第2讲第二讲体育比赛中的数学知识站牌四年级寒假四年级秋季包含与排除几何计数初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级暑假三年级春季加乘原理初步标数法比赛赛制；积分制以及相关逻辑推理问题.漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们平时喜欢参与体育比赛吗？有没有人经常在下课或者午休的时候到操场上去打篮球或踢足球?回家打开电视机的时候会不会看体育频道播放的各种赛事呢？明年世界杯将会在巴西举行，你是否了解淘汰赛的规则？其他运动的获胜规则呢？你有没有想过这些比赛与数学会有怎样的联系？如果你没想过，那就在今天跟老师一起来研究一下体育比赛中的数学问题吧.教学目标1.了解常见的体育赛事的比赛赛制2.掌握赛制的简单计算，重点掌握单循环赛中“场次与人数”和“场次与分制”之间的关系3.熟练运用单循环赛中的“点线图”，解决相关的逻辑推理问题经典精讲在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理．nn(1)1.n支队伍的单循环比赛将进行m场，其中每支队都进行(n1)场.22.体育比赛中的总分（记为A）问题三分制：胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mA3m，每多出现一场平局，总分就会减少1分；二分制：胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的．3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．知识点回顾淘汰赛：淘汰赛是指体育比赛和其它各种比赛中的一种赛制，在这种赛制中赛员两两相对，输一场即淘汰出局.每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军.在单淘汰赛制中赛会组委会事先会将全部选手按预赛名次或种子顺序进行编排，也支持部分种子选手直接从中间某轮开始2第7级下优秀A版教师版\n第2讲参加比赛的安排（即轮空）.这样做的目的是避免实力强的选手过早相遇，导致后面的比赛中对阵双方的实力相差过于悬殊，影响比赛的悬念和精彩程度.循环赛：循环制，是每个队都能和其他队比赛一次或两次，最后按成绩计算名次的比赛方法.这种方法比较合理、客观和公平，有利于各队相互学习和交流经验.循环制包括单循环、双循环和分组循环三种方法.单循环：是所有参加比赛的队均能相遇一次，也就是每个队都要与其他队比赛一次，假如有A、B、C、D4个队，则每个队需要打3场，一共需要打3+2+1=6场，用线段图表示：ABCDA与B、A与C、A与D、B与C、B与D、C与D共6场.最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法.双循环：是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛队少，或者要创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法.目前，全国男子篮球甲级联赛采用主客场制，在第一阶段预赛和9~12名保级赛中采用的就是双循环比赛.双循环比赛的轮次、场次以及比赛时间，均是单循环比赛的倍数.分组循环：是将所有参加比赛的队先分成若干个小组进行第一阶段预赛，然后每组的优胜队之间再进行第二阶段的决赛，决定第1名和以下的名次.在分组预赛中采用单循环的比赛方法，在决赛中可采用单循环赛、同名次赛、交叉赛等，故也称这种竞赛方法为混合循环制或“两阶段制”.分组循环适用于有较多的队参加的竞赛，可以在不长的期限内较合理较公平地完成竞赛任务.分组循环的不足之处，是参赛队由于实力不同，如果分布不均，可能造成强队先期被削减、弱队反而名次排列在前面的局面.为了克服这个缺陷，在编排中应设立“种子队”.所谓“种子队”，就是实力和成绩相对较强的队，他们应被合理地分开.“种子队”可以通过协商确定，也可以根据上一届比赛的名次来确定.为了照顾主办竞赛的单位，有时也在竞赛规程中作出相应规定，还要经过一定会议的讨论和认可.例题思路模块一：场次的计算（例1—例3）模块二：分数的计算（例4—例5）第7级下优秀A版教师版3\n例1学学组织了8个同学去体育场进行羽毛球比赛，两两配对进行淘汰赛，要在这8人中决出冠军，请问一共要进行多少场比赛？【分析】方法一：两两配对进行淘汰赛，8人一共能分成824组，每组赛一场，一共赛了4场，淘汰了4人，剩下4人分成422组，要赛2场，剩下2人，还需赛1场，所以一共要赛4217场．方法二：要淘汰7人，则进行7场比赛．例2(1)羊村要举行足球联赛，共有6个代表队参加．每个队都要与其他队赛一场，那么1)冠军队要比赛多少场？2)一共要进行多少场比赛？3)如果是n个队呢？(学案对应：1)【分析】1)一共有6队参加比赛，每队与其他各队赛一场，6-1=5(场).2)共赛6(61)215（场）.3)n队每队都赛了n-1场，共进行n(n1)2场比赛.(2)学而思的几个校区举行篮球比赛，每两个校区都要赛一场，共赛了28场，那么有几个校区参加了比赛？【分析】如果三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛4326场；如果有五个人比赛，那么可以比赛54210场；假设有n个校区参加比赛，那么就有n(n1)2场比赛，现在已知共赛了28场，那么n=8,也就是有8个校区参加了比赛.【想想练练】10名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单循环赛，一共要比赛多少场？【分析】每名运动员都赛了9场，由于一场比赛是有两名运动员参加的，共进行了109245场比赛.4第7级下优秀A版教师版\n第2讲足球比赛赛制足球比赛主要包括淘汰赛和循环赛，其中循环赛又包括单循环和双循环.双循环赛制主要出现在一些周期较长的联赛及选拔赛事中，双方分别在对抗过程中表现己方的主场优势.而一些较为集中的比赛多以单循环赛与淘汰赛相结合的形式进行.例如我们常见的世界杯，32支球队被分在8个小组，两两相互进行一场比赛后，小组前两名可以晋级淘汰赛阶段.淘汰赛一直从16支球队到决出最后的冠亚季军，都采用一场定胜负的方法，其中也包括了精彩的加时金球制胜，和残酷的点球大战.篮球比赛赛制篮球比赛同样有循环赛和淘汰赛两种形式.风靡全世界的NBA里的常规赛采用的就是循环赛的形式.在为期半年，长达82场的常规赛赛程中，通过球队的胜场数确定进入季后赛的资格和席位.季后赛采用的则是7局4胜的淘汰赛形式.16支分别来自东西部的球队会依照排名（1~8,2~7,3~6,4~5）进行捉对厮杀，率先获得四场胜利的球队将晋级下一轮.连续四轮战胜对手的球队将获得最终的总冠军.乒乓球比赛赛制乒乓球比赛根据规模多采用淘汰赛制.乒乓球的计分制经过多次修改后，成为了现在的单局11分制，即率先赢下11分的选手将赢下这一局的比赛.但如果对手的得分达到10分及以上，就需要至少多赢两分才能获得比赛胜利.单打的比赛中则多采用7局4胜，而双打的比赛中多采用5局3胜.羽毛球比赛赛制羽毛球比赛的赛制采用先小组内循环，每组前两名再晋级参加淘汰赛的形式.每场比赛3局2胜，单局采用21分制，即率先赢下21分的选手将赢下这一局的比赛.如果对手的得分达到20分及以上，就需要至少多赢他两分才能获得比赛胜利.例3学校的四位学员进行乒乓球比赛，每两个人支能比赛一次，他们的编号分别为A，B，C，D．到现在为止，A已经赛了1场，B赛了2场，C赛了3场.请问：D赛了几场？（学案对应：2）【分析】建议教师让学生动手按要求画一画．如下图，画4个点表示四位同学A、B、C、D，两点之间连一条线段表示赛一场，根据题意，C已经赛3场，说明C与A、B、D各赛一场，C与A、B、D点相连．此时A和C已赛1场，B的第2场只能和D赛，B、D两点相连.从图上D点的连线条数可知，D同学赛了2场.第7级下优秀A版教师版5\n【想想练练】八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场，山东队赛了1场．那么广东队赛了几场？【分析】八一队赛了4场，说明八一队和其它四队都赛过了．山东队赛了1场，说明只和八一队赛过．北京队赛了3场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过．江苏队赛了2场，说明与八一队、北京队赛过．由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了2场．例4班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局.每局胜者得2分，平者各得1分，负者得0分.(1)四个队的得分加起来一定是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)已知甲乙丙三名同学得分分别为3分、4分、4分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？（学案对应：3）【分析】（1）四个人循环比赛总共比赛4326（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是6212（分）．（2）第一名共赛3场比赛，全胜最多可得3×2=6（分）（3）方法一：总分-甲的分数-乙的分数-丙的分数=丁的分数，即：623441（分）．方法二：四个同学共赛4326（局），结合条件“丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局”，分解三名同学分数配比：甲：3121乙：41221丙：422观察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三平，所以丁同学平了一场．则丁同学得：1×1=1（分）．6第7级下优秀A版教师版\n第2讲例5四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场．如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．(1)四个队的得分加起来可能是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)比赛结束，各队的总得分恰好是四个连续的自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？（要求说明理由）（学案对应：4）【分析】(1)共打6场，总分在12分到18分之间(2)第一名最多可得到3×3=9分.(3)设四个队的总得分分别为n，n1，n2，n3．由于四个队进行单循环比赛，共赛6场，各队总得分之和不超过6318（分），且不低于6212（分），即12≤n(n1)(n2)(n3)≤18，亦即12≤4n6≤18．解出2≤n≤3．下面分情况讨论：1、当n3时,即四队总分依次为3，4，5，6．因为345618，说明六场比赛都有胜负，不存在平局的场次；而另一方面，得4分和5分的队都有平局的场次．两者矛盾．所以，n3是不可能的．2、当n2时，即四队总分依次是2，3，4，5．因为234514，所以6场比赛中应有18-14＝4（场）是平局，2场是有胜负的．由于得5分和2分的队各有二场平局，即5311；2110．从而可以判定，得3分的队必须三场平局，得4分的队一胜一平一负，即3111，4310．综上所述，第二名得4分的队必胜得2分的队，而负于第一名（注意到得5分和3分的队都没有输过一场）．即输给第一名的队的总分是4分.【想想练练】甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？【分析】共四人参加比赛，每人都要赛3场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，四个人循环比赛总共比赛4326（场），因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分）．每名选手的总分一定是0~6七个数之一．又由题意，“甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名”，可知甲得6分时，乙、丙只能各得3分，丁得0分．如果乙、丙得分大于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分小于等于4分，这种情况不可能；如果乙、丙得分小于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分大于等于7分，这种情况也不可能；所以乙得3分．第7级下优秀A版教师版7\n全校共有61人报名参加兵乓球比赛，要用淘汰赛的方式产生一名冠军.每一场比赛中的双方，胜者参加下一轮比赛；若战成平局，则都参加下一轮比赛.由于参赛人数是奇数，第一轮比赛中只好让60名选手上场进行30场比赛，其余一人免赛直接进入第二轮.如果第二轮可参赛人数仍是奇数，就再让其中一人免赛直接参加第三轮，其余选手成对地角逐.如此下去，到冠军产生为止.问最少要进行多少场比赛？【答案】不论每一轮比赛中参赛资格的选手人数是奇数还是偶数，也不论每一轮比赛中有没有因战成平手而双双进入下一轮者，每一场比赛的两个参赛选手中最多只能淘汰一人（成为平手时谁也不淘汰）.要从61名选手中产生一名冠军，需淘汰60人，因此，至少需要进行60场比赛.杯赛提高1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的；根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是哪队？【分析】每个队踢3场，至多得9分．但若一个队得9分，则第二名已负1场，至多得6分，与条件（1）不符，所以第一名不能得9分，这样4个队的得分依次为7、5、3、1．丁恰有两场平局，因而总分为2或5，由于总分是奇数，所以支能是5分，从而丁是第二名，平二场，胜1场；乙得7分，7=3＋3+1，所以乙胜甲、丙，并与丁踢平；丙与丁踢平，负于乙，所以丙的总分支能是1、2、4，但总分是奇数，所以支能是1，从而丙是第四名．知识点总结在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理．nn(1)1.n支队伍的单循环比赛将进行m场，其中每支队都进行(n1)场.22.体育比赛中的总分（记为A）问题8第7级下优秀A版教师版\n第2讲三分制：胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mA3m，每多出现一场平局，总分就会减少1分；二分制：胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的．3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．家庭作业1.世界杯的淘汰赛有16支球队参加，想获得冠军要战胜几个对手？【分析】16支球队在淘汰赛中两两对抗，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1.至少需要进行4轮比赛，战胜4个对手.2.来自五大洲的代表队齐聚北京参加一项比赛，每个洲的代表队都要与其他各队比赛一场，一共有多少场比赛？【分析】5支球队分别与其他各队比赛一场，共有4+3+2+1=10(场).3.学学、思思、明明和光光四人进行一场循环对抗赛，每人都需要和其他人各赛一场.此时，学学比了一场，思思比了两场，光光还没参加比赛.请问，明明已经参加了几场？【分析】根据已知条件，由于光光还没参加比赛，思思的两场分别是与学学和明明比赛的，学学支比了一场，因此明明也只参加了一场比赛.4.北京队、上海队、武汉队、广州队和重庆队五支队伍争夺围棋联赛的冠军，每两支队伍都需要进行一场比赛.一段的比赛结束后，北京队已完成了所有赛程，广州队还剩三场比赛，上海和武汉队还剩两场比赛，重庆队仅剩一场比赛.请问，已经比完了多少场，还剩多少场？【分析】全部的比赛数为：4+3+2+1=10(场),剩下的比赛数为：(3+2+2+1)÷2=4(场).已经比完的比赛数为：10-4=6(场).5.五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？【分析】四个人循环比赛总共比赛54210（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是21020（分）．6.东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场？【分析】三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223（场）比赛．每场比赛都有一人获胜，由三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0．显然，第第7级下优秀A版教师版9\n一名胜了2场．A版学案【A版学案1】有27支足球队参加比赛：（1）如果采用单循环赛（每两队赛1场），需比赛________场.（2）如果进行淘汰赛（胜者继续比赛，负者下场）产生冠军，共需比赛________场.【分析】351、26【A版学案2】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制.现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘.问：这时F已赛过盘.【分析】如下图,这时F已赛过3盘.【A版学案3】在一项两分制的足球赛事中，四支球队进行单循环比赛.他们的总分是多少？若甲队三战全胜，其余三队的得分各不相同，其余三队的得分可能是多少？【分析】四队单循环赛共：3+2+1=6(场),两分制的比赛无论胜负或者战平总分均是6×2=12(分).甲队三战全胜得6分,剩余三队共得到12-6=6(分).由于分数各不相同，三队的分数可能为1，2，3或0，2，4.【A版学案4】6支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有4场平局，且其中5支球队共得了31分，则第6支球队得了分．【分析】每场平局两队共得2分，如果分出胜负则两队共得3分．6支球队共要比6×5÷2=15场比赛，其中有4场平局，所以有15-4=11场分出了胜负，那么6支球队总得分为2×4+3×11=41分，由于有5支球队共得了31分，所以第6支球队得了41-31=10分．10第7级下优秀A版教师版