第五讲第五讲和倍问题知识站牌三年级春季三年级秋季和差倍综合差倍问题三年级秋季和倍问题二年级春季和差问题二年级春季移多补少本讲主要学习利用画线段图的方法解决问题，培养学生的数形结合能力，通过分析题目找到“和”“倍”进而培养学生分析问题能力漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入暑假开始了，妈妈给艾迪和薇儿一共买了30支彩笔，妈妈很快分成两份，多的一份是少的2倍，谁先算出每份分别是多少，就可以拿多的一份。艾迪正在想怎么利用这么少的条件算出两份分别是多少。薇儿已经说出了多了一份是20支，少的一份是10支。你知道薇儿是怎么在这么短的时间内算出正确结果的吗？教学目标本讲主要学习三个主要知识点：1．理解掌握解决和倍问题的一般方法．2．掌握并运用图示法解答和倍问题．3．通过量与倍数的对应关系，让学生体会对应的数学思想．经典精讲和倍问题，顾名思义就是已知两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之一．要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式．小数和大数?这里大数是小数的2倍，倍数是2．可以看出，小数为1倍数，大数为2倍数．根据图意，和所对应的倍数为(21)，那么每份是：和÷(倍数+1)，每份的数也就是一倍的数．所以数量关系式可以这样表示：两数和÷(倍数+1)=小数(一倍数)小数(一倍数)×倍数=大数(几倍数)或两数和-小数(一倍数)=大数(几倍数)解决和倍问题常用方法步骤：第一步：找出“1”份量（一般为“少的”或“关键的”或“‘的’前‘是’后”的）——2第5级下优秀A版教师版\n第五讲用1厘米的线段表示出来第二步：找多份量第三步：找总和第四步：求“1”份量第五步：求多份量例题思路例1：整倍数问题例2：和发生变化的和倍问题例3：几倍还多多少例4：几倍还少多少例5：多量问题例1学而思三年级奥数基础班和提高班共有图书160本．基础班的图书本数是提高班的3倍，基础班和提高班各有图书多少本？【分析】设提高班的图书本数为1份，则基础班图书为提高班的3倍，那么基础班和提高班图书本数的和相当于提高班图书本数的4倍．还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了提高班的图书本数，然后再求基础班的图书本数．用下图表示它们的关系：提高班?160本基础班?所以，提高班：160(31)40(本)，基础班：403120(本)或16040120(本).【想想练练】学校买来乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？［分析］羽毛球8个，乒乓球有32个.【对应学案】[学案1]第5级下优秀A版教师版3\n[巩固]果园里有梨树和苹果树共324棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？［分析］把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，324棵就相当于5+1=6份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数．梨树:324(51)54(棵),苹果树:545270(棵)．苹果树比梨树多:27054216(棵)．这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了．梨树:324(51)54(棵),苹果树比梨树多:54(51)216(棵)．例2甲、乙两船原有乘客共561人，到某地后，从甲船下去40人，乙船上来l0人，这时甲船人数正好是乙船人数的2倍．问甲、乙两船原来各有乘客多少人？【分析】现在甲乙两船共有乘客5614010531(人)．由“这时甲船人数是乙船人数的2倍”，可知乙船人数是l倍数，而甲、乙两船共有的人数相当于乙船人数的213(倍)，再由和倍问题的计算公式就可求出这时乙船人数5313177(人)，进而可求出乙船原有人数17710167(人)，最后求出甲船原有人数：561167394(人)．【对应学案】[学案2]事半功倍战国的时候，有个大思想家叫孟子，他有很多的学生。有一次他和他的学生公孙丑谈论统一天下的问题。他们从周文王谈起，说当时文王以方圆仅一百里的小国为基础，施行仁政，因而创立了丰功伟业；而如今天下老百姓都苦于战乱，以齐国这样一个地广人多的大国，如能推行仁政，要统一天下，与当时周文王所经历的许多困难相比，那就容易得多了。孟子最后说：“今天，像齐国那样的大国，如能施行仁政，天下百姓必定十分喜欢，犹如替他们解除痛苦一般。所以给百姓的恩惠只及古人的一半，而获得的效果必定能够加倍。现在正是最好的时机呢！”后来人们便根据孟子所说的这两句话，引申为“事半功倍”，用来形容做事所花力量较小而收到的效果甚大。例34第5级下优秀A版教师版\n第五讲新华书店去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册？【分析】如果去年的售书量是1倍数，那么今年的售书量就是2倍数加20万册,售书总量是3倍数加20万册．算去年的售书量就是算1倍数,所以关键是去找倍数所对应的数量,38020360(万册)刚好是3倍数,那么去年的售书量是3603120(万册),今年的售书量是120220260(万册)．[想想练练]小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2本．小强和小明各有几本练习本？［分析］(502)(12)48316(本)………………………小明162234(本)或501634(本)…………………小强【对应学案】[学案3]例4小猴子聪聪和明明共有28个香蕉，聪聪的香蕉比明明的2倍少2个．聪聪和明明各有几个香蕉？明明28个香蕉2聪聪【分析】从线段图可以看出，如果让聪聪增加2个香蕉，那么就正好是明明香蕉个数的2倍．聪聪增加了2个香蕉，两人香蕉的总个数也应增加2个，是28230(个)．30个正好是明明香蕉个数的123倍，这样就可以分别求出聪聪和明明各有多少个香蕉．(282)(12)30310(个)…………………明明102218(个)或281018(个)…………聪聪【对应学案】[学案4]例5一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克．已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？梨苹果112+3香蕉3第5级下优秀A版教师版5\n【分析】梨的重量是：(1123)(113)23(千克)苹果的重量是：23369(千克)香蕉的重量是：23320(千克)[想想练练]学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍．排球比足球多4个．问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？［分析］把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l份数，这时三种球一共(494)个，总份数是(131)，就可先求出足球的个数45(131)9(个)，再分别求篮球和排球的个数．篮球：9327(个)，排球：9+4=13(个)．杯赛提高甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮是乙仓库的3倍多20吨．必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？［分析］将乙仓库的应存粮量看做一倍量，那么甲乙仓库存粮的总和相当于乙仓库应存粮量的(13)倍量＋20吨，从而可求出乙仓库应存粮量．甲、乙两仓库存粮的总和108140248(吨)，乙仓库应存粮量：(24820)(13)57(吨)，乙仓库运出粮食数量：1405783(吨)小牛对人说：“昨天，我跟两位象棋高手下棋。我面前摆着两副棋盘，我一个人走两盘棋，同时跟这两位高手比赛。你们猜，谁胜谁负？”“准是你两盘都输了。”人们知道小牛刚学下象棋，连马步怎么走都记不住。“不对。头一回，两盘都是和棋。第二回，我输一盘，赢一盘。无论再下多少回，我也不会同时输两盘棋。”“你吹牛。”两位象棋高手出来证明：小牛没有吹牛，我们也没有让棋。是他采取巧妙的办法来和我们下棋的。小牛用的是什么巧妙办法。【分析】为了方便说明，不妨给两位棋手取两个名字：一位是高明，一位是必胜.小牛和高明下的那盘棋，让高明先走；另一盘棋让必胜后走。然后，小牛看看高明怎么走，就照搬过来对必胜，再看必胜走哪一步，又搬回来对高明.这样，表面上是小牛同时下两盘棋，实际上是高明和必胜对下.高明和必胜不可能同时赢，小牛就不会两盘都输.6第5级下优秀A版教师版\n第五讲附加题1.商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克？1倍数苹果的重量3倍数橘子的重量2倍数少3千克香蕉的重量多2千克［分析］我们可以把苹果的重量看作1份，如图：如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水果的总重量变为：533254(千克)，正好是苹果重量的(132)倍，苹果有：(5332)(132)5469(千克)，橘子有93324(千克)．2.某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了10棵柳树之后，又临时运来了5棵槐树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？［分析］如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来5棵槐树，那么树的总数就是：200105195(棵)，而且这个时候，柳树的数量等于槐树的数量，也等于杨树的数量，令杨树的数量为一倍数，即为：195(111)195365(棵)，所以，计划种杨树：65棵，计划种柳树：651075(棵)，计划种槐树：65560(棵).3.甲、乙、丙三个数的和是359，已知甲是乙的3倍多8，乙是丙的2倍少9，求甲乙丙三个数各是多少？［分析］把丙看作一倍数，乙是丙的2倍少9，而甲就是丙的236倍少(398)，与和相寸应的倍数和就是1269倍，由此可分别求出三个数．丙：(359849)(1223)387943乙：432977，甲：7738239．知识点总结两数和÷(倍数+1)=小数(一倍数)小数(一倍数)×倍数=大数(几倍数)或两数和-小数(一倍数)=大数(几倍数)第5级下优秀A版教师版7\n家庭作业1.根据线段图列式：28(31)7【分析】列式：（米）2.学校买来一些乒乓球和羽毛球共240个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍．买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【分析】把羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，240个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数是48个，羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数，即：484192(个)．3.有两棵树上原来共46个小鸟，现在第一棵树上飞走6只，第二棵树又飞来8只。这时第一棵树上的小鸟数量正好是第二棵树小鸟数量的2倍．问：原来两棵树上的小鸟各有多少只？【分析】第一棵树上飞走6只，第二棵树又飞来8只后了，两棵树上共有466848只，现在第二棵树有1份，那么第一棵树有2份，所以第二棵树原有48(21)16棵，4.小白兔和小灰兔共有50个萝卜，小灰兔的萝卜比小白兔的2倍多2个．小白兔和小灰兔各有多少个萝卜？【分析】(502)(12)48316(个)………………………小白兔162234(个)或501634(个)…………………小灰兔5.艾迪和薇儿共有53张积分卡，已知薇儿的积分卡数量是艾迪积分卡数量的3倍还少3张，那么艾迪和薇儿各有多少张积分卡？【分析】艾迪有(533)(31)14张积分卡，薇儿有531439或143339张积分卡6.红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票？［分析］以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4倍，一共就是(124)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，8第5级下优秀A版教师版\n第五讲从而求出黄纸盒里有几张彩票．56(124)8(张)……黄纸盒里的彩票数，8216(张)……红纸盒里的彩票数，16232(张)……蓝纸盒里的彩票数．学案[学案1]小明家里共养鸡和兔36只，鸡的只数是兔的只数的3倍，问小明家养的鸡和兔各有多少只？［分析］如果兔的只数是1倍数，那么鸡的只数就是3倍数，鸡和兔的总只数就是4倍数，即36就是4倍数，则兔有:36(13)9(只)，鸡有:3927(只)．[学案2]二(1)班里有课外辅导书和连环画共227本，如果课外辅导书拿走67本后，课外辅导书的本数就是连环画的4倍．原有连环画和课外辅导书各有多少本？［分析］如果课外辅导书拿走67本以后，则正好是连环画的4倍．这时课外辅导书与连环画总数应减少67本，列式成22767160(本)，正好是连环画本数的145倍．连环画有：160532(本)，课外辅导书有：32467195(本)．[学案3]李明、王刚两人共加工105个零件，李明加工的个数比王刚的3倍还多5个，李明和王刚各加工零件多少个？［分析］把王刚加工的个数看作1份数，李明加工的个数就比3份数还多5个，如果李明少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)个，王刚做了：100(31)25(个)，李明做了：253580(个)．[学案4]实验小学共有学生956人，男生比女生的2倍少4人．问：实验小学男生和女生各有多少人？［分析］女生：(9564)3320(人)，男生：956320636(人)或32024636(人).第5级下优秀A版教师版9