第五讲第五讲带余除法初步知识站牌五年级春季四年级暑假带余除法进阶整除特征初步三年级春季带余除法初步三年级秋季周期问题二年级寒假有余数的除法复习余数，倍数概念；简单带余除法；被除数、除数、商、余数四者关系；从倍数谈起，简单认识数论漫画释义第6级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，你们能填出来吗？（1）（）86……7（2）31（）7……3（3）566（）……（）（4）（）÷8=7……（），被除数最大是多少？（5）（）÷（）=3……4，被除数最小是多少？教学目标本讲作用在于数论的初识，从倍数谈起，简单认识数论1.复习余数定义，被除数、除数、商、余数四者的关系2.将有余数的除法变为整除问题，再变为倍数问题3.学习余数性质，用余数的性质解决问题，经典精讲1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abq……r，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或差加除数再除以c的余数)例如：8322，4311，这样843的余数就等于213的余数．2第6级下优秀A版教师版\n第五讲注意：当余数不够减时，要再加上一次除数即可。例如：8322，1331，这样1383的余数就等于3123的余数．④a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于314．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．例题思路模块一：被除数、除数、商、余数四者的关系例题1：化除为乘例题2：化余为整例题3：化余为整模块二：余数的性质例题4：余数的可加性例题5：利用余数的可加性找周期例1用一个自然数去除另一个自然数，商为7.被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【分析】被除数除数=7，所以根据和倍问题可知，除数为48（71）6，所以被除数为6742．【想想练练】两数相除，商4余8，被除数、除数两数之和等于73，则被除数是________．【分析】被除数=4除数8，被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为（738）（41）13，所以，被除数为134860．例2一天艾迪和薇儿的几个同学来家里做客，艾迪把博士送给他的一包巧克力拿了出来，艾迪数了数一共35块，他自己没吃，都平均分给了大家，最后还剩5块，请问来到艾迪家做客的同学数量有几种可能？【分析】35人数=每人分到的巧克力5，35530，30人数=每人分到的巧克力0所以30是人数的倍数，3013021531056,因为除数大于余数，人数只能是6、10、15、30中的一个，去掉薇儿，同学人数为5、9、14、29，4种可能.第6级下优秀A版教师版3\n【想想练练】46除以一个一位数，余数是1．求出符合条件的一位数．【分析】46除数=商……1，46145-=，45除数=商……0，45=除数商，4531559==，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的一位数有3、5、9．质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见质数在数论中有着很重要的地位.1和0既非质数也非合数.质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一.基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等.一七四二年,哥德巴赫发现,每一个大于4的偶数都可以写成两个质数的和．例如6=3+3,又如24=11+13等等．他对许多偶数进行了检验,都说明这是确实的．但是这需要给予证明．因为尚未经过证明,只能称之为猜想．他自己却不能够证明它,就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉,请他来帮忙作出证明．一直到死,欧拉也不能证明它．从此这成了一道世界难题,吸引了成千上万数学家的注意．两百多年来,多少数学家企图给这个猜想作出证明,都没有成功．值得骄傲的是,到目前为止,这个世界难题证明的最好的,是我国著名的数学家陈景润,他的研究成果处于国际领先的地位．这一成果被命名为“陈氏定理”．但是他的证明离成功只有一步之遥,就匆匆的走完了他的一生．例378除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是3，求除数和余数.【分析】78除数=8……（除数-3），81除数=9……0被除数加上除数与余数的差3的和刚好是除数的9倍，则除数为78399=，余数为6【想想练练】128除以一个数得到的商是9，并且除数与余数的差是2，求除数和余数.【分析】128除数=9……（除数-2），130除数=10……0被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的10倍，则除数为12821013=，余数为114第6级下优秀A版教师版\n第五讲例4（1）2564=1；3465=4，那么（2534+）6=（）（）（2）4576=3；2673=5，那么（4526+）7=（）（）（3）a85；b86，那么（ab）8（）（4）a85；b86；c87，那么（abc）8（）【分析】（1）（2534+）69=5（2）（4526+）710=1（3）所以余数的和为5611+=，1181=3，余数为3（4）余数的和为56718++=，1682=2，余数为22014名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一个同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这个数的个位数与6的和．现让第一个同学报1，那么最后一名同学报的数是______．【分析】列出前几个数：1、10、6、15、11、7、16、12、8、17、13、9、18、14、10、6…可以看出除去第一个数之外后面每13个数一循环，所以201411315411，那么最后一名同学报的数是9．例5有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，（1）这串数的第2014个数是奇数还是偶数？（2）这串数的第2014个数除以3余数是多少？（3）这串数的第2014个数除以4余数是多少？【分析】a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．(1)这串数的奇偶性规律为：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……，周期是3，201436711，因此第2014个数是奇数.(2)这串数除以3的余数分别为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，……，余数的周期是8，201482516，因此第2014个数除以3余数是2.(3)这串数除以4的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……，余数的周期是6，201463354，因此第2014个数除以4余数是3.第6级下优秀A版教师版5\n杯赛提高商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【分析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)1193392，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．知识点总结1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abq……r，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或差加除数再除以c的余数)例如：8322，4311，这样843的余数就等于213的余数．注意：当余数不够减时，要再加上一次除数即可。例如：8322，1331，这样1383的余数就等于3123的余数．④a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于314．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．家庭作业1.用一个自然数去除另一个自然数，商为5.被除数、除数的和是36，求这两个自然数各是多少？6第6级下优秀A版教师版\n第五讲【分析】被除数除数=5，所以根据和倍问题可知，除数为36（51）6，所以被除数为5630．2.用一个自然数去除另一个自然数，商为8，余数是3.被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【分析】因为被除数减去3后是除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为（483）（81）5，所以被除数为58343．3.43除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是2，求除数和余数。【分析】43=8除数+余数，被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的9倍，则除数为432815+=，余数为34.50除以一个一位数，余数是2．求出符合条件的一位数．【分析】50除数=商……2，50248-=，48=除数商，4814822431641268=====，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的数有3、4、6、8．5.请在下列括号中填上适当的数（1）a86；b87，那么（ab+）8（）（2）a105；b106；c107，那么（2abc）10（）【分析】（1）所以余数的和为6713+=，1381=5，余数为5（2）2abc=aabc，所以余数的和为556723+++=，23102=3，余数为36.有一串数1，3，4，7，11，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，这串数的第130个数除以3余数是多少？【分析】a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．这串数除以3的余数分别为：1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，……，余数的周期是8，1308162，因此第130个数除以3余数是0.第6级下优秀A版教师版7