第8讲第八讲数阵图初步-从幻方谈起知识站牌四年级春季四年级春季数阵图进阶破译横式四年级秋季数阵图初步-从幻方谈起四年级暑假破译乘除法竖式三年级暑假破译加减法竖式辐射型、封闭型和复合型三种数阵图的填写，幻方的初步认识漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入金庸作品《射雕英雄传》中有这样一段情节：那女子（瑛姑）沮丧失色，身子摇了几摇，突然一跤跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”边说边画，在沙上画了一个九宫之图．那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世．”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇．就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十．这般横直上下斜角相加，皆是三十四．”那女子依法而画，果然丝毫不错．黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二．这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓．”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来．这段对话中提到的“九宫之图”、“洛书之图”就是现代数学中所称的三阶幻方．教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用学生掌握的各种数学知识来解决问题．本讲首先要讲授填数阵图的主要技巧：区分普通点与关键点（一般是处于最多线段交叉处的点）；填出关键点数值；判断幻和等等.除此之外还有以下注意点：1．引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2．教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3．锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4．培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力．经典精讲数阵图：将一些数按照一定的要求排列而成的某些图形.数阵图的分类：辐射型，封闭型，复合型.2第7级下优秀A版教师版\n第8讲辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数.封闭型数阵图：在正多边形的每条边上安放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数.复合型数阵图：既要在射线上安放数字，又要在正多边形的边上安放数字，使它们的和都等于一个不变的数.数阵图问题要求在数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等，可以按以下步骤解决这一类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关键点(或方格)第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍．第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试．知识点回顾1.计算：1+2+3+…+9=；10+11+12+…+20=；1+2+3+…+25=.【分析】45；165；3252.解方程：5x1025；3x72+5x【分析】x3；x123.填空：abc、、是非0自然数：若2a2b2c36abc，则abc；若a374ab，则b；若46a8ab，则b；若a153b，则a必是的倍数.【分析】36；6；3；34.将12写成2个互不相同的自然数的和，有几种写法，请列举出来.【分析】12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，共5种第7级下优秀A版教师版3\n例题思路模块一：辐射型数阵图（例1、例2）模块二：封闭型数阵图（例3、例4）模块三：复合型数阵图（幻方）（例5）例1把1~5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．（学案对应：学案1）【分析】把两条直线上的6个数相加，中间的数被加了两次，我们把中间的数称为重叠数，列式为：（12345）重叠数每条直线上三数之和2，所以，每条直线上三数之和(15重叠数)2．因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5．若“重叠数”1，则两条直线上三数之和为（151）28．填法见图⑴；若“重叠数”3，则两条直线上三数之和为（153）29．填法见图⑵；若“重叠数”5，则两条直线上三数之和为（155）210．填法见图⑶．322215135154443⑴⑵⑶注：填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解．辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”1．对于辐射型数阵图，有“已知各数之和+重叠数重叠次数直线上各数之和直线条数”．【想想练练】请你把5、15、35、45分别填入空格中，使横、竖三个数的和都相等。4第7级下优秀A版教师版\n第8讲【分析】例2将1~11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．（学案对应：学案2）【分析】如图1，这五条线段上三个圆圈内的数的总和为123114a18590，所以664a90，a6，确定6之后即可以填出其他圆圈内的数，如图2（5条线可任意调换位置）．17811546a23109图1图2第7级下优秀A版教师版5\n河图河图用十个黑白圆点表示阴阳、五行、四象，其图为四方形：北方：一个白点在内，六个黑点在外，表示玄武星象，五行为水．东方：三个白点在内，八个黑点在外，表示青龙星象，五行为木．南方：二个黑点在内，七个白点在外，表示朱雀星象，五行为火．西方：四个黑点在内，九个白点在外，表示白虎星象，五行为金．中央：五个白点在内，十个黑点在外，表示时空奇点，五行为土．其中，单数为白点为阳，双数为黑点为阴；四象之中，每象各统领七个星宿，共二十八宿．按古人坐北朝南的方位为正位就是：前朱雀，后玄武，左青龙，右白虎．例3你能把1~6六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于11吗？（学案对应：学案3）【分析】此图是封闭型，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11333，而125621，所以三个角的三个数之和等于332112，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12246345，经试验，填法如图．6第7级下优秀A版教师版\n第8讲253416注：填封闭型数阵图主要是确定顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．一般地，有m条边，每边有n个数的图形称为封闭型mn图．封闭型mn图有m个重叠数，重叠次数都是1次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和重叠数之和每边各数之和边数．【想想练练】请你在下面的三角形中填上数，使每条直线的三个数加起来的和都等于90.【分析】例4在图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整.116976【分析】a9b76ba4116421第7级下优秀A版教师版7\n例52将n个数排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上的n个数相加的和都相等，这样的方阵叫幻方.（学案对应：学案4）(1)在33的正方形的每个格子里分别填入1~9这9个数字，要求每行每列及每条对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【分析】方法一：第一步：求幻和：（1239）315第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15460，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（6045）35第三步：确定四个角上的数．由于在同一条直线上的三个数的和是15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数．第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：294753618方法二（对易法）：南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．即：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了．194924242753357357868691816方法三（阶梯法）：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把2n个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成3阶幻方．332626276159159951484843877方法二和方法三中将1~9按8个不同的方位排列就可以得到本题8个不同的解．方法四（罗伯法）：8第7级下优秀A版教师版\n第8讲把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：⑴每一个数放在前一个数的右上一格；⑵如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列．⑶如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行．⑷如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1111332242161681681635357357357424242492这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫“罗伯法”．罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．(2)将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于同一个数k，则中心方格中的数必为k3．【分析】因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k．如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：九数之和+中心方格中的数34k，3k中心方格中的数34k，中心方格的数k3注：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求．这个结论对求解33方格中的数阵图问题很实用．(3)用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方．【分析】方法一：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列．不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13251721；余下各数就不难填写了(见下图)．第7级下优秀A版教师版9\n132717231915211125【想想练练】在33的正方形格子的每个格子里分别填入2~10这9个数字，要求每行每列及每条对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【分析】第一步：求幻和：（234910）318．第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18472，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（7254）36．第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数．第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解．下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：783261094510第7级下优秀A版教师版\n第8讲下图就是鼎鼎大名的“河图洛书”之“洛书”，同学们能像数海拾贝中解释河图那样为大家解释一下洛书的意思吗？【答案】洛书古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数(见图)．洛书数字本太一下九宫而来，以四十五数演星斗之象．九宫八风图配合八风，八卦，中央一宫，即洛书的中宫，乃周围八宫的核心．古人观测天象，认为北极星(太乙)之位恒居北方，可以作为中心以定位的标准．九宫是据北斗斗柄所指，从天体中找出九个方位上最明亮的星为标志，便于配合斗柄以辨方定位，发现九星的方位及数目，即洛书的方位和数目．北极居中何以能下九宫．前人指出，体为北极，用在北斗，以斗为帝车，言北斗为北极帝星所乘之车，因北斗绕北极而旋转，就是北极帝星乘车临御八方之象，若根据斗柄旋指的八宫方位，便能推知四时八节的气象变化，也就是九代表了不同的时序．洛书九宫数，以一、三、七、九为奇数，亦称阳数，二、四、六、八为偶数，亦称阴数．阳数为主，位居四正，代表天气；阴数为辅，位居四隅，代表地气；五居中，属土气，为五行生数之祖，位居中宫，寄旺四隅．杯赛提高图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？第7级下优秀A版教师版11\n？1913【分析】如图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4．？x1x2x31913x4由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式：?十x1十x2＝?＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2十19＋x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，即有2×？＋x1十x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1十x2＋x3＋x4,1319所以2×?＝13＋19，？＝＝16，左上角的数是162知识点总结可以按以下步骤解决数阵图类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关键点(或方格)第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍．第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试．家庭作业1．把5，6，7，8，9填入图中的五个○中，使每个○中的数互不相同，且每条直线上三个○中的数的和相同.2．将1~7的数填入圆圈中，使每边上3个数的和都相等12第7级下优秀A版教师版\n第8讲4【分析】此图是辐射型33图，中间○内的4是重叠数，并且重叠了2次，所以每条边上的3个数之和等于12742312,剩下的6个数中，两两之和等于（124）8的有17、；26、；35、,填法如图．35174623．三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。251【分析】如图所示，用字母表示圆圈。25a11a4a1c1141c11c62bc112b611b32534164．将4、5、6、7、8、9六个数，分别填在图中的○里，使每条线上三个数的和都是18．第7级下优秀A版教师版13\n【分析】要使每条线上三个数的和都是18，那么三条线上9个数的和为18354，且六个数的和45678939，三角形三个顶点上的数是重复相加的，所以三个顶点的数字和为543915．六个数和为15的数为4、5、6，则三个顶点的数分别为4、5、6．其他数易求．结果如图所示．6785945．将1～5填入下图，使得每条直线上三个数的和与圆周上四个数的和相等.【分析】把两条直线和圆周上的数相加，相当于把五个数都加了两遍，每条直线上数的和是（125）2310，而四个数的和为10的情况只有一种：1234，所以中间的数填法只有一种就是5，答案如图:215436．在下图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=．8N61612【分析】幻和为8+6+16=30，则第三行中间填30-16-12=2，N=30-30÷3-2=18A版学案【A版学案1】把数字1、2、3、4、5安排到图中的方格中，使横行和竖行三个数相加的和分别等于8、9、10，该怎样排？14第7级下优秀A版教师版\n第8讲【分析】【A版学案2】把1~7这七个自然数，分别填在下图中的○内，使每条直线上的三个数的和都相等．【分析】这道题关键点是确定中间的数，不妨设为a，再设每条直线上的和为k．则有1+2+…+7+2a=3k，即28+2a=3k，从而a可取1，4，7，具体填法如图．【A版学案3】在下图将4、5、6、7、8、9这六个数填在下面的空格里，使每条线上的三个数的和都是18.【分析】所有的数字和是：4+5+6+7+8+9=39，每边的和是18，所以总和是18×3=54，因为顶点的A,C,E重复计算了2次，所以A+C+E=54-39=15，所以A=4，B=9，C=5，D=7，E=6，F=8【A版学案4】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24．【分析】⑴根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为2438．⑵既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？11516，21416，31316，41216，51116，61016，7916⑶按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案．第7级下优秀A版教师版15\n51271086941116第7级下优秀A版教师版