②+③：┖───┴──┘1400第一只船：（9800-1400）÷2=4200块，第二只和第三只船的和：9800-4200=5600块，第二只船：（5600+200）÷2=2900（块），第三只船：2900-200=2700（块）．点睛：“打包”比较是个好方法哦！6第6级上优秀A版教师版\n第四讲现在有三种型号的自行车128辆，男车比儿童车的2倍多5辆，女车比男车多2倍．三种型号的自行车各多少辆？【分析】题目说女车比男车多2倍，所以女车是男车的3倍设童车是一份，男车是2份多5；女车是6份多3×5；都是整倍数时的和：128-5-3×5=108（辆），总份数：1+2+6=9（份）每一份数：108÷9=12辆（童车），男车：12×2+5=29辆，女车：29×3=87辆．杯赛提高甲乙两个书架,甲书架取30本放入乙书架,则两书架的本数一样多;如果乙书架取30本放到甲书架,则甲书架上的书是乙书架的3倍,两书架原来有书多少本?【分析】①先求出原来甲书架比乙书架多多少：甲：┖────------┴──┴──┚乙：┖────------┚┄┄┘由图可知，甲原来比乙多60本.②乙又给甲30本，这时甲比乙多多少：甲：┖────┴──┴──┴─----┄-┚乙：┖────┴──┚所以甲是乙3倍的时候，甲比乙多30×2＋30×2=120，根据基本关系①120÷（3－1）=60（小数，就是乙给甲30本后的本数），60×3=180（大数，就是甲数得到30本后的本数），所以原来乙有本数：60＋30=90（本），甲有的本数：180－30=150（本）知识点总结一、和差问题：基本公式：（1）（和－差）÷2=较小数较小数＋差=较大数和-较小数=较大数第6级上优秀A版教师版7\n（2）（和＋差）÷2=较大数较大数－差=较小数和-较大数=较小数二、和倍问题：基本公式：和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数和-小数=大数三、差倍问题：基本公式：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数小数+差=大数四、常用方法：线段图法家庭作业1.甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【分析】甲班有图书120本，乙班有图书40本2.甲、乙两堆货物一共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件．甲、乙两堆各有多少件货物？【分析】总和是160件，假设乙堆为1份，所以总和对应了3+1=4份多40件，每份为(16040)430件，甲堆是30340130件.3.甲乙丙三数的和是64，已知甲数是乙数2倍，丙数是乙数的5倍，求甲乙丙三个数.【分析】根据题意，作图如下：甲┖─┴─┚乙┖─┚丙┖─┴─┴─┴─┴─┚由图可知，假设乙数为1份，那么甲数为2份，丙数为5份.总份数是（2+1+5）；用总数（和）除以份数64÷（2+1+5）=8，即是1份所占的数，即是乙的大小；因为甲数是乙数的2倍，用8×2=16即是甲数的大小；因为丙数是乙数的5倍，用8×5=40，即是丙数的大小．列算式如下：64÷（2+5+1）=8（一份的数）；8×1=8（乙）；8×2=16（甲）；8×5=40（丙）．答：甲乙丙三数分别为：16、8、40．4.有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多45千克，丙堆比乙堆少30千克，三堆煤共300千克．那么甲堆煤有多少千克？（四川省小学数学奥林匹克模拟试题）【分析】根据题意画图如下：甲：┖───┴───┴───┴─┚乙：┖───┚8第6级上优秀A版教师版\n第四讲丙：┖─┴…┚设乙是一份数，则丙需要加上30凑够一份数；甲减去45凑够3份数；这时的和：300+30-45=285．，每一份数：285÷（3+1+1）=57（乙），甲：3×57+45=216答：甲堆煤有216千克．5.育才小学三年级有3个班，一共有学生126人．如果一班比二班多4人，二班比三班多4人，那么这三个班分别有多少人？【分析】建议老师画图分析．假设三班为1份，二班是1份多4人，一班是1份多4+4=8人，所以每份为(12648)338人，二班是38+4=42人，一班是42+4=46人．6.小红有45张积分卡，小丽有55张积分卡，要想使小丽的积分卡是小红的4倍，小红需给小丽多少张积分卡？【分析】两人共有45+55=100（张）积分卡，因为不管怎样给和不会发生变化，现在的一份数：100÷（4+1）=20（现在小红），所以小红需给小丽：45-20=25(张).第6级上优秀A版教师版9\n第五讲第五讲倒推与图示知识站牌四年级春季四年级暑假从反面情况考虑逻辑推理（二）三年级寒假三年级秋季倒推与图示逻辑推理（一）二年级春季逆向思考本讲主要利用顺序图和列表法解决还原问题漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖得这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？教学目标本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2.了解用倒推法解多个变量的还原问题．3.培养学生“逆向思考”的思想．经典精讲已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．倒推问题主要分为两类：一、单个变量的还原问题：画出顺序图，再逐步逆推回去二、多个变量的还原问题：列表法2第6级上优秀A版教师版\n第五讲例题思路模块一：例一：单个变量的还原问题-------利用顺序图例二：单个变量的还原问题-------利用顺序图例三：单个变量的还原问题-------数字问题例四：单个变量的还原问题-------利用线段图模块二：例五：多个变量的还原问题-------利用列表法例1昊昊做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．【分析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．1010100，10010110，1101011，11101综合算式为：（101010）1010（10010）1010110101011101所以这个数为1．【想想练练】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?［分析］（2525）5250(个)，即共采集了250个树种子.［小结］解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．［口诀］加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．第6级上优秀A版教师版3\n例2有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝.这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下去8两酒.这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完.问：原来酒葫芦里有多少两酒？【分析】最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒.最后一次有：8÷2=4（两），倒数第二次有：（4+8）÷2=6（两），原来有：（6+8）÷2=7（两）.创业无止境“倒推法”演算人生和许多来泉创业者一样，漆浩在泉州最大的困难就是“人生地不熟”。如何把自己创业经验复制给客户？如何寻找和发展自己的加盟店？漆浩讲出一直深藏在心里的秘密。“很多品牌服装企业都在招工，我就不断去面试。”漆浩回忆，他利用找工作的方式认识到许多老板。“每次应聘企业高管，过关斩将，最终与企业老板面对面。醉翁之意不在酒，而在于和这些老板交朋友。”不断“求职”、不断交友、不断发展加盟商，漆浩已经在福建省布下50多家分店，其中有7家是自营店。未来的创业道路会在哪里？漆浩称，创业没有止境，他习惯用“倒推法”来演绎自己的人生。许多人在创业订立计划的时候是逐年逐年向前设定，如今年做什么，明年的规划是什么，后年的目标又是什么。而在漆浩眼中，则是倒推上来，按五年一个周期设计目标，如从卫生院下海的时候，他就设定5年以后会创业，那么他第四年就得当上副总经理，第三年就得当上主管……“这几年的事业发展步伐和他当初订立的目标基本一致。”未来的创业需要品牌。漆浩再次感觉到品牌的重要性，特别是在晋江、石狮等地，服装企业众多，只有形成品牌才能脱颖而出。“创立品牌是一件十分艰难的事情，这其中不仅要涉及资金问题，还要考虑到供货链以及产品的全面化。”漆浩笑着称，30岁之前手头上可能一分钱都没有，“因为我得用钱扩大货源。”展望下一个五年计划，我们祝愿漆浩好运。4第6级上优秀A版教师版\n第五讲例3包包在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于包包两次错误的计算，变成了另一个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：⑴把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了963⑵把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10（96）30这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数．”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174（96）10（96）17433017730147方法二：利用倒推图法：-3+30174综合算式得174-30+3=147所以最后的正确的结果是147.［小结］题目算错了不要紧，只要找出产生错误的原因，也就找到了解决问题的突破口，找到了正确答案．[想想练练]小军在做一道减法题的时候，真粗心，把被减数的个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是199，正确的差是多少？（1984年杭州市上城区小学四年数学竞赛题）［分析］把被减数的个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，被减数增加了68365，差增加了65，正确的差是19965134.例4学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【分析】根据题意，画图倒推分析：_用去_15_米_还剩_9_米_第三次15924(米)_用去_剩下_24_米_第二次_一半_10_米（2410）228(米)_用去_剩下_28_米_第一次_一半_2_米（282）260(米)第6级上优秀A版教师版5\n所以，这根绳子全长60米．方法二：利用倒推法：÷2-2÷2+10-159列式得9+15=2424-10=1414×2=2828+2=3030×2=60所以这根绳子原来有60米［小结］这道题解决的关键在于用倒推法进行分析．我们想第二次用完后应剩下多少米？第一次用完后应剩下多少米？这几个问题解决了，答案也就出来了．用画图来表示更加一目了然！[想想练练]电工组买来一捆电线，工人们第一天用去全长的一半多5米，第二天用去余下的一半少8米，第三天用去14米，最后还剩10米．这捆电线原来有多少米？［分析］用倒推法进行分析，第二天用完后应剩下：101424（米），这24米比余下的一半多8米，所以第一天用完后应剩下：(248)232（米）．这32米应是全长的一半少5米，这样全长应是：(325)274（米）．例53个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？【分析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是36312（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了12820（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：1266（只），第2个笼子里原有：3620610(只)．6第6级上优秀A版教师版\n第五讲游戏1：桌上放着15枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干枚。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得全部15枚硬币游戏开始了，你一定在想：有没有能保证你赢的办法呢？若有，这办法又是什么呢？现在你把自己想象成处于即将赢的状态，该你取硬币了，而且桌面上硬币恰好不超过5枚，这时，你可以一次拿走桌上的所有硬币，成为赢者。现在，你能不能从这样的终点状态往前推，找出一个状态，使得只要你的对手处在这一状态，那么无论他拿走几枚硬币，你都会处于理想的获胜状态？不难发现，如果你的对手处于桌面有6枚硬币的状态，那么无论他拿走几枚（从1枚到5枚）硬币，桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币，这样胜利一定属于你。也就是说，谁拿走第（15－6＝）9枚硬币，谁将获胜。于是，游戏1获胜情况就与下面游戏2结果相同。游戏2：桌上放着9枚硬币，两个游戏者(你和你的一位同学)轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。由对游戏1的倒推分析，我们不难知道，游戏2的获胜情况与下面游戏3结果相同。游戏3：桌上放着3枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。在游戏3中，你只要第一个从桌上拿走3枚硬币便可赢。可见，你要在游戏1中取胜，只要第一个取走桌面上的3枚硬币便一定能赢。想一想：利用上面的最佳战略方法和你的小朋友做下面的游戏：桌上放30枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人每次至少取2枚，至多取6枚，拿到最后一枚谁就赢得全部30枚硬币。杯赛提高甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28214（棵），乙班有281442（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221（棵），甲班第6级上优秀A版教师版7\n原有树142135（棵）．甲班乙班282814423521知识点总结倒推问题主要分为两类：一、单个变量的还原问题：画出顺序图，再逐步逆推回去二、多个变量的还原问题：列表法家庭作业1.有一个数加上1，减去10，乘以2，除以3，最后结果等于4．问这个数是几？【分析】根据已知条件，我们可以先分步写出算式：（）+1→（）-10→（）×2→（）÷3→4．然后用倒推法从后往前进行计算．答案是：（15）+1→（16）-10→（6）×2→（12）÷3→4，这个数是15.2.一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．【分析】3672416244.3.山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【分析】2[12（）22]16(个).4.小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？【分析】倒推法，把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是：123504169.即：123(8030)(95)169.5.学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．【分析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．8第6级上优秀A版教师版\n第五讲综合算式为：166453964532453293266.甲、乙、丙三个小组共有图书120本，如果乙小组向甲小组借20本后，又借给丙9本，这时甲、乙、丙三个小组的图书本数相同.问甲、乙、丙三个小组原有图书各多少本？【分析】∵这时甲、乙、丙三个小组的图书本数相同，∴现在甲乙丙各有的本数：120÷3=40（本）；用列表法，列表如下：变化次数甲的本数乙的本数丙的本数最后404040第二次后4040+9=4940—9=31第一次后40+20=6049-20=2931第6级上优秀A版教师版9\n第六讲第六讲方阵知识站牌四年级暑假三年级春季等差数列进阶等差数列初步三年级寒假方阵二年级秋季排队趣题二年级秋季有趣的植树问题掌握方阵的各种特征以及方针中关于数量的计算漫画释义第6级上优秀A版教师版1\n课堂引入方阵是古代军队作战时采用的一种队形，是把士兵排列成方形阵式。在生活中也经常用到方阵，比如说表演的时候，列队的时候等等，排列成方阵既整齐又非常有气势。而在数学上，若干个点排成正方形的形状就可以形成方阵，方阵具有很多的特点和规律，今天就让我们来学习方阵吧！教学目标1.掌握方阵的各种特征2.掌握实心、空心方阵的综合应用3.了解正三角形阵的特点经典精讲一、方阵问题（一）实心方阵：（1）总数=边数×边数（二）空心方阵：⑴奇数层：总人数=中间层总数×层数⑵偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷222⑶若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共ab人；2第6级上优秀A版教师版\n第六讲⑷总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4例如：如图（1）所示：总数=(71)1424如图（2）所示：总数=(62)2432二、掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律（1）每层人数=每边人数×4－4=（每边人数－1）×4（2）相邻两边之间相差2（3）相邻两层之间相差8三、正三角形阵边长为n的正三角形阵总数=123n例题思路模块一：实心方阵：例1、例2、例3模块二：空心方阵：例4、例5第6级上优秀A版教师版3\n例1一个实心方阵，最外一层每边18人；（1）那么整个方阵一共人；（2）最外面一层有人；（3）从外向内数，第2层每边有人；（4）第二层一共有人；（5）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人；（6）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加人.2【分析】（1）18324；（2）17468或184468；（3）18216；（4）15460或68860；（5）603180；（6）19476；【想想练练】一个实心方阵，最外一层每边10人；⑴那么整个方阵一共人；⑵最外面一层有人；⑶从外向内数，第2层每边有人；2［分析］（1）10100；（2）104436；（3）1028；例2某小区要对一块空地进行绿化，把这些树种成方阵的样子．最外面一周有60棵树．问这个方阵外层每边有多少棵树？这块空地一共种了多少棵树？2【分析】每边有604116棵树，共种了16256棵树.例3参加运动会团体体操表演的同学组成一个正方形队列，一共有25行，25列，若从该队列中去掉一行一列，减少了多少学生？还剩多少学生？【分析】减少1行1列，此题由于是外层每边是奇数的方阵，只能在外层减少1行1列，一共减少了252149个，剩余252549576个．【想想练练】军训师生进行队列表演，排成一个正方形队列．如果这个队列横竖再增加一排，还需要补充19人．参加队列表演的师生有多少人？［分析］增加后每边人数：(191)210人，原来每边人数：1019人，原来有9×9=81（人）4第6级上优秀A版教师版\n第六讲生肖方阵五千多年前，在部落间的争夺战中，以黄帝（姓公孙、名轩辕）为首的部落逐渐强盛；黄帝善于研究兵法，以布列生肖方阵见长；生肖方阵由十二个有“子鼠”等标识的小阵组成，黄帝布成方阵后，训练有序冲锋，厮杀中不但可以旋转以逸待劳对敌，还可免受腹背受敌之苦；训练出靠小阵的分开合拢，诱敌入阵中围歼。方阵也可随地形变化成圆形，也可根据敌人的数量，增减每个小方阵的人员数量。黄帝从小的游牧部落兴起，起初只能组建几百人左右的生肖方阵，却靠有序的组织，统一的行动，充分挖掘出团队的力量，屡战屡胜，二十多年的兼并战争中，生肖阵演变得变化多端，小部落已经壮大为大部落，能组建成天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个大的生肖方阵，每个大方阵能布下几万人，黄帝在征战中，总结出六十多种实战变化，但生肖阵的变化阵式，只有现代的电子计算机才算得清。例4节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外面的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【分析】方法一：最外层共有124444（盆），第二层共有44836（盆），第三层共有36828（盆），所以共有443628108（盆）.方法二：第二层每边有12210（盆），第二层共有104436（盆），所以共有363108（盆）.【想想练练】用若干盆串红摆成一个最外层每边是16盆的5层中空方阵，中间用黄色菊花填满，求两种花各用多少盆？【分析】串红最内层每边盆数：16(51)28盆，菊花最外一层盆数：826盆，菊花总盆数：6636盆，串红总盆数：161636220盆第6级上优秀A版教师版5\n例5用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【分析】方阵相邻两层棋子数差为8，又知两层棋子数和为64，由和差问题，外层有(648)236枚棋子，如果再增加一层，需要增加36844个今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【分析】如下图所示：杯赛提高如图，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子.今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子即可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？2【分析】100以内的平方数，只有63612345678；所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形阵.6第6级上优秀A版教师版\n第六讲知识点总结一、方阵问题（一）实心方阵：（1）总数=边数×边数（二）空心方阵：⑴奇数层：总人数=中间层总数×层数⑵偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷222⑶若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共ab人；⑷总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4二、掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律⑴每层人数=每边人数×4－4=（每边人数－1）×4⑵相邻两边之间相差2⑶相邻两层之间相差8三、正三角形阵边长为n的正三角形阵总数=123n家庭作业1.四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【分析】可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8864＝（人）.2.三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？2【分析】每边有32419人，共981人.3.某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演，如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？【分析】每边有(151)218人（或者（15+1）2=8人），共8864人第6级上优秀A版教师版7\n4.最外层每边13人的空心方阵，最外层有多少人？【分析】最外层四周有134448人，5.晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【分析】如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(141)452(个)，(1421)444(个)，524496(个)，一共用了96个棋子．6.一个中空方阵，最外层每边10人，最内层每边6人，这个方阵一共多少人？【分析】每向里面一层，每边的个数就减少2人，所以一共有3层，从外向里，分别有10人，8人，6人.最外层共有：4（101=36）人，中间层有：36828人，最里层有：28820人，所以共有：36282084人8第6级上优秀A版教师版