第7讲第七讲图形的分割与剪拼知识站牌四年级春季四年级寒假等积变形格点与割补四年级秋季图形的分割与剪拼四年级暑假四年级暑假三角形进阶三角形初步构造类图形分割和剪拼漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们玩过七巧板吗？这是一种非常有趣的游戏，只用七块简单的小木片就可以拼成超过一千种不同的图案.那么你们尝试过自己制作七巧板吗？制作七巧板非常简单，只需要一支笔，一把直尺，一张硬纸板和一把剪刀就行了.首先，在硬纸板上画一个正方形，并把它平均分成4×4共16个小方格.然后如下图连接相应的格点并沿线剪开，最后再按照自己的喜好给它们涂上颜色，你就可以得到一副崭新的七巧板了.教学目标1.了解图形分割的一般规律，能自己动手完成分割2.了解图形拼接的典型问题，掌握基本拼接方法3.能灵活运用分割和剪拼的思想，提高动手能力和图形想象能力经典精讲1.把一个几何图形按某种要求分成几个图形，叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个规则的图形，叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．2.把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分时，需要注意图形本身的对称性质，尤其注意是否中心对称；如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合形状来分割图形．3.如果把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，重点考虑边长间的和差关系．4.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键点，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算来确定剪拼的方法．2第7级下优秀A版教师版\n第7讲知识点回顾1.用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割方法？【分析】只要过长方形中心即可，如下图：AOB2.把一个任意三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【分析】答案还有很多A3.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【分析】例题思路模块一：规则图形的分割（例1，例2）模块二：不规则图形的剪拼（例3~例5）例1将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，你能找到几种剪法？【分析】过中心的两条相互垂直的直线均可（答案不唯一）第7级下优秀A版教师版3\n想想练练：将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的八块，你能找到几种剪法？【分析】例2学生版放（1），（2）（1）能否将正六边形分成2个形状、大小都相同的图形？（2）能否将正六边形分成3个形状、大小都相同的图形？（3）能否将正六边形分成4个形状、大小都相同的图形？（4）能否将正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？（学案对应：学案1）【分析】（1）过中心且不过顶点的直线即可分成五边形，连接对称顶点即可分成四边形（2）过中心做菱形，或五边形（3）过中心做垂线4第7级下优秀A版教师版\n第7讲（4）连接对称顶点赵爽的弦图赵爽是三国时期的东吴人，最早用图形的分割和剪拼证明勾股定理的数学家。勾股定理最早出现在我国古代数学名著《周髀算经》中，书中提出了“勾三股四弦五”。2222图中我们可以发现(a-b)+4×（ab÷2）=a+b=c赵爽用这种简明而直观的证明方法，是许多外国科学家感到惊异.外国最早采用类似方法的是印度数学家拜斯伽罗，比赵爽晚了900多年。后来，很多数学家都对这个图形做出了各种各样的割补方法，总计已有300多种方法，刘徽的青朱出入图就是其中很好的一种方法，同学们能不能看出来图形是如何剪拼的呢？例3下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四第7级下优秀A版教师版5\n部分．（学案对应：学案2）【分析】要求把阴影部分分成大小、形状都相同的四个部分，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．想想练练：将下图分割成五个大小相等的图形．【分析】因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积．3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种．例4将下图分割成大小、形状都相同的三块，使每一小块中都含有一个○．（学案对应：学案3）【分析】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836(个)，又要分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O，而且上面的部分是对称6第7级下优秀A版教师版\n第7讲的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O想想练练：一块正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现在要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都有一棵大树．应怎样分？【分析】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点依次连接，即可将这块大正三角形的土地分成与它形状相同的四小块，如右上图所示．例5试将一个49的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．（学案对应：学案4）【分析】已知长方形格数9436(个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，得到相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图．第7级下优秀A版教师版7\n巧用七巧板相信同学们应该都见过七巧板，七巧板由7块不同颜色的图形组成，分别是五个三角形，一个正方形和一个平行四边形.7部分可以拼接成一个完整的正方形，也可以拼成各式各样的神奇图形.有些图形是完整的，另外一些图形可能是不完整的，中间可能会有空隙的部分，就像一个小洞一样.同学们来想一想，用一副七巧板拼出的图形，最多可以有多少个封闭的“洞”？【答案】：最多可以拼出三个，如下图所示.杯赛提高(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春蕾蕾杯赛春春赛杯蕾杯赛蕾春赛杯【分析】如下图所示：春蕾蕾杯赛春春赛杯蕾杯赛蕾春赛杯8第7级下优秀A版教师版\n第7讲知识点总结1.注意图形的中心对称性质2.数量关系是解题的突破口家庭作业1.下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【分析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，就要求把原来的五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如中图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右图．2.已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将其分割成4块形状、大小都一样的图形．5【分析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．3.把下图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【分析】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如下图：第7级下优秀A版教师版9\n4.将下图分割成大小、形状都相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【分析】5.请将下图正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.ACBCDCCDBADADBBA【分析】6.把下图分成两块后拼成一个正方形．10第7级下优秀A版教师版\n第7讲【分析】A版学案【学案1】下图是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的小梯形吗？【分析】这道题的要点在于通过计算解决问题.要求把原来的三个正三角形分成大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形组合成要求的梯形.这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【学案2】你能将由正方形和等腰直角三角形组成的下图分成大小和形状都一样的四部分吗？【分析】【学案3】请将下图正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.第7级下优秀A版教师版11\n【分析】先将图中两个相同字母挨在一起的之间划出切分线.而要把正方形切成形状大小完全相同的四块，其中一块绕中心点旋转90°、180°、270°之后必定分别和另外三块重合.那么画出的切分线在绕中心旋转90°、180°、270°之后可能得到一些新的切分线，从而为我们解决问题1提供了线索.同时每块应为大正方形面积的，即含4个小正方形，故有4【学案4】长方形长24厘米，宽15厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形．434344334184315334433443342420【分析】长方形面积2415360(平方厘米)，拼成的长方形面积2018360(平方厘米)，面积相等，只是长、宽不等，但它们都可以分成30个4×3的小长方形，拼成的长方形的一半应有15个43的小长方形，即5432115．所以才有如上图的剪切方法．12第7级下优秀A版教师版