第十三讲第十三讲字典排列法与树形图知识站牌四年级春季四年级暑假加乘原理进阶加乘原理初步三年级春季字典排列法与树二年级寒假形图数学思想方法一年级秋季（一）——枚举法数数游戏学会简单的字典排列法和树形图；学习有序的分类思想漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入·生活中的有序是如此的重要生活中处处可见“有序”，排队上公交车、银行排队取钱、超市排队结账，都是“有序”的体现，如果没有了顺序，生活就会乱了套。比如说，同学们早晨醒来做的第一件事情是什么呢？老师起床第一件事是睁开眼睛。早晨我们做的每一件事都是要有顺序的，比如你必须先穿袜子再穿鞋子，而不能先穿鞋子再穿袜子，那袜子就成了鞋套啦。·字典是如何排序的呢？字典是为字词提供音韵、意思解释、例句、用法等等的工具书。西方没有字典的概念，而是使用“词典”。在字典和词典中都会收录很多很多的词条，那么，这么多词条是按什么顺序排列的呢？我们最常使用的是中文字典和英文词典。成千上万个单词是怎么在英文词典里排序的呢？想决定单词之间的前后顺序，需要先从第一个字母看起，如果第一个字母就不同，那么就按照从a到z的顺序来排列，比如apple和banana，由于第一个字母分别是a和b，在词典中apple就会排在banana的前面。那么如果第一个字母相同呢？那么就再看第二个字母来排序，以此类推，例如，apple会排在and的后面，因为p是排在n的后面的，而car和cat由于前两个字母都一样，那么因为第三个字母r在t的前面，于是car就排到了cat前面了。而中文字典的排列是什么样的呢？现在绝大多数的中文字典的排列和英文词典是差不多的，每个汉字是按照它的汉语拼音的字母顺序去排列的，同样的拼音再按声调的顺序排列。而在拼音发明之前，中文字典都是按照部首来排列的。按照这样的顺序排出的字典、词典方便易查，比如想在一本英文词典中找到“apple”。我们只要先找到第一个字母是a的单词的位置，再找第二个字母是p的字母的位置，以此类推，由于每个字母的排列都是从a到z的，我们可以很快找到apple的位置。同学们可以想一想，如果这本词典是胡乱排列每个单词的，那么我们想找到“apple”就只能靠“撞大运”了，假如真有这样的词典，我们也不会去买的。教学目标1.熟练掌握枚举法，在简单的枚举问题中能够做到不重复、不遗漏的枚举；2.知道字典排列法的概念，能应用字典排列法解决枚举问题，应用字典排列法可以做到不重不漏，能分清有次序与无次序的问题；3.初步掌握树形图枚举法，能应用树形图枚举法解决更复杂的枚举问题，在应用树形图时每一级树杈都有意识的有序书写，做到树形图与字典排列法结合。2第5级下优秀A版教师版\n第十三讲经典精讲一、枚举法1.概念在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答。对此，我们可以先初步估计其数目的大小，若数目不是太大，就按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决的目的，这就是枚举法，也叫列举法或穷举法。2.使用各种枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然。二、字典排列法1.概念：字典排列法，顾名思义，就是类似于字典或词典中各个字或词条的排列方法。2.字典排列法的枚举步骤是，从首位开始，按一定的顺序(比如从小到大)枚举第一位，对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。在很多枚举问题中，我们都可以用字典排列法枚举，大家在熟练应用之后，会觉得这样枚举起来，非常方便。3.字典排列法的优点正是“有序枚举”，“有序”可以非常方便的做到“不重不漏”，而且利于检查。在数字分拆问题中我们经常使用字典排列法。4.运用字典排列法一定要能分辨“有次序”和“无次序”的情形(1)有次序之分：不同位置的数代表不同的顺序含义，比如不同的几个人。在这类问题中，(1,3)与(3,1)是不同的两种情况，每一个数都要从最小开始枚举；(2)无次序之分：几个数代表相同的含义，例如几个相同的购物袋。在这类问题中，(1,2,4)与(1,4,2)是相同的一种情况，于是，可以人为地设定一个几个数之间的大小关系，第二个数从第一个数设定好的数开始枚举，例如枚举“3个非零自然数和为7有多少种情况”时，可以这么枚举：(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)，这样可以避免出现重复，在一些复杂问题中会比较省事。三、树形图1.树形图法，又叫“枚举树”，就是借助树状结构的分层特征来罗列所有可能的一种方法，适用于层次鲜明的题型。2.利用枚举树进行枚举的一般步骤和技巧：(1)明确条件：分析枚举对象满足的限制条件；(2)确定范围：根据限制条件缩小枚举的范围；(3)确定次序：一般按照由小到大、由少到多的原则，采用合适的分类法保证枚举的完整，以求不重不漏；(4)逐一枚举：借助枚举树的分层特征，按次序逐次画图枚举，最终求出问题的解。3.树形图枚举的优点是“简便”，尤其在需要枚举的项较多或较复杂时，字典排列法需要重复写很多遍的东西在树形图中只需要写一遍，但是在需要枚举的项很少时，用字典排列法就比树形图更好了。“游览景点”这一类完成某一件步骤很多的事件或限制较多的枚举我们经常使用树形图法。第5级下优秀A版教师版3\n例题思路例一：字典排列法例二：简单枚举例三：简单枚举例四：树形图法-----排队问题例五：树形图法-----图形例1“学、而、思、理、科”汉语字典出现的先后顺序是如何的？【分析】汉语字典出现的顺序是“而科理思学”.【想想练练】请你排一排orange（桔子），apple(苹果)，banana（香蕉）在英文词典中的顺序.【分析】顺序依次是apple(苹果)，banana（香蕉），orange（桔子）.【对应学案】【学案1】例2（明心教育2005年秋季三年级）婷婷到游乐园游玩，游乐园有一张价目表：类型价格时间骑木马1元10分钟蹦床2元10分钟电动车5元10分钟碰碰车8元10分钟爸爸只让婷婷玩20分钟，那么，婷婷共有多少种不同的搭配方式可以玩？请你一一列举出来。【分析】共有10种不同的搭配方.骑木马+骑木马；蹦床+蹦床；电动车+电动车；碰碰车+碰碰车；骑木马+蹦床；骑木马+电动车；骑木马+碰碰车；蹦床+电动车；蹦床+碰碰车；电动车+碰碰车.4第5级下优秀A版教师版\n第十三讲【对应学案】【学案2】【想想练练】（1）一排房子有2个房间，艾迪和薇儿住房，规定每个房间只允许住一人，有多少种不同的住法？（2）一排房子有3个房间，艾迪和薇儿、哈哈住房，规定每个房间只允许住一人，有多少种不同的住法？[分析]（1）2种；两间房依次住着艾迪、薇儿或者薇儿、艾迪。（2）6种；三间房依次住着①艾迪、薇儿、哈哈，②艾迪、哈哈、薇儿，③薇儿、艾迪、哈哈，④薇儿、哈哈、艾迪，⑤哈哈、艾迪、薇儿，⑥哈哈、薇儿、艾迪。【巩固】（第七届“小机灵杯”小学生数学竞赛（决赛）试题）自然数12、135、1349这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字小于右边的数字，我们取名为“上升数”。用5、6、7、8这四个数字，可以组成（）个“上升数”.[分析]两位上升数：56、57、58、67、68、78；三位上升数：567、568、578、678；四位上升数：5678；共64111个。例3（1）用1、2、3三个数字可以组成多少个不同的两位数？（数字可以重复用）（2）用1、2、3三个数字可以组成多少个不同的三位数？（数字可以重复用）（3）用1、2、3三张卡片可以组成多少个不同的两位数？（4）用1、2、3三张卡片可以组成多少个不同的三位数？（5）用数字1、2、3、4组成各位数字都不相同的两位数，并按从小到大的顺序排列，第10个数比第7个数大多少？【分析】（1）9个：11、12、13、21、22、23、31、32、33；（2）27个：百位是1有9种，百位是2有9种，百位是3有9种，共9×3=27种；（3）6个：12、13、21、23、31、32；（4）6个：123、132、213、231、312、321；（5）组成的两位数按从小到大的顺序排列为：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43，所以第10个数比第7个数大41-31=10.【拓展】（2010年数学解题能力展示中年级组复试试题）老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习.老师先分别给他们一个数，然后让他们每人取3张写有数的卡片.佳佳取的是3、6、7，芳芳取的是4、5、6，明明取的是4、5、8.这时老师让他们分别取自己卡片上的两个数相乘，再加上开始老师给他们的数.如果老师开始时给他们的数依次是234、235、236，而且他们计算都正确，那么可能算出_________个不同的数.[分析]佳佳可以得到的乘积是18，21，42，第5级下优秀A版教师版5\n芳芳可以得到的乘积是20，24，30，明明可以得到的乘积是20，32，40，那么佳佳可以得到的数是252，255，276，芳芳可以得到的数是255，259，265，明明可以得到的数是256，268，276所以一共可以得到7个不同的数.【巩固】（2009年学而思杯三年级数学试题）由数字1，2，3，4组成的所有四位数中（数字不重复使用），从小到大排列，第7个数是______________．[分析]从小到大依次是1234、1243、1324、1342、1423、1432,、2134…第7个数是2134．字典的历史字典源远流长，在中国古代称为字书，直到《康熙字典》问世才称“字典”。最早的汉语字典是《尔雅》，成书时期大约在汉朝之前。第一部有系统的字书，是东汉许慎的《说文解字》〔成书于东汉永元十二年（100）〕。该书是我国第一部系统地分析字形和考究字源的字书，也是世界上最古的字书之一。它首创部首编排法，对字义、字形、字音进行全面诠释，为以后字书的发展奠定了基础。第一部称为“字典”的书，是清朝由张玉书等30人花了6年时间编成的《康熙字典》。康熙皇帝看后曾说这部书“善美兼备”，可奉为“典常”，因此命名为“字典”。以后，凡是这类解释单字的书，就都称作“字典”了。例45个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？【分析】18种.当乙在第二个的时候有6种情况，树形图如下:6第5级下优秀A版教师版\n第十三讲丁戊丙戊丁丙戊甲乙丁戊丙丙丁戊丁丙乙在第三个和第四个的时候与上图类似也是六种，所以共18种.【想想练练】（2013年数学解题能力展示四年级初赛网试题）A、B、C、D、E五人站成一排照相，如果A、B、C、都不愿意和D相邻，而且C还不愿意和E相邻，那么站队的方法共有种。[分析]8种.D只能在最左端或最右端和E相邻,E的另一边只能是A或B,当D在最左端时，如下图有4种，在最右端也是4种，所以共8种.【对应学案】【学案3】【巩固】常昊和古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？[分析]令常昊为a，古力为b，则进行分类枚举有：如果第一场常昊胜，共有6种：aaabbaaaabbabaa如果第一场古力胜，有4种：第5级下优秀A版教师版7\naaababbaabaaa所以共有10种。例5如图，ABCDE是一个正五边形，艾迪开始在顶点A处，它每次可以随意跳到相邻两顶点之一。若在4次之内跳到D点，则停止跳动；若4次之内没有跳到D点，则跳完4次也停止跳动。那么艾迪从开始到停止，可能出现的不同跳法共多少种？【分析】由题意可画下列树形图：ABCAAEBDABCCAD(停止）ABEACEADD（停止）故可能出现得不同跳法共12种.【对应学案】【学案4】8第5级下优秀A版教师版\n第十三讲【拓展】如图，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？ADCEGFB[分析]从A出发，第一条路线有3种选择；若从A第一步去往C地，如图：DGBEGBFBACBFGBEDGB共有6种.同理，若从A第一步去往D地，则有6种；若从A第一步去往E地，则有4种；所以共有16种方法。第5级下优秀A版教师版9\n有A、B、C、D、E五个人参加答题游戏，A站在中间，B、C、D、E四个人站在四周，首先A从B、C、D、E中任意挑选一个人比赛，失败者淘汰，胜利者继续站在中间，然后从剩下的三个人中继续任意挑选一个人比赛，直到最后只剩一个人为止，最后剩的那个人就可以拿到奖品。请问：A最后拿到奖品的情况有多少种？【分析】24种.杯赛提高（2013年数学解题能力展示三年级初赛）餐桌上有2碗面条，4碗米饭和6碗饺子，阿宝从中任意吃掉6碗，餐桌上剩余的食物共有多少种可能？【分析】15种，吃掉6碗，还剩6碗,剩下的情况如下：面条米饭饺子00601502403304210511412313214120421322223124010第5级下优秀A版教师版\n第十三讲附加题1.（2013年数学解题能力展示四年级初赛）从1、2、3、4、5、6、7中选择若干个不同的数，使得其中偶数之和等于奇数之和则符合条件的选法共有多少种？【分析】7种：4=1+3，6=1+5，2+4=1+5，2+6=1+7，2+6=5+3，4+6=3+7，2+4+6=7+52.在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？【分析】在算盘上现在有两颗珠子，则有：（1）当两颗珠子都在千位上时，有：2000、6000；（2）当有1颗珠子在千位上，形成1时，有1001、1005、1010、1050、1100、1500，共6种；（3）当有1颗珠子在千位上，形成5时，也有6种：5001、5005、5010、5050、5100、5500；所以用两颗珠子最多可以表示14个不同的四位数.3.一座99层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图。由于屏幕受到损坏，显示左边数字的7根线段中有1根不能亮了，显示右边数字的7根线段中有3根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最多还有多少个楼层的显示是正确的？【分析】左边的坏掉一根，经试验可知，只有左下角的坏掉时，显示的最多，可以显示1、3、4、5、7、9共6个；右边的坏掉三根，经试验，只有当坏掉如下图所示的三根时，才显示的最多，可以显示的有：4、1。第5级下优秀A版教师版11\n所以最多有12层楼层可以显示。知识点总结1.枚举法：使用枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然。2.字典排列法：从首位开始，按一定的顺序(比如从小到大)枚举第一位，对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。3.运用字典排列法一定要能分辨“有次序”和“无次序”的情形。4.树形图：树形图法，又叫“枚举树”，是借助树状结构的分层特征来罗列所有可能的一种方法。5.利用枚举树进行枚举的一般步骤和技巧：(1)明确条件(2)确定范围(3)确定次序(4)逐一枚举家庭作业1.“我、爱、数、学”汉语字典出现的先后顺序是如何的？【分析】“我爱数学”汉语字典出现的先后顺序是“爱数我学”2.有3个水果分别是苹果、香蕉、橙子，分别分给艾迪、薇儿、哈哈各一个，有多少种分法？【分析】6种.苹果香蕉橙子①艾迪薇儿哈哈12第5级下优秀A版教师版\n第十三讲②艾迪哈哈薇儿③薇儿艾迪哈哈④薇儿哈哈艾迪⑤哈哈艾迪薇儿⑥哈哈薇儿艾迪3.（明心教育2005年秋季三年级）婷婷到游乐园游玩，游乐园有一张价目表：类型价格时间激流勇进1元20分钟过山车2元20分钟摩天轮5元20分钟爸爸只让婷婷玩40分钟，那么，婷婷共有多少种不同的搭配方式可以玩？请你一一列举出来。【分析】共有6种不同的搭配方.激流勇进+激流勇进；过山车+过山车;摩天轮+摩天轮；激流勇进+过山车；激流勇进+摩天轮；过山车+摩天轮.4.(第八届“小机灵杯”小学生数学竞赛（复赛）试题)用数字1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的两位数，并按从小到大的顺序排列，第5个数比第2个数大多少？【分析】组成的两位数按从小到大的顺序排列为：12、13、14、15、21、所以第5个数比第2个数大21-13=8.5.（2008年第9届中环杯4年级决赛第11题）4个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？【分析】4种.丙丁乙丁丙甲丙乙丁丁乙丙6.如图，ABCD是一个正方形，艾迪开始在顶点A处，他每次可以随意跳到相邻两顶点之一。若在4次之内跳到D点，则停止跳动；若4次之内不能跳到D点，则跳完4次也停止跳动。那么艾迪从开始到停止，可能出现的不同跳法共多少种？第5级下优秀A版教师版13\nABDC【分析】画出树形图如下，可能出现的不同跳法共7种.ABCADBABACCDD学案【学案1】head、heard、hear、here、have、hold、happy、hand、happen、hope在词典中的先后顺序是如何的？[分析]词典中的先后顺序是hand、happen、happy、have、head、hear、heard、here、hold、hope【学案2】（1）一排房子有3个房间，艾迪和薇儿住房，规定每个房间只允许住一人，有多少种不同的住法？（2）一排房子有4间房间，房间中住着艾迪和薇儿、哈哈三人，规定每个房间只许住一个人，并且只允许有两个人住的房间连在一起，第三人的房间必须和另外两个人隔开。有多少种不同的住法？[分析]（1）6种，空着1号房时，剩下两间房，艾迪薇儿两人住，有两种住法，空2号房也是两种，空3号房也是两种，所以共2×3=6种不同住法。（2）12种，只能空着2号房或3号房，空着2号房时三人住三间房有6种住法，空着3号房情况一样，所以共6×2=12种不同的住法。14第5级下优秀A版教师版\n第十三讲【学案3】（第四届“聪明小机灵”小学数学邀请赛三年级试题）2个男孩和2个女孩参加歌咏比赛，他们一个接着一个地唱，如果假定两个女孩不能连着唱，必须隔开，能排成多少种不同的顺序。[分析]12种.【学案4】(2010年第八届“创新杯”全国数学邀请赛4年级6题)如图，ABCDEF是一个正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可以随意跳到相邻两顶点之一。若在4次之内跳到D点，则停止跳动；若4次之内不能跳到D点，则跳完4次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共多少种？ABFCED[分析]由题意可画下列树形图：第5级下优秀A版教师版15\n故可能出现的不同跳法共14种。16第5级下优秀A版教师版