第12讲第十二讲操作类智巧趣题知识站牌五年级暑假五年级暑假必胜策略棋盘中的数学四年级秋季操作类智巧趣题三年级春季三年级春季简单统计巧填算符学习并掌握过桥过河问题、翻杯子问题、称重问题、称伪币问题漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入“华容道”游戏中带二十个小方格的棋盘代表曹操赤壁之战大败后溃逃时的必经之路华容道；棋盘下方留有一个两方格边长的开口．棋盘上共摆有十个大小不一的棋子，分别代表曹操、张飞、赵云、马超、黄忠和关羽，还有四个卒．这个游戏要求通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部的开口顺利逃走，移动中不允许跨越棋子，还要尽可能使用最少的步数．游戏中曹操逃出华容道的最大障碍是关羽．关羽立马华容道，一夫当关，万夫莫开，是解开这一游戏的关键．“华容道”有几十种布阵方法，如“横刀立马”、“近在咫尺”、“过五关”、“水泄不通”、“小燕出巢”等等．这个游戏引起过许多人的兴趣，大家都力图把移动的步数减到最少．20世纪50年代，苏州师大的许莼舫先生的《趣味数学》详细分析了华容道游戏，给出了100步的解法，并总结出以下规则：1.四个小兵必须两两在一起，不要分开；2.曹操，关羽，大将移动时前面应有两个小兵开路；3.曹操移动时后面还应有两个小兵追赶；4.以上三种状况，其中各块都可局部（不妨碍其他地方）任意移动．随后，历经中外科学家姜长英、藤村幸三郎、清水达雄、马丁加达纳等几十年的努力，游戏解法已减少至81步．后来美国人通过计算机使用穷举法证明了不可能有比81步更少的解法．美国人用计算机找到最终解法后，还曾骗中国人说美国一位著名的博士找到了最终解法，这位博士名叫computer．教学目标1.复习火柴棍游戏和倒水问题2.掌握翻杯子问题、过河过桥问题3.理解称重问题和称伪币问题经典精讲智巧趣题主要依靠巧妙的构思解决问题，本讲主要包括过桥过河问题、翻杯子问题、称重问题、称伪币问题.1.过河过桥问题中，受限制最多的那一个需要优先考虑.找出正确的第一步至关重要.2.翻杯子问题中是否可翻取决于杯子数与翻动数的奇偶性，当杯子数为奇数而翻动数为偶数时不可翻；其他情况均可在有限次翻转后满足要求.2第7级下优秀A版教师版\n第12讲3.称重问题中当砝码只能放在一边时，意味着数据只能相加.使用1、2、4、…、2n1这n个砝码就可称出1到2n1中所有整数克的物体.n14.当砝码可以放在两边时，意味着数据可以相加或相减.使用1、3、9、…、3这n个砝码就可n称出1到31中所有整数克的物体.5.有m枚金币外观完全相同，其中有m-1枚真币和1枚伪币，伪币比真币重/轻（真币重量一样m1重），要保证把伪币找出来，可以通过每次两边各放[]枚处理．3知识点回顾1.先用火柴棒摆出下面3个三角形，然后移动其中3根火柴棒，使它变成5个三角形.【分析】将底下的三角形平移到上面两个三角形的顶端得到下图2.如图，用16根火柴棒可以摆成4个大小一样的正方形，如果减少4根火柴后，还可以摆成4个大小一样的正方形，应该怎样摆？摆成5个正方形，应该怎样摆？【分析】可以摆成田字形这里面有四个大小一样的正方形和一个大的正方形，所以第一问和第二问的情况都能满足.3.下面火柴棒摆的等式都是错的，请在各式中去掉或添加1根火柴棒，使各式成立.（1）（2）【分析】（1）去掉一根可以变为或者第7级下优秀A版教师版3\n（2）添加一根将5变为9等式成立4.请移动一根火柴棍，使下列等式成立：（1）（2）【分析】（1）；（2）.5.卖酒老板要招聘聪明的卖酒伙计.他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求伙计能量出一升酒.你知道伙计是怎么做到的吗？【分析】用3升的酒杯量2次倒入5升酒杯中，即可量出1升酒．例题思路模块一：过河过桥问题（例1）模块二：翻杯子问题（例2）模块三：称量问题（例3~例5）例1一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？（学案对应：学案1）【分析】次数此岸过河彼岸1狼，白菜农民，羊〉2狼，白菜〈农民羊3狼农民，白菜〉羊4狼〈农民，羊白菜5羊农民，狼〉白菜6羊〈农民狼，白菜7农民，羊〉狼，白菜农民，羊，狼，白菜4第7级下优秀A版教师版\n第12讲例2(1)桌子上有6个开口向上的杯子，规定每次必须同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口向下？【分析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．(2)桌子上有7个开口向上的杯子，规定每次必须同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得7个杯子的开口全都向下？【分析】杯子要翻过来得翻奇数次，7个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把7个杯子的开口全都向下．【想想练练】桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，怎样才能使向上的一面都是“国徽”？【分析】+++++++九连环九连环是一种流传于民间的智力玩具，用九个圆环相连成串，以解开为胜．传说九连环发明于战国时代；又说发明于三国时期，是诸葛亮因经常在外带兵打仗，不能与家人团聚，为排遣妻子寂寞才发明了这种玩具．但能得到实际确认的记载就要延迟到明代杨慎（1488-1559，号升庵）的《丹铅总录》（见《升庵集》卷六十八），并不早于欧洲．这种游戏于明朝普及，明代中期时，流传更是极广．到清代时上至士大夫，下至贩夫走卒，个个爱玩“九连环”．《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的细节描写．在现代，九连环游戏仍不失魅力：2003年3月8日，中国甘肃省嘉峪关市的王仲斌以3分57秒成功解出九连环，进入吉尼斯世界纪录大全．2012年10月25日CCTV新闻频道报道，江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解九连环的记录，时间为161秒．例3有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1-15克的所有整数克，砝码只能放一边，那么最少需要哪几个重量的砝码？【分析】至少有1克、2克、4克、8克砝码.要想称出1克的，必须要有1克的砝码；要想称出2克的，可以用1+1，也可以只用2，但增加2克的同时也可以称出1+2=3克的.2克的最优；之后同样的分析，下一个有4克最优，可称出1到7克的物体；第7级下优秀A版教师版5\n之后有8克最优，可以称出1到31克的物体.可以让学生自己去思考.然后逐个排除，找最优的那几个砝码.n1n注：有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1到m(2m2)克的所有整数克的物体，砝码只能放在一边，那么最少需要几个不同重量砝码？砝码只能放在一边，转化为数学语言，其实是数据只能相加.要想称出1克的，必须要有1克的砝码；要想称出2克的，可以用1+1，也可以只用2，但增加2克的同时也可以称出1+2=3克的.2克的最优；之后同样的分析，下一个砝码为4克最优，n1n可称出1到7克的物体；之后用8，16，…，2克的砝码，这样只用n个砝码就可称出1到21中所有整数克的物体.n下面证明n个砝码最多能构成21种数据.证明：n个不同的砝码，每个砝码均可选择用，也可选择不用，即每个砝码只有2种选择．根n据乘法原理，可以知道最多(当结果各不相同时)有2种不同的数据，但去掉全都不选(即为0)n的情况，最多只有21种可能.因此此题结论为n个.【想想练练】现在有一架奇怪的天平，它的砝码只有1克，2克，4克，8克，16克，而且砝码只能放在一边，那么它能称出多少种不同整数克重量的物体？【分析】1~31共31种例4有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1-13克的所有整数克，砝码可以两边放，那么最少需要哪几个不同重量的砝码？【分析】要想称出1克的，1克的砝码最优；之后增加3克的砝码最优，就可以称出23-1，3，41+3克的物体；下一次增加9克的砝码，就可以称出9减去1～4克及9加1～4克(1到4为前两个砝码构成的情况)的所有物体.这样可以称出1-13克的所有整数重量.所以需要1克、3克、9克三个砝码.n1n3131注：有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1到m(m)克的22所有整数克，砝码可以两边放，那么最少需要几个不同重量砝码？砝码可以两边放，转化为数学语言，其实是数据可以相减．要想称出1克的，1克的砝码最优；之后增加3克的砝码，就可以称出2(3-1)，3，4(1+3)克的物体；下一次增加9克的砝码，就可以称出9减去1～4克及9加1～4克(1到4为前两个砝码n1构成的情况)的所有物体；类似的，之后可增加27，81，…，3．这样的话，n个砝码就可以n31n1称出1，2，3，…，(列式为：1+3+9+…+3).2n31下面说明n个砝码可称的数量不会超过.2n证明：n个数，每个数前可以添“+”，“-”，或不选，共有3种选择，根据乘法原理．共有3种算式．其中如果都不选的结果为0，而结果大于0的情况与小于0的情况一一对应(有a-b，必n31有b-a)，因此大于0的情况最多(无重复情况)有种．26第7级下优秀A版教师版\n第12讲例5（1）有4枚金币外观完全相同，其中3枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）.现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？（学案对应：学案3，学案4）【分析】将金币编号1、2、3、4，第一次将（1,2）和（3,4）进行比较，不平衡，重的那组两个硬币再称一次即可找出伪币.（2）有9枚金币外观完全相同，其中8枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）.现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将金币编号1-9，平分成三组（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）.第一次将（1,2,3）和（4,5,6）进行比较.情况一：平衡，伪币在7,8,9.再称一次7和8平衡，9是伪币，不平衡哪边重得出伪币.情况二：不平衡，例如1,2,3重，伪币在这三个中，将1和2再比较，平衡3是伪币.不平衡找出伪币.n1n注：有m(3m3,n为整数)枚金币外观完全相同，其中m-1枚真币和1枚伪币，伪币比真币重/轻（真币重量一样重）.现有一架托盘天平,你能保证把那个伪币找出来吗，至少称几次？n(1)当m(m3,n为整数)枚中有1枚较重/轻伪币，我们可以每次三等分．这样一次就可以确定n1n2出3枚中有问题，再用同样的步骤，第二次就可以确定出3枚中有问题，…以此类推，可知道第n次就可以确定出那枚伪币．如：27枚中有1枚较重．第一次两边各放9个：平的话，伪币就是未称的9枚之一；不平的话，就取重/轻的9个再处理．不管怎么样就只剩下9个，以下类同；第二次两边各放3个，第三次两边各放1个．n1nm1(2)当m(3m3,n为整数)枚中有1枚较重/轻伪币，每次可以在天平两边各放[]枚，3m1这样不管怎么样，都能确定出伪币在不超过[]枚金币中．之后类似的方法，最多第n3次时就可以确定出那枚伪币．23181如：23枚中有1枚较重伪币．第一次，两边各放[]8枚；第二次两边各放[]3枚：33平的话，就是不称的2枚有问题，不平的话，取重/轻的3个再处理；第三次不管怎么样都能确定出重/轻的那枚伪币.m1又注：其实两种情况都可以用每次两边各放[]枚处理．3【想想练练】有3枚金币外观完全相同，其中2枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）.现有一架托盘天平，你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将金币编号1、2、3，称一次1和2，平衡3是伪币；不平衡伪币是重的那边.所以一次即可.第7级下优秀A版教师版7\n数字黑洞“黑洞”是一个天文学名词，但是数学中也存在着具有“吸收一切”特性的数字黑洞．比如选择一个三个数字互不相同的三位数，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数，两者相减得到一个新数，再按照上述方式重新排列这个新数，再相减……最后总会得到同一个数，请同学们动手试试看是哪个数．又如写出一个任意数字，数出这个数中的偶数字个数，奇数字个数及这个数的总位数，将答案按“偶-奇-总”的位序，排出得到新数；不断重复以上操作，最后也会得到同一个数，请同学们动手试试看这又是哪个数．【答案】495；123杯赛提高小华有糖300克，还有一架天平和重量分别为30克和5克的两个砝码.问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克?【分析】2次.第一次用30克和5克的两个砝码可以称出35克糖；第二次用30克的砝码和35克糖可称出65克糖，相加即得100克.知识点总结1.过河过桥问题中，受限制最多的那一个需要优先考虑.2.翻杯子问题中是否可翻取决于杯子数与翻动数的奇偶性，仅当杯子数为奇数而翻动数为偶数时不可翻.3.砝码只能放在一边，其实是数据只能相加.这样只用n个砝码就可称出1到2n1中所有整数克的物体.n4.砝码可以放在两边，其实是数据可以相加或相减.这样只用n个砝码就可称出1到31中所有整数克的物体.5.有m枚金币外观完全相同，其中m-1枚真币和1枚伪币，无论是否知晓伪币比真币重/轻（真m1币重量一样重），保证把伪币找出来，都可以通过每次两边各放[]枚处理．38第7级下优秀A版教师版\n第12讲家庭作业1.一天，蛇、老鼠和猫在穿越森林时来到了一道又深又宽的峡谷前，而峡谷的底部是一条汹涌的河流.这时，一只老鹰飞到它们的头顶，它愿意每次带它们中的一个穿过峡谷.由于不能单独把蛇和老鼠留在一起或者把猫和老鼠留在一起，那么老鹰如何用最少的次数将蛇、老鼠和猫都安全地带到峡谷的对面去呢?【分析】首先带老鼠过河，鹰返回；再带蛇过河，带着老鼠返回；带猫过河，鹰返回，最后带老鼠过河.2.桌子上有6个开口向上的杯子，每次翻动5个，问能否经过若干次翻动，使得6个杯子的开口全都向下.如果能请给出一种翻动的方法，如果不能，请说明理由.【分析】能，将6个杯子编上编号1、2、3、4、5、6，每次翻动5个，第一次不翻1、第二次不翻2、第三次不翻3、第四次不翻4、第五次不翻5、第六次不翻6.3.一架天平有1克、2克、3克、4克、5克这五个不同重量的砝码，那么能称出哪几种不同的整数重量？【分析】除了1、2、3、4、5克以外，例如：615，12345等可以相加，所以最多五个砝码加起来15克，所以能称出1-15克.4.有一架奇怪的托盘天平，它的砝码只有三个，分别是1克、3克、9克，砝码可以两边放，现在用这三个砝码能称出哪些不同的整数重量？【分析】首先1克的砝码，砝码可以放两边，所以2克就可以一边放3克，另一边放1克和物品平衡2克称出来.有3克的砝码就可以得到2克、3克、4克，.同理，一个9克的砝码可以称出5-13克，例如一边放9克另一边放1克、3克和物品平衡即可称出5克.这样可以称出1-13克的所有整数重量.5.有5枚金币外观完全相同，其中4枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）．现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将金币编号1、2、3、4、5，第一次将（1,2）和（3,4）进行比较，平衡伪币是5；不平衡重的那组两个比较一次即可找出伪币，即至少称2次可保证找出伪币.6.有6枚外表完全一样的硬币，其中5枚真币和1枚伪币，伪币比真币的重量重（真币的重量一样重），现有一架托盘天平,你能称两次就找出伪币吗？你是怎么做到的.【分析】将6枚硬币平均分成3组，其中两组分别放在天平两边称重，情况一：两边不平衡，伪币一定在重的那组，再称一次，轻的就是伪币.情况二：两边平衡，那伪币在第三组，第三组两个比较，即找到伪币.A版学案第7级下优秀A版教师版9\n【A版学案1】赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式能使三个人全部过河用时最少？【分析】赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船划过来，用时2分钟，最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟．一共用时6分钟．【A版学案2】有5个字母ABCDE排成一行，每连续4个字母可以颠倒顺序，如A，B，C，D变为D，C，B，A.问：怎样颠倒可以使ABCDE变为EABCD.【分析】ABCDEAEDCBCDEABCBAEDEABCD【A版学案3】有8枚金币外观完全相同，其中7枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）.现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】在知伪币轻重前提，引导学生知道分三组比分两组称一次将伪币所在的范围缩的更小.分两组情况：3次，将金币编号1-8，第一次将（1,2,3,4）放左边和（5,6,7,8）放右边进行比较，例如左边重，那么伪币一定在1,2,3,4中，再将（1,2）和（3,4）称一次，例如1,2这边重，再称一次1和2即可找出伪币.分三组情况：2次，将金币编号1-8，第一次将（1，2，3）和（4，5，6）进行比较.情况一：平衡伪币在7，8中，再称一次7和8，重的是伪币.情况二：不平衡，比如重的那组是（1，2，3）再称一次1和2或2和3，即可找出伪币.【A版学案4】有3枚金币外观完全相同，其中2枚真币和1枚伪币，但不知道伪币比真币轻还是重（真币重量一样重）.现有一架无砝码的天平，你能至少称几次保证找出伪币？【分析】2次，将3枚硬币编号1，2，3，第一次称1，2会有两种情况：情况一：1和2一样重，3是伪币；情况二：1比2重，此时再称1和3，如果1和3一样重，则2是伪币；如果1更重则1是伪币.10第7级下优秀A版教师版