第十一讲第十一讲盈亏问题知识站牌四年级秋季三年级春季列方程解应用题简易方程的应用三年级秋季盈亏问题三年级暑假归一问题三年级暑假平均数初步让学生知道“盈”、“亏”的概念；通过画图分析得到盈亏公式，利用盈亏公式解决简单盈亏问题（盈盈、亏亏、盈亏），培养学生的归纳能力漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，你们知道下面这几个问题是盈还是亏吗？1.张老师给班级里的同学分草莓，每人分5个则剩下10个，那么最终是盈还是亏？A.盈B.亏C.不盈也不亏2.王老师给班级里的同学分草莓，每人分7个则还缺10个，那么最终是盈还是亏？A.亏B.盈C.不盈也不亏3.李老师给班级里的同学分草莓，每人分6个则正好分完，那么最终是盈还是亏？A.亏B.盈C.不盈也不亏教学目标1.理解盈亏的概念2.通过画图理解题意3.利用公式解决问题经典精讲盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象．盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把基本类型的盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”，注意，有的题目只有盈没有亏或只有亏没有盈，此时只需将对应的亏或盈记为0在盈亏问题中有两个基本量——单位量和总量。总量是被分配物品的数量，单位量是“装着总量的东西”的数量，总量和单位量一定是两种不同的东西，其单位应是不同的，牢记这一点，可以防止将两个量混淆。在三种基本类型的盈亏问题中，单位数计算公式依次是：(盈亏)两次分得之差=单位数(盈盈)两次分得之差=单位数(亏亏)两次分得之差=单位数2第5级下优秀A版教师版\n第十一讲技巧：1.单位数的单位经常是题中“每”字后面的单位2.一定要平均分，如果不是平均分就要转化成平均分3．盈或亏的一定是所分得物品数例题思路一、基本型：例1：盈亏型问题例2：盈盈型问题例3：亏亏型问题例4：不盈不亏型问题二、变换型例5：花钱型问题例1三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【分析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919（人）．共有砖：49743（块）．【想想练练】老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20本。后来给新来的2个人也发了同样数目的作业本，就只剩下12本了。请问：每个人发了几本？剩下的作业本还能再发给几个人？［分析］新来的2位同学发了20-12=8本，每人824本，剩下的还能发1243人.【对应学案】【学案1】［巩固］军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，少10人，有多少个房间？多少人？第5级下优秀A版教师版3\n［分析］两次分配方案人数相差201030(人)，每间房间相差：633(人)，所以共有房间：30310(间)，一共有：3102050(人)．例2老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？［分析］老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是927（个），两次分配之差是11101（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：717（只），老猴子有710979（个）桃子.【对应学案】【学案2】［巩固］学校将某个班的学生分到各个宿舍。如果每间宿舍安排5个人，那么还有10个人没地方住；如果每间宿舍安排6个人，那么还有3个人没地方住。请问：一共有多少间宿舍，多少个学生？［分析］第一次每间宿舍5个人，缺10个床位，第二次每间宿舍6个人，缺3个床位，比较两次结果的差异，差了1037个，是因为第一次比第二次每间多分了651个人，所以一共有717间宿舍，学生有751045个。伽利略与金星的盈亏大家可能注意到近来在日落后，西面天空出现一颗夺目蓝钻—金星。话说远在400年前，当科学巨人伽利略把望远镜指向灿烂的金星，从此改变了西方的宇宙观。持续的观测让伽利略发现到，明亮的金星出现了如月亮般的盈亏现象，尤其当金星在西面天空从耀目的太阳光芒中重现时，更显现出恍如[满月]的形态。早在1543年，哥白尼就提出了日心学说，他以较简单的日心行星轨迹，解释行星在夜空出现逆行的奇特现象，想不到在半个世纪后，才由伽利略提供了观测实证，上面的图解正说明了哥白尼的日心学说能完满解释伽利略观测到金星的盈亏现象。如果你有一支小型天文望远镜，或者一副超高放大倍率的双筒望远镜，你大可以在日落后，望向西面的天空，亲身体验400年前伽利略的观测历程4第5级下优秀A版教师版\n第十一讲例3学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师被送书？多少本书？【分析】“差9本”和“差2本”两者相差927（本），每个人要少发1091（本），因此就知道，共有老师717（人），书有710961（本）．【想想练练】新学期米老师给同学们发铅笔，如果每人发5支，还差25支，如果每人发支4支，还差2支，请问这个班有多少名同学？共有多少支笔？［分析］这个班有（251-）（54-）=24名同学，共有245-25=95支笔.例4学而思学校三年级某班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【分析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：431（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：919（人），有小玩具9327（个）．[想想练练]猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？［分析］猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11101（条），由盈亏问题公式得，有小猫：818（只），猫妈妈有810888（条）鱼.[巩固]一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？［分析］第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是541（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：919（人），有糖果9545（粒）．例5昊昊过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？第5级下优秀A版教师版5\n【分析】“多8元”与“多4元”两者相差844（元），每个人要多出871（元），因此就知道，共有414（人），蛋糕价钱是84824（元）．【对应学案】【学案3】【学案4】【巩固】小张准备了一些钱买CD，如果每张CD的价格是30元，买完后还能剩下10元钱。结果CD的实际价格是40元一张，那么他还需要回家再取50元才正好够。请问：小张原来准备了多少钱？［分析］第一次每张30元，剩余了10元，第二次每张40元，缺少了50元，比较两次结果的差异，差了10+50=60元，是因为第一次比第二次每张贵了40-30=10元，所以有60106张，原来准备了30610190元.杯赛提高军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？【分析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少62210(人)，那么两次分配方案人数相差201030(人)，每间房间相差：633(人)，所以共有房间：30310(间)，一共有：3102050(人)，即可以空出1050105(间)房间．6第5级下优秀A版教师版\n第十一讲卖鸡一位农夫和他的妻子在市场上用他们的家禽来换家畜，换法是85只鸡换1匹马加上1头牛。已经知道5匹马恰好等于12头牛的价值。“约翰，”妻子说，“我们还需要一些马，数量和已经换到的同样多。这样的话，我们过冬养的马和牛的总数也只不过是17。”“我想我们还需要更多的牛，”他丈夫回答说，“再说我发现如果我们把已经换到的牛的数量加一倍，我们得到的马和牛的总数就为19，而且我们正好有足够的鸡来换它们。”这两位朴实的乡下人不懂代数，但是他们很清楚地知道他们有多少只鸡，以及它们能换多少马和牛。我们的趣题家们被要求根据这里给出的资料确定，这位农夫和他的妻子带了多少只鸡来市场？答案:这个卖鸡的趣题，对任何一位农夫来说都很清楚，一头牛值25只鸡，一匹马值60只鸡。他们必定是已经换到了5匹马和7头牛，值475只鸡。因为他们还能正好换7头牛，所以他们手头还有175只鸡。这样一共就是650只鸡。附加题1.（2005年广东省小学数学《育苗杯》通讯赛初赛）学校少先队参观航天展览，如果每车坐45人，则有10人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余1辆车。全体少先队员有人。【分析】每车多坐5人，即每车坐50人的话，恰好多余一辆车，也就是说人的总数少了50人，所以，车的数量为：(1050)512辆，人数为(121)50550人2.幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？【分析】第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相差72128(人)，每条长椅要多坐734(人)，因此就知道，共有2847(条)长椅，人数是73728(人)．第5级下优秀A版教师版7\n3.涛涛由家里到学校，如果骑车每分钟500米，上课就要迟到3分钟；如果骑车每分钟600米，就可以比上课时间提前2分钟到校．涛涛家到学校的路程是多少米？【分析】迟到3分钟转化成米数：50031500(米)，提前2分钟到校转化成米数：60021200(米)，（15001200）（600500）27(分钟)，500(273)15000(米)4.妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?［分析］由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了448个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12210个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数：[422(122)](42)1829(人)橘子的个数：29826(个)5.少先队员去植树。如果每人挖5个树坑，还剩下3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好能把所有的树坑都挖完。一共有多少名少先队员？一共要挖多少个树坑？【分析】将条件“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好能把所有的树坑都挖完。”转化为“如果每人都挖6个树坑，则亏4个树坑”，由盈亏问题基本公式，少先队员人数为(34)(65)7（人），一共要挖57338（个）树坑.6.用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米．求绳长和井深．［分析］把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，说明绳子余9218(米)，把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，说明绳子余236(米)，所以，井深：（186）（32）12(米)，绳子长：1229242(米)．知识点总结在三种基本类型的盈亏问题中，单位数计算公式依次是：(盈亏)两次分得之差=单位数(盈盈)两次分得之差=单位数(亏亏)两次分得之差=单位数8第5级下优秀A版教师版\n第十一讲技巧：1.单位数的单位经常是题中“每”字后面的单位2.一定要平均分，如果不是平均分就要转化成平均分3．盈或亏的一定是所分得物品数家庭作业1.有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则少10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？［分析］由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本少了10本；两种方案分配结果相差：701080（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：752（本），相差80本的学生有：80240（人）．练习本有：40570270（本）（或40710270）．2.把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分的一样多。如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子；如果分给7只猴子，就会缺4个桃子。问：每只猴子分到多少个桃子？［分析］第一次分给5只猴子，剩余了12个，第二次分给7只猴子，剩余4个，比较两次结果的差异，差了12416个，是因为猴子多了7-5=2只，所以每只猴子分到1628个桃子.3.一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多19粒，如果每人分5粒就多1粒，问：有多少位学生？共多少粒糖果？［分析］第一种分配方案盈19粒糖，第二种方案盈1粒糖，所以盈亏总和是18粒，两次分配之差是541（粒），由盈盈问题公式得，参与分糖的同学有：18118（人），有糖果185191（粒）．4.幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？［分析］由题意知：两次的分配结果相差：241212（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：963（块），多少人相差12块呢？1234（人），糖果数是：641212（块）（或942412）．5.学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，该学校一共有多少个班？买来多少个足球？［分析］第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差第5级下优秀A版教师版9\n是422（个），由盈亏问题公式得，该学校有：66233（个）班，买来足球33266（个）.6.王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？［分析］本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了752（把），而钱的差额为：11030140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380（元）.学案【学案1】学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？［分析］由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9615(粒)，相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：541(粒)，每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15115(位)，糖果的粒数为：415969(粒)．【学案2】老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果。请问：这堆苹果一共有多少个？［分析］第一次每人分9个，剩余了21个，第二次每人12个，剩余12个，比较两次结果的差异，差了21129个，是因为第一次比第二次每人多分了1293个，所以一共有933人，苹果有932148个.【学案3】冬冬请三名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10元钱、一张5元钱和两张1元钱。这时又来了两名同学，冬冬也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。请问：冬冬一共有多少钱？［分析］开始冬冬剩下10+5+2=17元，再买2张1缺少3元，所以2张电影票一共17+3=20元，每张20210元，冬冬一共带了4101757元.【学案4】小悦去文具店买手彩笔。如果买7支，还能剩7元9角钱；后来小悦决定买13支，结果10第5级下优秀A版教师版\n第十一讲只剩1角钱。请问：小悦一共带了多少元钱？［分析］第一次买7支，剩余了79角，第二次买13支，剩余1角，比较两次结果的差异，差了79178角，是因为第一次比第二次每人少分了1376支，所以每支78613角，小悦带了13131170角=17元.第5级下优秀A版教师版11