第一讲第一讲找规律---数列与图形知识站牌五年级寒假四年级寒假数表—从杨辉三角谈数表—从日历谈起起三年级暑假找规律—数列与图形二年级秋数列规律一年级秋季找规律填数通过观察图形的变化，发现图形规律，利用数列规律发现数表规律，培养学生的计算能力漫画释义第5级上优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，这是我们经常说的，著名的斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。教学目标1．培养学生的观察能力2．掌握常见数列的变化规律3．利用数列规律解决数表问题经典精讲规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住以下几点来考虑问题：⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化；⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.2第5级上优秀A版教师版\n第一讲数列就是按照一定顺序排列的数.数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中共有多少项叫做项数.常见的数列找规律我们主要从两个角度进行观察：（1）观察项与项之间的关系；（2）观察项与项数之间的关系.研究数列周期问题的核心是揭示数列的本质规律，找到最小循环周期.在解决数列问题时，主要有两种指导思想：（1）分离思想：当整体规律不明显的时候，我们把数列分裂成数组来考虑.（2）拓展思想：当数列中所给信息不充分的时候，我们把数列的已知项拓展延长，从而获得更多的信息.例题思路例1：图形找规律例2：图形找规律例3：图形找规律例4：数表找规律例5:数表找规律例1下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来.［分析］第5级上优秀A版教师版3\n点睛：从图形形状、颜色变化、数量变化寻找图形的变化规律．培养我们全面地、由浅入深地、由简到繁地观察思考问题的良好习惯以及利用规律解决问题的能力.［想想练练］观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列.［分析］观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：四只脚、一条尾、背上五个点.即：【对应学案】［学案1］［拓展］下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形．⑴?第1组第2组第3组⑵⑶★★★★★？第第1组1组第2第组2组第3组第3组［分析］⑴仔细观察可发现第1组和第2组都是由六个小图形构成的．当按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边．按这个规律可知图中第3组中“？”处是：．⑵注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边．再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边．按这个移动规律，可知第3组“？”处应填：○▲．4第5级上优秀A版教师版\n第一讲⑶观察第1组与第2组，每组中有三种图形：★、□、■，我们把每组图形再分为两小组，将更明显的得出变化规律.所以可得“？”中应填如下图形：例2根据前三幅图的规律，将第四幅图中相应的方格涂黑，涂黑的方格中所填数之和为________．［分析］不难发现上图成顺时针旋转，所以第四副图涂法如图所示：12345678910111213141516171819202122232425所以涂黑的方格中所填数之和为581417212590.点睛：在观察图形变化规律时，应抓住图形图形位置的变化．［想想练练］如图，根据图中已知3个方格表中阴影的规律，在空白的方格表中也填上相应的阴影．［分析］通过观察前三个方格表中阴影部分的规律，可以得出：把前3个方格表一列一列的看，阴影部分在一格一格的向下移动，当移到最下方时，便重新从最上面的一格重新开始循环，不难看出第4个方格表的第一列应该把最下面一个格染黑，依此可以判断出其他的3个方格，所以，答案为：第5级上优秀A版教师版5\n【对应学案】［学案2］【拓展】按照下列图形的变化规律，“？”处应是什么样的图形？？［分析］先看图中不变的部分．在整个变化过程中，图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外．变化的部分可以分为两部分：⑴图形中的直线段部分，其变化规律是每次顺时针旋转90°，因此空白处图中的直线段应是如下图的形状．⑵图中的阴影部分，是在小正方形的对角线的左右两边交替出现的，因此空白处图中的阴影部分应在小正方形对角线的下方．根据上面的分析，可画出空白处的图形，如下图所示:[拓展]观察下列各组图的变化规律，并在空白和“？”处画出相关的图形.⑴⑵［分析］⑴四个图形的位置是按顺时针方向旋转的.因此第四幅图右上角为三角形，右下角为半圆形，左下角为圆形，左上角是正方形.正方形的阴影部分是按逆时针方向依次旋转90°得到的，因此第四幅图中正方形的阴影部分应在它的上方.三角形的方向是按逆时针方向依次旋转90°得到的，所以第四幅图中三角形应向右.半圆形的方向与三角形的方向相同，第四幅图中半圆形也应向右.圆形的阴影部分是按顺时针方向依次旋转90°得到的，因此第四幅图中圆形阴影部分应在圆形的左上角.因此，第四幅图应为：6第5级上优秀A版教师版\n第一讲⑵观察前三幅图可以看出两个规律“一是四个小图形是按顺时针方向转动的，而且△、方形和*都没有变化，根据这条规律，可以先把这三个图形位置定下来；二是圆中间横线的方向，根据观察可以得到答案：斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……例3下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答：⑴五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？⑵整个十层“宝塔”一共包含多少个小三角形？⑴⑵⑶⑷第5级上优秀A版教师版7\n【分析】⑴数一数“宝塔”每层包含的小三角形数：可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个．⑵整个十层塔共包含的小三角形个数是：135791113151719100（个）．［想想练练］建筑工人将一堆木头堆成如图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，一共堆15层的话，第15层有多少根？一共有多少根？［分析］通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，第三层有3根，第四层有4根，…我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，2，3，4，5，6，…问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什么，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．共有：1234...15（115）152120（根）．【对应学案】［学案3］例4自然数1，2，3，4……排成如下数阵：第一列第二列第三列第四列第五列第六列……1357911……24681012……35791113……468101214……问：这个数阵中的第15列上起第3个数是（）.【分析】观察这个数阵中的数的排列规律，可以发现：每列的第二个数都是双数，并且是每列序数的2倍：每列的四个数是4个连续自然数按从小到大的顺序排列；除2以外，其它双数均出现2次．因此，第15列上起第2个数是：21530，第三个数就是31．例5用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：⑴这个三角阵的排列有何规律？⑵根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行．⑶推断第10行的各数之和是多少？8第5级上优秀A版教师版\n第一讲111121133114641【分析】⑴首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和．如：211，321，431，633．⑵根据由⑴得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1．⑶要求第10行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数．第一行1＝11第二行1122第三行12123第四行133124第五行1464125第六行151010512222其中，2n表示n个2相乘，即n个2，n为自然数．通过观察可以看出，每一行中2n中9的n都等于行数减去1，至此，我们可以推断，第10行各数之和为2=512．[小知识]本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页．杨辉，字谦光，北宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图．【对应学案】［学案4］点睛：学找数阵中的规律，应当像寻找数列中的规律一样，应注意以下几点：⑴仔细观察数阵中的所有数．⑵注意观察相邻两个数之间的变化规律和同上一行的数的共同点．⑶有些数阵不容易一下子找到或找对规律，要仔细观察，再做思考，找到规律后，多次举例进行验证．［巩固］从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？第5级上优秀A版教师版9\n12671516...3581417...491318...1012......11...［分析］通过观察，可以发现如下规律：12671516...3581417...491318...1012...11......所以，第二行第七个数字为：30．［巩固］自然数按一定的规律排列如下，从排列规律可知，99排在第几行第几列呢？第1列第2列第3列第4列第5列…第1行1491625…第2行2381524…第3行5671423…第4行1011121322…第5行1718192021……………………［分析］观察图表可知：第1行的数字：111，422，933，1644，2555，…，所以第1行第10列是1010100．因为从第三列开始，每一列的前几个数字都依次递减，100的下面一行是99，所以99在第2行第10列．杯赛提高观察下面由点组成的图形（点群），请回答：⑴方框内的点群包含多少个点？⑵第⑽个点群中包含多少个点？⑶前十个点群中，所有点的总数是多少？［分析］⑴数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10．可以看出，在每相邻的10第5级上优秀A版教师版\n第一讲两个数中，后一个数都比前一个数大3．因为方框内应是第⑸个点群，它的点数应该是10313（个）．⑵列表，依次写出各点群的点数，可知第⑽个点群包含有28个点．第几个12345678910点数14710131619222528或观察图形与序列号的关系，可知第⑩个点群中包含109228（个）.（3）前十个点群，所有点的总数是：14710131619222528145（个）［分析］必定是没有直线的非对称数字，那么必须是6或者9，选项只有9附加题1．观察下图中的点群，请回答：⑴方框内的点群包含多少个点？⑶推测第10个点群中包含多少个点？⑶前10个点群中，所有点的总数是多少？［分析］⑴数一数，前4个点群包含的点数分别是：1，4，9，16．不难发现，111，422，第5级上优秀A版教师版1\n933，1644，按照这个规律，第5个点群（即方框中的点群）包含的点数是：5525（个）．⑶按发现的规律推出，第十个点群的点数是：1010100（个）．⑷前十个点群，所有的点数是：149162536496481100385(个)．2．(第八届“小机灵杯”小学生数学竞赛（复赛）试题)观察表中各数的排列规律，A是（）。12342610143122130420A52［分析］每一行的四个数都构成等差数列，所以A36.3．（2009年陈省身杯数学竞赛）观察右图中数字排列的特点，根据此特点可知△、☆、※所代表数字之和应该是_______。［分析］不难发现此图中的数字从左上角开始，按照顺时针方向旋转向内，依次是1、2、3、4、5循环出现，所以△=3、☆=1、※=2，其和为1+2+3=6.知识点总结在观察图形变化规律时，应抓住以下几点来考虑问题：⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化；⑸图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.家庭作业1．观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列．12第5级上优秀A版教师版\n第一讲【分析】第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈．由此发现，前一格中的图减少一半，正好是后一格的图．所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：或．2．仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形．？abc？def【分析】显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（d）、（e）的变化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在形状、位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半——半圆，把三角形也变为它的一半——直角三角形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得到．因此，我们很容易地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？”处的图形．当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变化规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、（b）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上下翻转而获得．这样，我们就得到了这些图形的变化规律．所以图（c）中“？”处的图形应是下面甲图，图（f）中“？”处的图形应是乙图．甲乙3．有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一共用了根火柴棒．【分析】横向：1行：11根；2行：133根；3行：1355根；10行：135171919纵向：1行：2根；第5级上优秀A版教师版1\n2行：24根；3行：246根；10行：24620根总共有（1351719）19（24620）（119）10219（220）10210019110229（根）．4．（明心教育2003年秋季二升三）如右图，根据图中的规律，计算A+B=____________。［分析］745．如图所示的图表中的数字都有自己的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：1234515678910？1112131415？1617181920？2122232425？55？？？？？【分析】观察表格中的数，第一行的数字已经全部给出，而剩下的几行都是求最后一个数字，就要考虑每一行中最后一个数字与前面数字的关系，由第一行数字规律可知，1512345，由此可得第二、三、四、五行最后一个数；同样方法观察竖行．所以横行依次为60，65，70，75，325，竖行依次为40，65，90，115，325．6．下面的数阵中，第十二行左起第2个数是多少?123456789101112131415..........................................【分析】第一行第一个数：1,第二行第一个数：11,第三行第一个数：112,第四行第一个数：1123,第五行第一个数：11234，所以第12行左起第一个数是：1123456789101167，左起第2个数是68．方法二：观察每行最后一个数知：第十一行最后一个数是：123456789101166，则第十二行左起第2个数是66116814第5级上优秀A版教师版\n第一讲学案［学案1］图1是由9个小人排列的方阵，但有一个小人没有到位，请你从下面图2中的6个小人中，选一位小人放到问号的位置，你认为最合适的人选是几号？图1图2［分析］从图1中可以发现小人的排列规律：即每行每列小人的“手臂”有向上、水平、向下；“身腰”有三角形、长方形；“脚”有圆脚、方脚、平脚．因此可以知道问号处的小人应该是向上伸臂、圆脚的小人，所以最合适的人选是6号．［学案2］根据前三个方格表中阴影部分的变化规律，填上第⑽个方格表中阴影部分的小正方形内的几个数之和？0123456789⑴⑵⑶⑽【分析】（分列看）阴影部分在每一列都在一格一格下移的规律可得，每经过四次移动，阴影部分就会回到原来的位置，因为1042...2，所以，第⑽个图应该与第⑵个图相同，所以，第⑽个图为：所以方格中几个数的和是：125917．［学案3］小海喜欢收集小木棒，并将它们按下图的形状摆放在书桌上，最底下一层小海摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后小海发现最上面一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道小海一共收集了多少根小木棒吗？第5级上优秀A版教师版1\n［分析］通过读题我们知道，小海的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第二层：4，第三层：5，第四层：6，…，最后一层：27，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，问小海一共有多少小木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：34567891011252627（273）（264）（1614）15301215375（根）所以，小海一共收集了375根小木棒．［学案4］如图是按一定的规律排列的数学三角形，请问第10行第三个数是多少？123456789101112131415..........................................［分析］仔细观察左起第一个数的变化规律：第一行第一个数：1，第二行第一个数：1+1，第三行第一个数：112，第四行第一个数：1123，第五行第一个数：11234，所以第十行左起第一个数是：112345678946这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），所以，第10行第三个数是48．16第5级上优秀A版教师版