第二讲第二讲奇数与偶数知识站牌四年级秋季三年级秋季操作类智巧趣题多笔画游戏三年级秋季奇数与偶数二年级秋季巧填算符一年级春季单数与双数通过数学归纳法发现奇数与偶数的各种运算规律；解决简单的实际问题，培养孩子的数论思想漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入请同学们将上面两个图形中的苹果两个两个分，你发现什么规律了吗？教学目标本讲所讲的问题，主要是运用奇数和偶数的一些浅显易懂的性质来解答数学问题．1．知道奇数和偶数的基本概念2．能运用奇偶数的性质解答较简单的奇偶数问题．经典精讲奇数和偶数的概念：整除：一个整数除以另外一个非零整数时，没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除.偶数：我们把能被2整除的数叫做偶数.奇数：不能被2整除的数叫做奇数．例如：2、4、6、8、等等都是偶数．不要忘记，0也是偶数，0是最小的偶数．1、3、5、7、9、都是奇数．2第5级下优秀A版教师版\n第二讲奇数和偶数的判断方法——末位判断法：偶数的个位：0、2、4、6、8.奇数的个位：1、3、5、7、9.奇数和偶数的表示方法：偶数表示方法：如果我们用n表示整数，n0,1,2,3,那么2n就表示偶数，简写成2n．奇数表示方法：因为2n为偶数，比2n多1或少1的数为奇数．所以我们用2n1或2n1表示奇数．奇偶数的主要运算性质如下：（1）两个奇数相加减得偶数，两个偶数相加减得偶数，即同奇偶的两个数相加减得偶数；（2）奇数与偶数相加减得奇数；（3）奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数，无论多少个偶数相加都得偶数；（4）有限个数之间无论如何添加加减号，奇偶性都不变.最简单的特例就是两个数的和与差同奇偶.（5）一串数相乘，只要有一个乘数是偶数，积就是偶数；只有当乘数都是奇数的时候，积才是奇数.例题思路例1：用数字组成奇偶数问题例2：偶数个奇数相加得偶数例3：相同的两个数相加和一定为偶数例4：奇数与偶数的运算性质例5：页码问题中的奇偶数问题例1用数字1，3，0可以组成多少个没有重复数字的奇数和偶数？【分析】因为偶数的个位是偶数，所以只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和3可作个位数组成奇数．偶数有：0，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6个．【总结】这类题目，要注意组合成偶数时，不能重复，也不能遗漏，还要注意0不可以作首位数．第5级下优秀A版教师版3\n【想想练练】下列数13,91,100,55,1001,9999,2012,142857,12345,67898中，属于奇数的是__________________,属于偶数的是________________________.［分析］属于奇数的是13、91、55、1001、9999、142857、12345；属于偶数的是100、2012、67898.【对应学案】［学案1］例2357911131517的和是奇数还是偶数？为什么？【分析】先想分组凑整法，得出有四组20，答案是偶数．再利用奇偶数相加规律，因为奇数奇数=偶数，在这8个奇数中，每两个奇数为一组，共4组，变成都是偶数．又因为偶数偶数=偶数，所以8个奇数的和是偶数．【总结】由这道题我们可以得到，当奇数的个数是偶数时，它们相加的和是偶数；当奇数的个数是奇数时，他们相加的和是奇数．【想想练练】579111315171921的和是奇数还是偶数？为什么？［分析］奇数.9个数都是奇数，和为奇数．【对应学案】［学案2］4第5级下优秀A版教师版\n第二讲老掉牙的游戏活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好？”“好！”小动物们齐声回答.“请你们每位准备两张小纸条.”黑熊老师清了清嗓子说.小动物们不知道黑熊老师让他们做什么游戏，一个个兴奋得眼睛发亮，很快就把小纸条准备好了.黑熊老师扫视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写上一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。不要给我也不要给你身边的同学看.”小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求.“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说，“你们各位都请将右手中的数乘２，左手中的数乘３，再把乘积相加.注意，不要算出声音来.”等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队，得数是偶数的排成一队.小动物们都站好了，一个个非常兴奋地看着黑熊老师，猜测着它下一步要它们做什么.“好了！”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数.”它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数.”两排小动物们摊开手掌一看，果然，黑熊老师猜得完全正确.动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的？”例313579111213的积是偶数还是奇数？【分析】1，3，5，7，9，11，13都是奇数，由奇数奇数=奇数，推知135791113为奇数．因为12为偶数，而且奇数偶数=偶数，所以（135791113）12为偶数，即13579111213为偶数．【想想练练】135719911993的积是偶数还是奇数，为什么？［分析］因为奇数奇数=奇数，不管有多少个奇数相乘，它们的积还是奇数，所以这道题的计算结果是奇数．［拓展］请你帮嘟嘟检查一下他算的结果对不对：253738199532212285.［分析］错．用奇偶的运算性质判断，奇数奇数奇数，奇数偶数奇数，奇数奇数偶数，偶数奇数偶数，偶数偶数偶数，但是2285是一个奇数，偶数不等于奇数，所以嘟第5级下优秀A版教师版5\n嘟的结果是错误的．奇偶数加减法的几个常见结论：结论一：任意个偶数的和是偶数．根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多1个就接着加．即：(偶数偶数)(偶数偶数)(偶数偶数)偶数偶数偶数(偶数偶数)偶数偶数偶数偶数．结论二：奇数个奇数的和为奇数．假设有2n1个奇数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结果为奇数．结论三：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数．即ab与ab的奇偶性相等．（教师在讲解时，最好与学生共同试一下．）例4(2002年全国小学数学奥林匹克)有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【分析】入手点：最小的两位奇数是11，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．小于11的奇数有1、3、5、7、9，结合和是11这个条件可以确定最小数和最大数1和5.可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5．【对应学案】［学案3］例5有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？【分析】20张纸→40个面．因为每张纸上的两个页码之和是(奇数偶数=)奇数，20个奇数的和是偶数，1999是一个奇数，任何一个奇数不等于偶数，所以这20张纸上的所有页码之和不可能是1999．【对应学案】［学案4］6第5级下优秀A版教师版\n第二讲杯赛提高有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中选出五张使它们上面的数字之和为20？为什么？【分析】因为卡片上的数都是奇数，而5个奇数的和是奇数，所以不可能等于偶数20．大盘与小盘有一大一小两个盘子，现在要把5个玻璃球放到这两个盘子里，有没有每个盘子里都要有奇数个玻璃球？如果没有，为什么？［分析］同学们在学过今天的内容后，应该都会认为这道题很简单，因为两个盘子里要放5个玻璃球，总数是奇数个．而要求每个盘子里都要有奇数个玻璃球，就要有偶数个玻璃球（奇+奇=偶）．所以是没有办法做到的．但是，大家在看这个问题时，有没有注意到一点，题目中提到了盘子是“一大一小”的，如果能够注意到这一点，问题就迎刃而解了．我们可以在小盘子里放上3个玻璃球，然后把小盘子放在大盘子上，并把另外两个玻璃球放在大盘子上，如图所示．这样，小盘子里将有3个玻璃球，而大盘子里将有5个玻璃球，满足题目要求．附加题1.（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动初赛）在“88”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“88”的方格中最多可以放枚棋子．第5级下优秀A版教师版7\n［分析］如图，观察向左下倾斜的15条斜线，其中的方格数依次是：1，2，3，，7，8，7，，3，2，1，其中有8个奇数，表明有8条斜线中必须至少缺一个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有8条必须缺一个棋子．这样，总共至少缺16个子，所以最多放48枚．下图表明缺16个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格．2.(华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛)筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同．问有多少种分法？［分析］由题意可知分了偶数堆，把60分成一个偶数和一个奇数相乘，或两个偶数相乘就可以获得答案，而60160230302320154125610106，可得：分成60堆每堆1个；或分成30堆每堆2个；或分成2堆每堆30个；或分成20堆每堆3个；或分成4堆每堆15个；或分成6堆每堆10个；或分成10堆每堆6个；或分成12堆每堆5个．共有8种分法．3.在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？［分析］两人握手一次，每人算一次，就是2次，每当有人握手，握手的总次数就增加2次，所以，不论有多少人怎样握手，他们握手总的次数恒为偶数，这个偶数就是每个人的握手次数之和．因为每次握手都是两个人相互握手，每人各算1次，所以握手的总次数必定为偶数，即所有人握手次数之和为偶数，但加数中的偶数不影响和的奇偶性，和的奇偶性是由加数中奇数的个数决定的，握手次数之和为偶数，说明加数中的奇数有偶数个，即握过奇数次手的人必有偶数个．所以主人说的有道理．4.元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？［分析］此题初看似乎缺总人数．但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关．由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次．那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数．送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数．另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数偶数．他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为8第5级下优秀A版教师版\n第二讲偶数．所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数.5.将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，，100，现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下，假定开始时，灯泡全不亮，试问这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？［分析］一盏不亮的灯拉奇数次开关，它就会亮；拉偶数次开关，它就会熄灭．100个人按要求拉完开关后，哪些编号的灯泡拉了奇数次呢？这便是解答此题的关键．把100个人看成是100个“因数”，即因数1，2，3，4，，100，他们都把属于他们整数倍的编号的灯拉一下，当这些编号的灯含有奇数个因数时，就有奇数个人去拉这盏灯，所以这盏灯就会亮．编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯，均含有奇数个因数，故均有奇数个人去拉开关，所以这些编号的灯全是亮的．其余的编号为非平方数，都含有偶数个因数，均有偶数个人去拉开关，这些编号的灯是不亮的．6.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数？［分析］三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律．可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶…这样的变化规律，因为200936692，所以前2009个数有669个偶数.7.有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？［分析］因为分成的线段数比断口数多1，比偶数多1或少1的数都是奇数，所以毛线被分成的段数是奇数．8.能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.［分析］不能.因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22．9.沿着河岸长着8种植物，相邻两种植物上所结的果实数目相差1个．问：8种植物上能否一共结有225个果实?说明理由．［分析］不能.本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍.相邻的两种植物果实数目差1个意味着相邻2种植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.10.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？9□8□7□6□5□4□3□2□1=28［分析］123945,把一个“+”变化为“-”，计算结果改变量为偶数，奇数-偶数=奇数.28为偶数，所以不可能得到.第5级下优秀A版教师版9\n知识点总结奇数和偶数的概念：整除：一个整数除以另外一个非零整数时，没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除.偶数：我们把能被2整除的数叫做偶数.奇数：不能被2整除的数叫做奇数．奇偶数的主要运算性质如下：（1）两个奇数相加减得偶数，两个偶数相加减得偶数，即同奇偶的两个数相加减得偶数；（2）奇数与偶数相加减得奇数；（3）奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数，无论多少个偶数相加都得偶数；（4）有限个数之间无论如何添加加减号，奇偶性都不变.最简单的特例就是两个数的和与差同奇偶.（5）一串数相乘，只要有一个乘数是偶数，积就是偶数；只有当乘数都是奇数的时候，积才是奇数；总结：上联：同奇同偶为偶，下联：一奇一偶为奇，横批：有偶则偶家庭作业1.用数字4，5，0可以组成多少个没有重复数字的奇数和偶数？【分析】因为偶数的个位是偶数，所以只有0和4可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有5可作个位数组成奇数．偶数有：0，4，40，50，54，450，504，540，共8个；奇数有：5，45，405，共3个．2.235711131719的和是奇数还是偶数？【分析】奇数.因为有7个奇数，和为奇数.3.5791112131517的积是偶数还是奇数？【分析】5，7，9，11，13，15，17都是奇数，由奇数奇数=奇数，推知57911131517为奇数．因为12为偶数，而且奇数偶数=偶数，所以（57911131517）12为偶数，即5791112131517为偶数．4.5个连续自然数的乘积是（）.A．奇数B.偶数【分析】5个连续自然数中一定有偶数，乘积是偶数.选B.10第5级下优秀A版教师版\n第二讲5.两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由．【分析】偶数．乘积是奇数则说明两个数都是奇数，奇数奇数偶数．6.在一本400页的书上，页码依次编号为1~400，能不能从中取出25张纸，并把上面的50个编号加起来，使和为2008？【分析】因为每一张纸上的页码之和为奇数，而25个奇数之和为奇数，所以和不可能是偶数2008．学案［学案1］从公元1年开始到2年，3年，一直到2009年，在这些年份当中，请问有多少奇数年？有多少个偶数年？［分析］本着“见面分一半”的原则．我们把这些年份，按顺序排成一列数：1，2，3，4，5，，2008，2009．不难发现：这些数，奇数、偶数先后依次交替出现，最先是奇数，最后是偶数，先看1~2008的，可见奇数和偶数一样多，而奇数和偶数一共有2008个．因为奇数年份和偶数年份一样多，它们一共有2008个，所以，奇数年份和偶数年份各有200821004(个)，而2009是奇数，即奇数年份有100411005(个)，偶数年份有1004(个)．［学案2］算式(121122170)(414298)的结果是奇数还是偶数？为什么？［分析］如果直接把算式的结果算出来这道题就太麻烦了.先看被减数部分是连续自然数相加，一共是170121150个数，50225，其中有25个奇数，被减数部分是一个奇数.减数部分有9841148个数，48224，其中有24个奇数，减数部分是一个偶数.奇数—偶数＝奇数.所以原式的计算结果是奇数.［学案3］(古代趣题)三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．是否可以运走这些缸？［分析］根据题目要求，要用九只船将36口缸运走，而且每只船上只准装运单数口缸，也就是将36分成9个奇数的和．根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，但是36是偶数，所以按照题目要求不能运走这些缸．［学案4］桌子上有3个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的两个，问能否经过若干次翻动，使得3个杯子的开口全都向下？［分析］不能，杯子要翻过来需要翻奇数次，三个杯子都要翻过来，则是3个奇数相加，和为奇数，因此，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动两次，那总次数永远不可能是奇数，因此不能把三个杯子的开口全都向下．第5级下优秀A版教师版11