第八讲第八讲周期问题知识站牌五年级寒假四年级寒假数表—从杨辉三角谈起数表--从日历谈起三年级春季周期问题二年级春季周期问题初步二年级寒假有余数的除法余数初步；事物循环变化问题；隐含周期的问题；双周期问题漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，请找出下面这些题的周期（1）（2）（3）教学目标1．知识与技能：初步认识周期现象、周期、元素的概念、周期问题的形式，学会用所教方法解决一些基本的周期问题；2．过程与方法：通过观察、讨论、比较等活动，培养观察能力、动脑能力和探究合作的学习意识3．情感、态度、价值观：感受数学中周期、循环的奇妙，感受数学与生活的紧密联系，提升对数学学习的兴趣。教学重点：周期、元素等概念；余数法的解题方法步骤。教学难点：如何准确找到周期和周期中元素个数；用余数法时余数为0的情况；需要自主安排元素时如何安排。2第5级下优秀A版教师版\n第八讲经典精讲周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271，所以第16个数是2．日期问题一三五七八十腊31天永不差四六九冬30整平年二月28闰年二月29例题思路模块一：基本型例1：直观整周期问题例2：直观非整周期问题例3：环形周期问题模块二：日历型例4：同年周期问题例5：跨年周期问题第5级下优秀A版教师版3\n例1薇儿和艾迪做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○……你知道它们所排列的这些小球中，问：（1）第90个是什么球？（2）第100个又是什么球呢？（3）前200个球中一共有多少个黑球：【分析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．（1）因为90330，正好有30个周期，第90个是白球．（2）100333…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．（3）2003662，6622134个【想想练练】按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……［分析］从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为100616…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有163351个．【对应学案】【学案1】【巩固】流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、再2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？［分析］小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是5432115，因此只要用2003除以15，200315133…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．例2老师让艾迪在马路的一侧种一排树，开始艾迪连着种了5棵杨树后，老师说：这样种不对，你要按照3棵柳树、2棵松树、1棵杨树、然后再3棵柳树、2棵松树、1棵杨树……按照这样的规律种下去，艾迪一共种200棵树，请问：艾迪一共种了多少棵杨树？【分析】由题意分析知：3棵柳树、2棵松树、1棵杨树做为一个周期，但是前5棵杨树不在周期里，所以用2005195（棵）。1956323,那么有杨树532137（棵）.4第5级下优秀A版教师版\n第八讲【想想练练】(2005年第6届中环杯4年级初赛第7题）有一串数：9286……，从第三个数字起，每一个数码都是它前面两个数码乘积的个位数字，那么前100个数码的和是________．［分析］这一串数为92868842868842……，从第二个数开始每6个数重复出现周期现象，和为：10016163，162868849286601．【对应学案】【学案2】【巩固】（2011年世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛三年级）在1983后面写一串数字，从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字，这样得到一串数字19834286…，那么这串数字中，前2011个数字和是多少？［分析］这一串数为1983428688428688……，从第5个数开始每6个数重复出现周期现象，2011463343，和为：334428688428198312059．元素周期表元素周期表是由俄国化学家门捷列夫发现的。一天清晨，门捷列夫经过一个夜晚的研究后，疲倦地躺在书房的沙发上，他预感十五年来一直萦绕心头的问题即将迎刃而解，因此，这几个星期以来他格外地努力。十五年来，从他学生时代开始就一直对"元素"与"元素"之间可能存在的种种关联感兴趣，并且利用一切时间对化学元素进行研究。最近他感觉自己的研究大有进展，应该很快就能把元素间的关联和规律串在一起了。由于过度疲劳，门捷列夫在不知不觉中睡着了。睡梦中，他突然清晰地看见元素排列成周期表浮现在他的眼前，他又惊又喜，随即清醒过来，顺手记下梦中的元素周期表。元素周期表的发现成了一项划时代的成就，而因为在梦中得到灵感，所以人们称为"天才的发现，实现在梦中。"但门捷列夫却不这么认为，把这个累积十五年的成就归功于"梦中的偶然"让他忿忿不平。他说："在做那个梦以前，我一直盯着目标，不断努力、不断研究，梦中的景象只不过是我十五年努力的结果。"【人生智慧】天下没有任何成就是偶然的，只不过一般人只看到别人的成功而往往忽略了背后长期的努力和付出，而用运气好或是其它理由来加以解释，因而相较自己的表现"时运不济"就成了失败的最佳借口例312个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．⑴从1号同学开始，顺时针传100次，手绢应在谁手中？第5级下优秀A版教师版5\n⑵从1号同学开始，逆时针传100次，手绢又在谁手中？⑶从1号同学开始，先顺时针传156次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？121111029384756【分析】⑴因为一圈有12个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传100次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．100128(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中．⑵与第一小题的道理一样，先做除法．100128(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中(如图)．⑶先顺时针传156次，然后逆时针传143次，相当于顺时针传15614313(次)；再顺时针传107次，与13次合并，相当于顺时针传13107120(次)，1201210(圈)，手绢又回到1号同学手中．121111023984576【对应学案】【学案3】【巩固】如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？01111029384756［分析］解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循环，周期为12．⑴因为19911216511，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈．⑵因为1949121625，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．6第5级下优秀A版教师版\n第八讲⑶所求的乘积是11777.例42008年3月3号是星期一，算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几？【分析】首先我们应该算出2008年3月3号到8月8号一共有多少天，(312)303130318159（天）．按照7天为一个周期，159722…5，这个周期的第一天是星期一，那么第五天就应该是星期五，所以2008年8月8号奥运会开幕是星期五．【想想练练】2012年1月4日是星期三，那么2012年3月4日是星期_____.［分析］31297（8周）（4天），周期是从星期四开始，所以3月4日是星期日．【巩固】2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？［分析］303131301123（天）123717…4，这个周期从周日开始，那么第4天正好是星期三．【巩固】小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？［分析］从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，27126（天）；因为每个星期都是7天，也就是周期为7，所以2673（星期）…5（天）．这样，从6月1日开始经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．【巩固】今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？［分析］题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．365752（星期）…1（天），所以，从明天起，到第365天是星期四．例51978年1月1日是星期日，2000年1月1日是星期几？【分析】每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推3651736658035（天），803571147（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月1日是星期六．【对应学案】【学案4】第5级下优秀A版教师版7\n【巩固】图中是2002年5月份日历表．⑴该月8号是星期几？⑵该年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？⑶2004年5月1日是星期几?日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031［分析］一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出1号～７号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记2004年是闰年，共有366天．⑴该月的8号是星期三．⑵从5月1日到5月31日共31天，31743，所以6月1日是星期六．从5月1日到9月30日共153天．1537216，所以10月1日是星期二．⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天．73171043，所以2004年5月1日是星期六．杯赛提高如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数。（1）当数到200的时候，正好数到哪根手指？（2）当数到406的时候，正好数到哪根手指？（3）当数到1007的时候，正好数到哪根手指？【分析】由图知数数情况如下：（1）大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、……，8第5级下优秀A版教师版\n第八讲可见每数8个数就重复对应一次手指的排序，则由200÷8=25（次）知当数到200时正好数到食指。（2）无名指（3）中指蜗牛爬井问题一个蜗牛从深30米的井底向上爬．第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再向上爬6米；第四天又向下滑4米……按这样的规律进行下去，蜗牛第几天才能爬到井口？【解析】由于最后一天不下滑了，所以最后一天单独思考，根据题意：还知两天共爬行642，所以有：306212（次），天数共：122125（天）．附加题1.小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？［分析］⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81516…1⑵每个周期各个数之和是：7025317．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17167279，所以，这81个数相加的和是279．2.某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播．问：最后一集在星期几播出?［分析］每星期播6集，84集播84÷6＝14个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集在星期五播出.3.有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？［分析］我们可以用列表的方法寻求周期．第5级下优秀A版教师版9\n被除数中“1”的个数1234567…除以6后余数的末位数字1531531…除以6后商的末位数字0185185…通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）因为111337，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；因为(1111)336…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．知识点总结（一）周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现（二）周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期（三）主要题型：⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．（四）日期问题一三五七八十腊31天永不差四六九冬30整平年二月28闰年二月29家庭作业1.★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？【分析】87(23)17…2．第87个图形是圆形．172135（个）．2.薇儿和艾迪做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●●●●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第100个是什么球呢？【分析】本题可以通过找规律，从第5个开始就出现规律。以●●○作为一个周期，(1004)332，所以第100个是白球。（教师提示：本题答案不唯一，也可以从第五、第六……开始做为一个周期）10第5级下优秀A版教师版\n第八讲3.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？【分析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．734181，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．4.8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？18273645【分析】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：7289组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．5.2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？【分析】我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规律解答．由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？一共有多少天？因为6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1日到10月1日要经过的天数：303131301123（天），123717…4，这个周期从周六开始，那么第4天正好是星期二．6.1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？【分析】00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六学案【学案1】黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.○●○○○●○○○●○○○……［分析］观察图形可知从第二个珠子开始每隔3个出现一个黑色的，即4个一循环。所以：（101－1）÷4=25，判定最后一个为白色，共有25颗。【学案2】（2006年“数学解题能力展示”读者评选活动小学中年级组初赛）在1989后面写一串数字．从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位第5级下优秀A版教师版11\n数字．这样得到一串数字19892868842……那么这串数字中，前2005个数字的和是________．［分析］由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后面的数字将会循环出现．198928688428……图3由图3知，从第5个数字开始，按2，8，6，8，8，4循环出现．2005463333，前2005个数字之和是198928688433328627119881612031．【学案3】如下图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？［分析］根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置.156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置.8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.【学案4】1998年元旦是星期五，1999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？［分析］1998年是平年，1998年元旦到1999年元旦共365天．3657521，即1998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又1天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过1天便是星期六，因此1999年元旦是星期六．1999年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52周又1天，故2000年元旦是星期日．因为2000年是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001年元旦共366天，3667522，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天便是星期二，即2001年元旦是星期二．12第5级下优秀A版教师版