第四讲第四讲巧求周长知识站牌三年级春季三年级秋季平行四边形与梯形长方形与正方形三年级暑假巧求周长二年级春季巧求周长一年级寒假剪拼图形通过本节课学习可以解决一些不规则的平面图形，并用求不规则图形的周长的方法，可以培养学生对几何图形敏感能力漫画释义第5级上优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，在漫画里博士说：艾迪、薇儿、武西剪出的三个图形的周长是一样的，你知道为什么吗？这节课我们就来学习如何求不规则图形的周长，通过本节课学习后我想同学们就知道为什么他们三人剪出的图形周长一样了，小朋友们你是不是已经迫不及待的想知道答案了呢？那就让我们一起来学习吧！教学目标1.通过活动的开展，使学生进一步了解周长的概念.熟练掌握计算周长的方法，能灵活运用周长公式解决实际问题；2.经历发现问题、思考问题、探究问题的过程，掌握假设、猜想、验证的学习思想和学习方法，培养学生初步的空间观念；3.引导学生学习用数学的眼光去观察生活、思考问题。经典精讲我们在二年级已经学过了一些简单的“巧求不规则图形周长”．本课是“巧求不规则图形周长”这个知识点的巩固与延伸，在这个知识点中，“转化”这种重要的数学思考方法，必须让学生掌握．在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度．本讲主要研究较复杂的图形的周长．1．掌握求不规则图形周长的方法，会通过平移把不规则的图形转化成规则的图形来计算周长．2．图形的剪拼会改变原有图形的周长和面积，但是新图形的周长和原图形的周长有一定的联系，通过它们之间的关系来求改变前和改变后图形的周长．常用的方法是“平移”，即“横”着的线“上下”移，“竖”着的线“左右”移．我们都学过了长方形的周长=(长+宽)2，如果C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，则长方形的周长可以写成C(ab)2．正方形的周长=边长4，如果用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，则正方形的周长可以写成Ca4．2第5级上优秀A版教师版\n第四讲对于一些基本图形，我们会直接运用公式求出它们的周长．那么，怎样运用长方形和正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？下面我们就一起来研究这个问题．例题思路例1:巩固周长的概念例2：巧求周长-----平移例3：巧求周长-----平移例4：整体看问题例5：整体看问题例11.一个正方形的边长是3厘米，这个正方形的周长是（）A.3厘米B.9厘米C.12厘米2.一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，求这个长方形的周长是（）A.6厘米B.8厘米C.12厘米3.两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？【分析】（1）C（2）C（3）先想一想，减少的6厘米相当于正方形的几条边的边长呢？把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的8条边减少了2条边(如图所示)而这两条边的和正好是减少的6厘米，所以，正方形的边长是623厘米，原来一个正方形的周长是3412厘米．所以原来一个正方形的周长是：62412(厘米)【想想练练】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多多少厘米？第5级上优秀A版教师版3\n［分析］剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求．42=8（厘米）【对应学案】【学案1】【总结】通过这个例题，可以看出，求组合图形及一些特殊图形的周长，一定要仔细观察，善于发现其中内在的联系，找出未知与已知的关系，将问题转化，从而得到解决．下面我们来学习几种求几何图形周长和面积的技巧．［拓展］（第五届走美四年级初赛第2题）用6张边长为3厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米.【分析】可能拼出的长方形有如下两种可能，周长依次为42厘米，30厘米.例2（1）如图（1）所示，这是一个边长为10厘米的正方形纸片.从中剪去一个边长是2厘米的小正方形，它的周长是()厘米.（1）A.100B.40C.44（2）如图（2）所示，这是一个边长为10厘米的正方形纸片.从中剪去一个边长是2厘米的小正方形，它的周长是()厘米.4第5级上优秀A版教师版\n第四讲（2）A.40B.42C.44（3）如图（3）所示，这是一个边长为10厘米的正方形纸片.从中剪去一个长是4厘米，宽是1厘米的长方形。它的周长是()厘米.41（3）A.40B.45C.48【分析】（1）B（2）C（3）C【想想练练】如图所示，在一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形.（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？［分析］（1）减去右上角，长方形的周长不变，相当于一个长为8厘米，宽为6厘米的长方形，此图形的周长为：86228厘米；（2）减去这个正方形的右边，则剩下的图形，相当于一个长为8厘米，宽为6厘米的长方形加上两个3厘米，所以，此图形的周长为：28634厘米.［拓展］（第五届走美四年级初赛第5题）一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是8厘第5级上优秀A版教师版5\n米的正方形，剩下的图形的周长是______（写出所有可能的结果）.【分析】可以知道，我们可以得到如下几种类型的图形，利用平移的方法可以得到它们的周长依次为20厘米、24厘米，28厘米.［拓展］（2008年走美杯决赛3年级）一个长为12厘米，宽为10厘米的长方形，挖去一个边长为4厘米的正方形补在另一边上（如图）。所得图形的周长为厘米。【分析】原长方形周长为(1210)244（厘米），进行挖补后，周长增加了4416（厘米），所以所得图形的周长为441660（厘米）。例3下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17米，南边篱笆长23米．四周篱笆长多少米？北A北D西17东西17C东B2323南南［分析］因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD，将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD，则折线ACB的长等于折线ADB的长．所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等．列式为：四周篱笆长为：（2317）280(米)【想想练练】计算右边图形的周长(单位：厘米)。6第5级上优秀A版教师版\n第四讲【分析】（1）要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是：(1015)250(厘米)。1015【对应学案】【学案2】【学案3】第5级上优秀A版教师版7\n第一个算出地球周长的人2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。例4下图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是厘米．FGEHADBC【分析】本题需要注意，长方形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长．由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽．FHAC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和．所以长方形ADHE的周长为：(1824)284厘米．8第5级上优秀A版教师版\n第四讲【想想练练】如图，长方形ABCD中有一个正方形EFGH,且AF=16厘米，HC=13厘米，长方形ABCD的周长为厘米.EFABDCHG［分析］长方形的周长为（长+宽）×2，即(ABBC)2，容易知道ABBCAFFBBC，而BCHG、FBGC，于是我们可以得到ABBCAFHC，故长方形的周长为(1613)258（厘米）.例5如下图所示，一个正方形被分成了5个相等的长方形，每个长方形的周长是60厘米，求正方形的周长是多少厘米？【分析】长方形一条长和一条宽之和：60230(厘米)，长方形的宽：30(15)5(厘米)，正方形的周长：554100(厘米)．［拓展］学而思学校门前有一边长为10米的正方形苗圃园如图所示，阴影部分的土地用来种植月季，这部分土地的周长是多少米？10米［分析］认真观察图可以发现，种植月季的土地周长实际上等于这个正方形苗圃园的周长，即10440(米)．第5级上优秀A版教师版9\n图中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．如下图所示：出发点杯赛提高（2009年迎春杯中年级决赛4题）如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．3厘米4厘米10第5级上优秀A版教师版\n第四讲【分析】所求的周长之和＝原长方形的周长2虚线的总长度．原长方形的周长＝(1210)244（厘米），虚线的总长度＝10(1234)325（厘米），则所求周长之和＝4422594（厘米）．思考题1.（2010年学而思杯3年级））图内9个相同的小长方形构成大长方形，大长方形周长为90，则每个小长方形周长为.【分析】小长方形的宽的三倍等于长的两倍，大长方形的周长其实是9个小长方形的宽加4个小长方形的长，即10小长方形的长.所以小长方形长9，宽6，小长方形周长为30.2.（2013年学而思杯三年级）如右图，4条线段的长度已给出，那么，风车形的周长是．242【分析】方法一：算出每边长度，再相加：241816，但这个方法中数线段个数容易数错；方法二：画出有与风车形的边平行的边的外接正方形，如右图；由线段平移长度不变可知两图形的周长相同，正方形的边长为224，周长为4416，故风车形的周长也是16.22223.（2009年第七届走美初赛六年级第9题）“走美商场”开业了！门口有规律地堆放了一些同第5级上优秀A版教师版11\n样的礼品盒供顾客免费领取，每一礼品盒宽9厘米，长18厘米（取“永久发达”的吉祥寓意）.摆好后其上面四层的正面图如下图所示。共摆上十层，则一共有________个礼品盒，整个图形的周长为_________厘米.从图中可以看出，这些礼品盒，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，……，【分析】第10层有10个，所以共有1231055个礼品盒。整个图形的周长可以分为水平方向和竖直方向两部分，水平方向通过平移可以发现等于最下面一层的长边的2倍，为18102360厘米；竖直方向则为9102180厘米，所以周长为360180540厘米.4.下图是一个机器零件的侧面平面图，图中每一条最短线段的长为5厘米，这个零件高30厘米，这个零件侧面的周长是__________厘米.30厘米［分析］我们采用平移线段的思路移成如图所示的图形，先计算长方形周长：(5730)2130（厘米），零件内部未计算的长度：51050（厘米），零件侧面总周长是：13050180（厘米）．30厘米5.如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，已知大长方形的长为12厘米，问小长方形的周长是多少厘米？［分析］如图知，大长方形的长3小长方形的长，所以小长方形的长等于4厘米，又从图中可知，大长方形的长4小长方形的宽，所以小长方形的宽等于3厘米，那么小长方形的周长2(34)14(厘米)．12第5级上优秀A版教师版\n第四讲知识点总结一、基本概念周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．二、基本公式：①长方形的周长2(长宽)②正方形的周长4边长三、常用方法：（1）平移（2）整体看问题家庭作业1.两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了14厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？【分析】先想一想，减少的14厘米相当于正方形的几条边的边长呢？把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的8条边减少了2条边(如图所示)【解析】而这两条边的和正好是减少的14厘米，所以，正方形的边长是1427厘米，所以原来一个正方形的周长是7428厘米．2.艾迪将两个周长为30厘米的正方形，分别剪下一个周长是8厘米的正方形如图所示，剩下的图形的周长分别是多少？．【分析】30或34厘米第5级上优秀A版教师版13\n3.右图的周长是分米．7分米6分米【分析】利用平移法，可求出图形的周长为（67）226(分米)4.（第3届走美杯决赛）下边这个图形的周长等于_________厘米.2030单位：厘米60【分析】整体看问题，本题周长相当于将60、30、20各算了两次所以周长为：(20+30+60)×2220(厘米)5.如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形．已知AF10cm，HC7cm，求长方形ABCD的周长．EFABDCHG【分析】通过观察发现AFHG是长方形的长与宽，所以长方形ABCD的周长是（107）234(cm)．6.最近北京植物园举行花展，其中一个正方形的花圃被分成了三个相等的长方形花圃，种植不同颜色不同品种的郁金香.已知每个长方形花圃的周长都是16米，求正方形花圃的周长是多少米？【分析】长方形的长+宽1628(米),而长又等于3倍的宽,所以长等于8(31)36(米),正方形的周长等于6424(米).14第5级上优秀A版教师版\n第四讲学案【学案1】如图，两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形周长是________厘米。［分析］正方形的周长比两个长方形的周长的和少2个边长,2个边长是6厘米,则边长是3厘米,周长是12平方厘米.【学案2】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？55616133［分析］平移转化为求长方形的周长，长方形的长5+6=11(厘米)，宽1+3=4(厘米)，周长(11+4)×2=30(厘米)，[(5+6)+(1+3)]×2=30(厘米)，它的周长是30厘米．【学案3】求右图所示图形的周长(单位：分米)505010［分析］这道题最简单的方法也是用平移法来解．下面我们来看一个基本解法．这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长．仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得完整．所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的2倍．即：（5010）2502220(分米)第5级上优秀A版教师版15\n【学案4】大的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形，每一个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？［分析］根据题意，小正方形的边长是441（分米），通过观察图形发现，两个长方形的宽与小正方形的一条边长和正好等于大正方形的一条边，这样就可以求出长方形的宽为：(111)25（分米），因为长方形一条长与宽的和也等于大正方形的边长，所以，长方形的长为：1156（分米），一个长方形的周长是：(65)222（分米）．16第5级上优秀A版教师版