第八讲第八讲归一问题知识站牌三年级秋季三年级秋季差倍问题和倍问题三年级暑假归一问题三年级暑假平均数初步三年级暑假除法初识简单的归一问题，求单位量，算结果漫画释义第5级上优秀A版教师版1\n课堂引入复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。教学目标本讲主要学习归一问题．通过本节课的学习，学生应了解归一问题的类型，以及解决归一问题的一般方法，掌握归一问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.经典精讲归一的意思：就是用除法求出单一量．在生活中，我们经常会遇到这样一类问题：“一辆汽车每小时行驶60千米，照这样的速度，3小时行驶多少千米？”其中，每小时行驶60千米，我们称它为“单位数量”或“单一量”，知道了单位数量，然后把它作为固定不变的量，进行相关问题的计算，这种类型的应用问题，叫做归一问题．归一问题有两种基本类型：一种是正归一，也称为直进归一．如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少.另一种是反归一，也称为返回归一．如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量.正、反归一问题的相同点是：第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．归一问题的基本关系式：每份的工作量(单一量)总工作量份数总工作量每份的工作量(单一量)份数(正归一)份数总工作量每份的工作量(单一量)(反归一)2第5级上优秀B版教师版\n第八讲与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果．所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等．例题思路例1：单量先归一在归总例2：倍比问题例3：反归一例4：据木头例5：多量归一问题例1宫保步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？【分析】153735（千米）.答：7小时行35千米.[想想练练]一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，30分钟爬行多少分米？［分析］(方法一)归一思想．为了求出蜗牛30分钟爬多少分米，必须先求出1分钟爬多少分米(单一数)，“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果．小蜗牛每分钟爬行1262(分米)，30分钟爬23060(分米)．(方法二)倍比思想．仔细观察题目中所给的条件，已知30分钟正好是6分钟的5倍，爬行的距离也应是12的5倍．即12560(分米)．【对应学案】[学案1][巩固]小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？［分析］600310200102000（米）[巩固]一列火车从甲地开往乙地，开出3小时，行了150千米.照这样的速度，再行驶2小时到达乙地.甲、乙两地相距多少千米？［分析］先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）.火车每小时行多少千米：150350(千米)火车共行了多少小时：325(小时)甲乙两地相距多少千米：505250(千米)第5级上优秀A版教师版3\n[巩固]一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？［分析］先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字.1分钟能打多少个字：180015120（个）.1小时能打多少个字：120607200（个）综合算式：18001560120607200（个）.例2绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【分析】（方法一）倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的天数是种200棵树的：4002002(倍)，所以种400棵树需要的天数为：428(天)，也就是完成任务共需4812（天）．（方法二）归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务．单一数：200450（棵），总共的天数是：(200400)5012（天）．[想想练练]绿化队3天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？［分析］倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的天数是种200棵树天数的：4002002(倍)，所以种400棵树需要的天数为：326(天)，也就是完成任务共需369（天）．［小结］归一问题的关键是用除法求出单位数量，但有时也要注意观察分析题目所给的条件，注意数的特点，如果直接用归一法求单一量是不能得出整数的，可采用倍比的方法解题．4第5级上优秀B版教师版\n第八讲四色定理同学们都看到过地图吗？无论是世界地图还是中国地图，都是五颜六色的．那么，大家有没有想过，为什么地图上要用上好几种颜色呢？是为了把相邻的地区或者国家区分开．我们想一想，如果整个地图都只有一种颜色，那要想辨认出相邻两个地方的边界到底在哪里，可能就要拿着放大镜去找了！在这个问题的基础上，有人又做了更深入的思考，还从地图上发现了一个很重要的结论！1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·古德里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位,研究地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色．这个结论在当时就被称为四色猜想．四色猜想与费马大定理、哥德巴赫猜想并称为世界近代三大数学难题．电子计算机问世以后，由于演算速度快，对四色猜想的证明提供了很大帮助．1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了约100亿个判断，终于完成了这一结论的证明，四色猜想也终于变成了四色定理．例3一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？【分析】(方法一)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．（20060）（603）7(小时)．(方法二)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.磨完200千克面粉需要的时间为：200（603）10(小时)，那么磨剩下的面粉需要时间即为：1037(小时)．【对应学案】[学案2]例4艾迪在森林中锯木头，他用8分钟把一根树干锯成了3段，那么把树干锯成8段需要多长时间？【分析】把一根木头锯成3段，实际上只需要锯312（下），所以锯一下需要824(分钟)，现在要把树干锯成8段，也就是要锯817（下），需要时间为：4728(分钟)．【对应学案】[学案3]第5级上优秀A版教师版5\n［口诀］归一问题要记牢，寻找单一量最重要，题中总量是条件，结果最终能找到．例5植树节到了，学而思学校组织植树活动，如果5个人2小时植树100棵，那么6个人3小时植树多少棵？【分析】要求6个人3小时植树多少棵，必须先求出1个人1小时所植的棵数：1005210棵。那么6个人3小时植树1063180棵。【想想练练】2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机器1小时造纸多少吨？［分析］1台机器1分钟造纸：802022(吨)，1小时=60分钟，也就是1台机器1小时造纸：260120(吨)【对应学案】[学案4]烧绳问题烧一根不均匀的绳子，从头烧到尾总共需要1个小时．现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳子的方法来计时一个小时十五分钟呢？［分析］烧一根这样的绳子，从头烧到尾1个小时．由此可知，头尾同时烧共需半小时．同时烧两根一样的绳子，一个烧一头，一个烧两头；当烧两头的绳子燃尽时，共要半小时，烧一头的绳子继续烧还需半小时；如果此时将烧一头的绳子的另一头也点燃，那么只需十五分钟．6第5级上优秀B版教师版\n第八讲杯赛提高花果山里的小猴在吃桃子，如果6只小猴3天吃180个，照这样算，10只小猴吃200个需要几天？【分析】先进行两次归一，求出每只小猴每天吃1806310个，然后再求出10只小猴每天1010100个。要吃200个需要2001002（天）.附加题1.花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？［分析］每只小猴分：200540(棵)，现在一共分：40602400(棵)，一共有桃树：2400902490(棵)．2.（2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）在梵文书《僧祗律》里有这样一段文字：一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。平时我们常说的“刹那间……”，一刹那是_____秒。［分析］60×60×24÷30÷20÷20÷20÷200.018(秒).3.小红生病住院了，为了祝她早日康复，三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤，计划两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤。现在两个班级的同学同时开始叠，在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，三(二)班叠了2370只千纸鹤．那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤？［分析］（方法一)三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：24003800(只)，“相同时间”是：（24302370）8006(天)，三(一)班每天叠的个数：24306405(只)，三(二)班每天叠的个数：23706395(只)．(方法二)这道题的已知条件可以分两层．第一层：两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤，第二层：在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，四(二)班叠了2370只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内，两个班共叠千纸鹤2430+23704800(个)；叠2400只用3天，叠4800只用几天呢？先求出4800是2400的几倍，也一定是3天的几倍，即“相同时间”．“相同时间”是：3[2430+2370（）2400]6(天)，三(一)班每天叠的个数：24306405(只)，三(二)班每天叠的个数：23706395(只)．4.甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多少个？［分析］(方法一)甲、乙二人每小时共打字：36004900(个)；“相同时间”是：（2450+2050）9005(小时)；甲打字员每小时打字的个数：24505490(个)；乙打字员每小时打字的个数：20505410(个)．(方法二)这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时第5级上优秀A版教师版7\n间内，甲乙二人共打字245020504500(个)；打字3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”．“相同时间”是：4[2450+2050（）3600]5(小时)；甲每小时打字：24505490(个)；乙每小时打字：20505410(个)．5.某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？［分析］此题要求的两个问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”，即先求出4台1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。600÷5÷4：×（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（个）6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小时）答：（1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成。6.学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？［分析］1套课桌椅的价钱是：4804120（元），7套的价钱是：1207840（元），3000元可以买到：300012025（套）．7.王师傅2小时加工了62个零件，照这样计算，他每天工作8小时可以加工多少个零件？如果要加工372个零件，需要几小时？［分析］王师傅1小时加工零件：62231(个)，8小时可以加工零件：318248(个)，加工372个零件需要时间：3723112(小时)8.（2004年，第2届，走美杯，5年级，决赛）4名工人加工455个零件.开始的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工195个零件。如果以后无人请假，那么还要天可以完成任务。［分析］每人每天加工零件195÷(4×4-1)13(个)，剩下的零件还需加工(455-195)÷(13×4)5(天)。9.某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨.根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？［分析］“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10辆汽车的运输量。96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）.10.（2004年，希望杯，第二届，四年级，二试，第17题）甲有桌子若干张，乙有椅子若干把.如果乙用全部椅子换回相同数量的桌子，那么需要补给甲320元；如果乙不补钱，就会少换回5张桌子.已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元.求乙原有椅子多少把？［分析］如果乙不补钱，就少5张桌子，补钱的话需要补320，那么5张桌子320元，桌子单价64元，椅子的单价为(64×3+48)÷5=48元，原来椅子有320÷(64-48)=20(元)11.4个人10天修路800米,照这样算,20人修5600米,要_____天.［分析］先进行两次归一，求出每人每天修80041020米，然后再求出20人每天修2020400米。修5600米,要560040014天.12.3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？［分析］(方法一)3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（903）56（个），那么一个人10小时可以加工61060个，540个零件在10小时做完就需要540609(人)．(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工8第5级上优秀B版教师版\n第八讲零件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是180的3倍，时间相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，339(人)．13.5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖50米的沟需要多少名工人？［分析］因为5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么5个人用1个小时就可以挖1米长的沟，所以5个人用50个小时也就挖了50米长的沟．14.5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？［分析］1台拖拉机1天耕地：12000245100(公亩)，18天耕完54000公亩土地需要拖拉机：540001810030(台)，需要增加30525(台)拖拉机．知识点总结归一问题的基本关系式：每份的工作量(单一量)总工作量份数总工作量每份的工作量(单一量)份数(正归一)份数总工作量每份的工作量(单一量)(反归一)家庭作业1.一只小蜗牛3分钟爬行6分米，照这样的速度，10分钟爬行多少分米？【分析】归一思想．为了求出蜗牛10分钟爬多少分米，必须先求出1分钟爬多少分米(单一数)，“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果．小蜗牛每分钟爬行632(分米)，10分钟爬21020(分米)．2.绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【分析】倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种420棵树需要的天数是种210棵树的倍数为：4202102(倍)，所以种420棵树需要的天数为：326(天)，也就是完成任务共需369（天）．3.一个工人要磨面粉480千克，5小时磨了300千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？［分析］(方法一)通过5小时磨300千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．（480300）（3005）3(小时)．(方法二)通过5小时磨300千克，可以求出1小时磨粉数量.磨完480千克面粉需要的时间为：480（3005）8(小时)，那么磨剩下的面粉需要时间即为：853(小时)．4.宫保在森林中锯木头，他用20分钟把一根树干锯成了5段，那么把树干锯成10段需要多长时间？第5级上优秀A版教师版9\n【分析】把一根木头锯成5段，实际上只需要锯514（下），所以锯一下需要2045(分钟)，现在要把树干锯成10段，也就是要锯1019（下），需要时间为：5945(分钟)．5.植树节到了，学而思学校组织植树活动，如果4个人3小时植树240棵，那么8个人5小时植树多少棵？【分析】要求8个人5小时植树多少棵，必须先求出1个人1小时所植的棵数：2404320(棵).那么8个人5小时植树2085800(棵).6.花果山里的小猴在吃桃子，如果12只小猴3天吃72个，照这样算，20只小猴2天吃几个？【分析】先进行两次归一，求出每只小猴每天吃721232个，然后再求出20只小猴每天20240个.要吃2天共吃40280（个）学案[学案1]薇儿步行去学校，2分钟行40米，照这样的速度她从家到学校行了8分钟，薇儿家到学校有多少米？［分析］4028208160（米）.[学案2]一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？［分析］先求每小时航行多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。每小时航行多少千米：108÷4=27（千米）270千米需航行多少小时：270÷27=10（小时）共需多少小时：10+4=14（小时）综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）.[学案3]一个工人在森林中锯木头，他用12分钟把一根树干锯成了4段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？［分析］把一根木头锯成4段，实际上只需要锯413（下），所以锯一下需要1234(分钟)，现在要求把每段木头再锯成两段，也就是还需要锯4下，则还需要：4416(分钟)．[学案4]3名工人5小时加工零件90个，10名工人10小时加工零件多少个？［分析］3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工(903)56（个），那么一个人10小时可以加工61060（个），10名工人10小时加工零件：6010600（个）．10第5级上优秀B版教师版