第6讲第六讲最值问题初步知识站牌五年级暑假四年级春季分组与配对最值问题进阶四年级秋季最值问题初步四年级暑假三年级寒假逻辑推理进阶倒推与图示极端分析法、局部调整法和最值原理漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们帮家长买过东西吗？如果有两个售价相同的蛋糕，一个是50cm×50cm，另一个是60cm×40cm，你会买哪一个呢？学完了这一讲，你就知道买哪一个蛋糕更合适了.教学目标1.了解并掌握极端分析法2.会使用局部调整法3.熟练运用最值原理经典精讲许多题目中涉及的变量在一定范围内可大可小，但题目要求我们求出最大值或最小值.遇到这类问题，我们可以采取下列策略：（1）极端性思想思考问题；（2）利用不等式估值；（3）局部调整思想；（4）利用抽屉原理和容斥原理；（5）枚举比较等，往往还会使用到构造与论证.上述提到的这些是整个离散最值问题的通用思想，在本讲中并没有全部涉及.1.极端分析法：从最不利的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小知识点回顾1.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位数是_______，最小三位数是_________.【分析】最大三位数是543，最小三位数是102.2.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位偶数是______，最小三位偶数是_________.【分析】最大三位偶数是542，最小三位偶数是102.2第7级下优秀A版教师版\n第6讲3.如果□÷8=5……△，那么当△最大时，□里的数是_______.【分析】△最大是7，此时□中的数是58747.4.数字0、1、2、3、4、5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是_________.【分析】最大是8.5.自然数40、51、62、73、84、95，任意两个自然数相乘，乘积个位的最大值是________.【分析】乘积的个位只与乘数的个位有关，最大还是8.例题思路模块一：直接求最值（例1，例2）模块二：最值原理（例3，例4）模块三：拆数问题（例5）例1电视台要播放一部30集电视连续剧.如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？（学案对应：学案1）【分析】如果播8天以上，那么由于每天播出的集数互不相等，则至少需要有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36集，所以30集连续剧不可能按照要求播8天以上，另一方面1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30，所以最多可以播7天，各天播出的集数分别为12,3,4,5,6,9，或12,3,4,5,7,8，想想练练：19个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果.问：这群小朋友最多有几位?【分析】由于苹果数固定，则当每个人得到的苹果尽量少时，人数最多.假如有6人，则最少需要12362119个苹果，从而不可能达到6人，若有5个小朋友，则至少需要123...51519个苹果，例如5人各分得1,2,3,4,9个苹果，(注意：分法不唯一)例2在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？（学案对应：学案2）【分析】方法一：插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最大则必是增加数字最大的这一个，即是123455．方法二：枚举出所有的情况，进行对比．想想练练：第7级下优秀A版教师版3\n在三位数234的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的四位数最大可能是多少？【分析】插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最大则必是增加数字最大的这一个，即是2344．999的故事谷超豪是我国著名的数学家.他小时候并不聪明，可他很喜欢看书.在他读中学的时候，老师讲过乘方的知识后对同学们说：“不准用任何运算符号，用四个1组成一个最小的数，再用三个9组成一个最大的数.”同学们的兴趣一下子被集中到了认真的思考和计算上.“报告老师，最小的数是1111.”1有同学抢先回答，老师并没有表态.“最小的数是111.”老师摇摇头.有的同学在草稿纸上列11出了11式子进行计算，很快发现，这个数要比1111大很多.这时谷超豪举手做出了明确的回答，老师依照他的回答在黑板上写下了结果.1111111<111<1111<1199聪明的同学很快就回答说：“最大的数是9.”老师微笑着看着大家，期待着其他同学的答案.99谷超豪举手回答说：“9最大.”同学们你们可以想一想这个数究竟有多大.例3（1）有一根长度为36米的绳子，用它围成的长方形中，面积最大的是平方米.（学案对应：学案3）【分析】周长为定值，则长与宽的和为定值，为36218.和一定，差小积大，所以当该长方形为正方形时面积最大.最大的面积是81平方米．（2）面积为36平方米的长方形中，周长最小是米.【分析】长宽乘积为定值，当长宽相等时长宽的和最小.所以最小周长是9×4=36米.例4用1,2,3,4,5,6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求（1）和最大是多少？最小是多少？（2）差最大是多少？最小是多少？（3）积最大时算式是什么？最小时算式是什么？【分析】（1）和最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，有642+531=1173和最小则相反，有135+246=381（具体算式不唯一）（2）被减数越大，减数越小，差越大，那么最大值为：654123531；被减数与减数越接近，差越小．那么要让两数的百位只差1，被减数的末两位尽量小，减数的末两位尽量大，最小值为41236547．（3）积最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，此时，由“和一定，差小积大“可知应为631×542=342002积最小则相反，有135×246=332104第7级下优秀A版教师版\n第6讲想想练练：请将1、2、3、4填入算式“□□×□□”的方格中，要使得算式结果最大，应该怎样填？【分析】要使得算式结果最大，则最高位上填最大的数，答案是4132．例5（1）把8拆成若干个可重复的自然数的和，使这些自然数的乘积最大．【分析】如果拆成的数中有比3大的，例如5，可以再拆成2与3，23＞5，所以拆成的数中没有比3大的．如分析所说，拆成的数a如比3大，可以拆成2与a2，2（a2）≥a（仅在a=4时两边相等），所以可以认为拆成的数都不比3大．如果拆成的数有1，那么将1加到其它任一个拆成的数上，乘积增加，所以拆成的数没有1．因此，拆成的数只有2与3，如果2的个数≥3，那么22233，而222＜33，所以应将3个2改成2个3，于是2的个数只能是0，1，2个，而8233乘积23318为最大．小结：上面的解法具有一般性，把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应拆成2与3的和，而且2的个数不超过2个．即“多3少2不拆1”（2）3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？（学案对应：学案4）【分析】把17分成3个不同的，尽量接近的数.那么可以分成17467，467168.一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一，你乘坐电梯从一楼向上走，每层楼电梯门都会打开一次，拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答案：先拿着第一楼的钻石，然后在每一楼把手中的钻石与那楼的钻石比较，如果那一楼的比手上的钻石大，就换.第7级下优秀A版教师版5\n杯赛提高某篮球运动员参加了10场比赛，他在第6、7、8、9场比赛中分别得到了23、14、11和20分，他在前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他10场比赛的平均分超过18分，那么他在第10场比赛至少得分．【分析】因为前九场比赛的平均分比前五场比赛的平均分要高，设前五场比赛的平均分是x．所以有(5x23141120)9＞x．解得x17，所以5x85因为10场比赛的平均分超过18分，所以10场的总分至少18101181(分)，要使第十场比赛的得分最少，应使十场比赛的总得分尽量少，使前5场比赛的得分尽量多，故当十场的得分为181分．前5场比赛的得分为84分时，第十场比赛的得分最少，为181842314112029(分)．知识点总结1.极端分析法：从最不利的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小家庭作业1.有4袋糖块，其中任意3袋糖块的数量总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析】设这4袋为ABC、、、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有AB、、C袋糖有20、20、21块糖．则当AB、、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证ABC、、、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．2.在三位数731的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的四位数最小可能是多少？【分析】插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最小则必是增加数字最小的这一个，即是7311．6第7级下优秀A版教师版\n第6讲3.周长为60的长方形中，面积最大的一个其面积是.【分析】周长为定值，则长与宽的和为定值，为60230.所以当该长方形为正方形时面积最大.最大的面积是225．4.请将6、7、8、9填入算式“□□+□□”的方格中.要使得算式结果最大，应该怎么填？【分析】加数是一个两位数，那么可以看成：□□+□10□.那么很显然，最大的9和10乘，次大的8和7乘.因此应该填7891067896.5.把14分成几个可重复自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？【分析】1433332，最大乘积是33332162．6.3个自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】把17分成3个尽量接近的自然数之和，17=5+6+6，乘积为5×6×6=180.A版学案【学案1】将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，分得组数最大时人数最少的那组有多少人？【分析】123......15120,123......16136，因此最多可以分为15组．又234......16135，因此人数最少的一组有1或2人．【学案2】一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？【分析】要让这个多位数尽量小，那么首先位数必须少．易知最小是三位数，先让其中两个数最大，那么剩下一个数必然最小．23986，这个数是689．要让这个多位数尽量大，那么位数必须尽量多．12345621，那么最多可以是7位数（加上0）．先让其中6位最小，那么剩下一位最大．230123458，这个数是8543210【学案3】用22根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？【分析】在和相同的情况下，差越小，积越大.22不能被4整除，那么我们让这个矩形的长和宽尽量接近.22256，那么这个矩形的面积最大为5630平方厘米.【学案4】若干个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】2+3+4+5+6=20>17，则17=2+4+5+6，乘积2×4×5×6=240第7级下优秀A版教师版7