第十四讲第十四讲等量代换知识站牌三年级春季三年级春季简易方程的应用简易方程三年级秋季等量代换二年级春季等式加减法一年级秋季我会换一换通过等式的基本性质，对天平的两端进行操作，利用累加法和比较法解决问题，培养学生的代换思想。漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，你见过天平吗？下面是几个常见的天平，你知道天平是干什么用的吗？它有什么特征吗？教学目标1.让学生通过观察、操作、思考、分析等活动，初步体会等量代换的数学思想。2.学会根据已知信息寻找事物间的等量关系，能解决日常生活中常见的简单问题。3.培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。感受用数学的乐趣，享受成功的喜悦。2第5级下优秀A版教师版\n第十四讲经典精讲等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础．等量代换思想用等式的性质来体现就是:1、等式的传递性：如果ab，bc，那么ac．2、等式的性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式的性质不变。（2）等式的两边同时扩大或缩小相同的倍数等式的性质不变。例题思路模块一、看图找等量关系例1模块二、建立等量关系例2、例3模块三、比较法和累加法例4、例5例1聪明昊听了曹冲称象的故事很不以为意，觉得曹冲其实是没有自己聪明的！于是神奇涛就决定考考聪明昊，给他出了这样一道题：一只猫相当于几只小甲壳虫的重量？第5级下优秀A版教师版3\n【分析】由第三幅图知道，1条鱼和4只小甲壳虫一样重，那么3条鱼和12只小甲壳虫一样重，我们这样想：1只鸡=3条鱼=12只小甲壳虫，那么，2只鸡=6条鱼=24只小甲壳虫．又因为1只猫=2只鸡，所以1只猫=2只鸡=6条鱼=24只小甲壳虫.【想想练练】看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡.【分析】6【对应学案】【学案1】【巩固】一个苹果等于（）个草莓.［分析］4【巩固】下面的花朵各表示什么数？［分析］=9，=3.4第5级下优秀A版教师版\n第十四讲例2你能明白它们间的关系吗？［分析］由图知道，1个圆=6个方块，1个圆=1个三角和4个方块，我们发现多了1个三角，少了2个方块，说明1个三角=2个方块，也就是2个方块可以换1个三角，那么6个方块就可以换3个三角，因为1个圆=6个方块，所以1个圆=3个三角。【想想练练】下面的符号各代表一个数，相同的符号代表相同的数，它们各代表几呢？［分析］●=3▲=5■=7◆=8【巩固】下面的图形各表示什么数？［分析］（1）○=11，□=2；（2）○=4，△=5；（3）△=6，□=2【巩固】你能根据下面的三个算式，算出●、▲、■各代表什么数吗？［分析］●=7▲=2■=9第5级下优秀A版教师版5\n从曹冲称象谈起《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖（曹操）欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所置，称物以载之，则校可知矣’．太祖大悦，即施行焉．”这就是千古传诵妇孺皆知的曹冲称象的故事．译文：曹冲五六岁的时候，聪明才智所达到的程度，像成人一样．有一次，孙权送来了一头巨象，太祖想知道这象的重量，问过属下，都没有提出有效的办法．曹冲说“把象赶到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再用其他东西代替大象，然后称一下这些东西就知道大象的重量了．”太祖听了很高兴，马上照这个办法做了．思考：聪明的曹冲运用了什么数学原理？曹冲运用数学中等量代换的原理，用与大象体重相同的石头替换了大象，保全了大象的性命．例3失败了的聪明昊不服气，于是就也给神奇涛出了一道题：1只流氓兔的重量等于2只唐老鸭的重量，3只流氓兔的重量等于1只唐老鸭和1只飞天猪的重量，神奇涛的体重等于2只飞天猪的重量，算一算神奇涛的体重与几只唐老鸭的重量一样重？【分析】因为1只的流氓兔重量等于2只唐老鸭的重量，所以3只流氓兔等于6只唐老鸭的重量等于1只唐老鸭和1头飞天猪的重量；这样我们就可以算出1头飞天猪的重量等于5只唐老鸭的重量．我们又知道神奇涛的体重等于2头飞天猪的重量，因为2头飞天猪的重量等于10只唐老鸭的重量，所以神奇涛的体重等于10只唐老鸭的重量．［想想练练］2只兔子的重量等于6只小鸡的重量，3只袋鼠的重量相当于4只兔子的重量，那么1只袋鼠的重量相当于多少只小鸡的重量？［分析］2只兔相当于6只小鸡的重量，那么4只兔相当于12只小鸡的重量．3只袋鼠的重量相当于4只兔子的重量，所以3只袋鼠相当于12只小鸡的重量．1234，即1只袋鼠相当于4只小鸡的重量．【对应学案】【学案2】【学案3】6第5级下优秀A版教师版\n第十四讲［巩固］如图，第一只壶里的茶只有一半，小华倒出了5大杯，第二只壶里的茶是一满壶，小明倒出了15小杯．已知3小杯的茶与2大杯的茶同样多，现在问你哪个壶大？［分析］我们可以按以下三个步骤来思考：⑴第二只壶满壶茶倒出15小杯，而每3小杯可以倒满2大杯，所以第二只壶可以装茶10大杯．⑵第一只壶的一半倒出了5大杯，那么满壶茶可以倒出10大杯．⑵由⑴⑵可知，两个茶壶一样大．例4学而思学校派帅气铮去采购，帅气铮第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元．你知道帅气铮买的水瓶和茶杯的单价各是多少元吗？【分析】我们用数量关系式来比较对应的未知数量的情况：3个水瓶的价钱20个茶杯的价钱134元-3个水瓶的价钱16个茶杯的价钱118元4个茶杯的价钱16元比较上面两个等式，我们可以看出，134元和118元的差正好是4个茶杯的价钱．每个茶杯的价钱：(134118)(2016)1644(元)每个水瓶的价钱：(134420)318(元)或(118416)318(元)【对应学案】【学案4】例5甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少元？聪明的小朋友们，究竟他们三个中最富有的是哪一个呢？［分析］此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元？丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解．首先用加减消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元．解法1：第5级下优秀A版教师版7\n甲乙→32元+甲丙→22元（2甲）乙丙→54元-乙丙→30元2甲→24元由2倍甲储蓄为24元，可求出甲储蓄多少元．列表：(322230)224212(元)……甲储蓄款．321220(元)……乙储蓄款，302010(元)……丙储蓄款．此题也可用另两种方法求解．解法2：甲乙乙丙+甲丙32223084(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．甲乙丙84242(元)．423210(元)……丙储蓄款，423012(元)……甲储蓄款，422220(元)……乙储蓄款．解法3：甲乙→32元甲丙→22元乙丙→10元乙丙→30元2乙→40元列表：40220(元)……乙储蓄款．322012(元)……甲储蓄款，302010(元)……丙储蓄款．【想想练练】★■+=24，■●+=30，●★+=36．■=_________●=________★=_______.［分析］(243036)245，所以■表示的数为：45369，●表示的数为：452421，★表示的数为：453015．杯赛提高智慧巍组建学而思足球集训队队和排球集训队，需要购买足球和排球．预算买3个足球和4个排球共需190元，买6个足球和2个排球需要230元．财务总监聪明昊看过智慧巍的预算报告，说，足球的价格是30元，排球的价格是25元.你觉得聪明昊说的对吗？［分析］我们可以把两次情况进行比较；3个足球的价钱4个排球的价钱190(元)⑴6个足球的价钱2个排球的价钱230(元)⑵我们发现两组条件不管相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一8第5级下优秀A版教师版\n第十四讲个相同的条件可减去．再观察，我们发现，如果把⑴式扩大2倍，可以得到6个足球和8个排球共380元，即⑴2：6个足球的价钱8个排球的价钱380元⑶⑶⑵，可知6个排球的价钱150元．容易得出排球和足球的价钱各是多少．排球：150625(元)，足球：(190254)330(元)话说萧何月下追韩信，追到了虚实村。穿过村子，是一个二岔路口，不知韩信从哪条路走的。此时只见两个当地老乡在月下饮酒，他们显然目睹了韩信的经过。萧何知道，虚实村中的人，不是老实头子，平生言语决无半点虚假，就是狡猾分子，宁可掉了脑袋也决不吐露半句真言。萧何从二人的相貌判定，两人中有一人是老实人，另一人是大滑头。萧何只能问一句话，问多了下棋的人就不耐烦了，但萧何不知道自己问的那个人说真话还是说假话。按照萧何的聪明，自不难打听出韩信的去向。如果换了你呢？【分析】萧何问其中一个人：“如果我问你的朋友，刚才过去一位将军从哪条路走的，他会指哪条路给我？”这个问题巧妙地将两个人都拉了进来，结果不管他问的人说真话还是假话，结果这个人都会指一条错误的路。韩信只需要走另一条路去追韩信就可以了.附加题1.聪明昊，智慧巍，帅气铮三个人称体重.聪明昊说，我比智慧巍重.智慧巍说，如果我和帅气铮一起称，那我们体重的和是聪明昊的两倍.帅气铮说，我比聪明昊重，我的体重等于智慧巍和聪明昊的体重和.小朋友们，你知道帅气铮的体重是智慧巍的几倍吗？［分析］（方法一）智慧巍比聪明昊轻，智慧巍和帅气铮一起称体重和是聪明昊的两倍，说明：智慧巍﹤聪明昊智慧巍+帅气铮=聪明昊＋聪明昊，则帅气铮-聪明昊=聪明昊-智慧巍，帅气铮=智慧巍＋聪明昊则2×帅气铮=3×聪明昊，聪明昊=2×智慧巍，则帅气铮=3×智慧巍.（方法二）智慧巍＋帅气铮=2×聪明昊⑴帅气铮=智慧巍＋聪明昊⑵⑵代入⑴得：智慧巍＋智慧巍＋聪明昊=2×聪明昊智慧巍＋智慧巍=聪明昊⑶第5级下优秀A版教师版9\n⑶代入⑵得：帅气铮=智慧巍＋智慧巍＋智慧巍2.图书室里的故事书与科技书共有720本，又知故事书比科技书多160本，这两种图书各有多少本？［分析］题目中给出了两个未知量“故事书”和“科技书”的数量关系，即已知故事书与科技书共有720本和故事书与科技书本数之差，属于典型应用题中的“和差问题”，一般用消去法来解．故事书本数科技书本数720本故事书本数科技书本数160本2倍故事书本数880本消去科技书本数后，可先求出故事书的本数．列式：(720160)2440(本)……故事书，440160280(本)……科技书．也可以先求出科技书的本数．知识点总结1、等式的传递性：如果ab，bc，那么ac．2、等式的性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式的性质不变。（2）等式的两边同时扩大或缩小相同的倍数等式的性质不变。家庭作业1.巳知＝60克，求＝？克．【分析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量，也就是等于6060120＝（克），120340（克），所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量，一个白球的重量等于40克，1个正方体的重量就是：404160（克）．2.下图中，最后一个盘子里应放几粒玻璃球才能使天平平衡?10第5级下优秀A版教师版\n第十四讲【分析】因为在重量上：1个方块+1个苹果=9粒玻璃球，而1个苹果=4粒玻璃球，所以1个方块=5粒玻璃球．因此，最后一个盘子里放5粒玻璃球才能使天平保持平衡．3.已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量．问多少个李子的重量等于1个桃子的重量?【分析】由题意列等式：13李＝2苹+1桃⑴4李+l苹＝l桃⑵把⑵式代入⑴式得：13李＝2苹+4李+1苹即9李＝3苹，即3李＝1苹⑶把⑶式代人⑵式得：4李+3李＝1桃，即7李＝1桃即7个李子重量等于1个桃子的重量．4.1只猴子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重．如果1只猴子重3千克，请问1只狗重多少千克？【分析】由3只狗的体重=9只猫的体重，得1只狗的体重=3只猫的体重．1只猴子的体重=3只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重．1只猴子重3千克，1只狗重3千克．5.奶奶去买水果，如果她买3千克梨和4千克荔枝，需要花掉55元；如果她买5千克梨和4千克荔枝，需要花掉65元．问1千克梨和1千克荔枝各多少元？【分析】我们可以把两次的情况进行比较：3千克梨的价钱4千克荔枝的价钱55(元)⑴5千克梨的价钱4千克荔枝的价钱65(元)⑵比较⑴和⑵式，发现两式中荔枝的千克数相等．⑵式比⑴式多了642千克梨，也就是655510元，说明1千克梨的价钱为225元．那么1千克荔枝的价钱也就好求了．(5535)410(元)或(6555)410(元)第5级下优秀A版教师版11\n6.已知1个排球和1个足球共重5千克．1个排球和1个篮球共重6千克．1个足球和1个篮球共重7千克．求每一种球各重多少千克？【分析】由5+6+7=18(千克)知：2个排球+2个足球+2个篮球=18千克，那么有1个排球+1个足球+1个篮球=9千克．954(千克)……篮球的重量,963(千克)……足球的重量972(千克)……排球的重量学案【学案1】观察下图，看看谁最重．［分析］2只兔子的重量=1只兔子+2只鸡的重量．推出1只兔子=2只鸡的重量；第二个图可以看出3只鸡=2只鸭的重量，2只兔的重量=4只鸡的重量，而2只鸭的重量=3只鸡的重量．显然，这里兔子的重量最重．【学案2】1个西瓜的重量等于2个哈密瓜的重量，1个哈密瓜的重量等于8个苹果的重量，2个苹果的重量等于3个柿子的重量，那么1个西瓜的重量等于几个柿子的重量？［分析］因为2个苹果的重量等于3个柿子的重量，所以8个苹果的重量等于12个柿子的重量．又因为1个哈密瓜的重量等于8个苹果的重量，所以1个哈密瓜的重量等于12个柿子的重量．而1个西瓜的重量等于2个哈密瓜的重量，因此1个西瓜的重量=12224个柿子的重量．12第5级下优秀A版教师版\n第十四讲【学案3】1个的重量等于3个小的重量，2个的重量等于2个大和2个小的重量和，1个大等于几个小的重量？［分析］因为1个=3个小，那么2个=6个小，又因为2个=2个大+2个小，所以2个大=6个小－2个小=4个小，1个大=2个小．【学案4】聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元．帅气铮问，“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，“如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元．”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？［分析］我们可以把两次的情况进行比较：4千克梨的价钱5千克荔枝的价钱58(元)⑴6千克梨的价钱5千克荔枝的价钱62(元)⑵比较⑴和⑵式，发现两式中荔枝的千克数相等．⑵式比⑴式多了642千克梨，也就是62584元，说明1千克梨的价钱为422元．那么1千克荔枝的价钱也就好求了．(6258)(64)2(元)，(5824)510(元)或(6226)510(元)第5级下优秀A版教师版13