第5讲第五讲环形跑道知识站牌四年级春季四年级秋季相遇与追及综合火车过桥四年级秋季环形跑道四年级暑假四年级暑假追及问题相遇问题简单的环形跑道中的相遇与追及漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入同学们都跑过步对吧？那你们也知道，现在的跑道大多都是圆形的，但是你们知道最早的田径跑道是什么形状吗？最早的田径跑道是长方形的直跑道，一圈一两百米.终点线会有一根绳子，抓住绳子就算到达终点.之后又慢慢演变成了马蹄型的运动场，这样的场地一直沿用到了早期的奥运会上.二十世纪初，又演变成半圆式场地，这种场地一直沿用到现在.在这期间还出现过篮曲式和三圆心式场地.目前世界各国都采用半圆式田径场地.你们知道吗?一开始半圆式田径场地的周长不统一，给场地的测量带来了很大的麻烦.以洛杉矶奥运会为例，在洛杉矶奥运会的200米比赛中，由于测量问题，所有运动员都多跑了2米.直到第七届现代奥运会才确定为400米，两个半圆的半径r有36米的，有37.898米的，目前国际田联建议标准田径场地两个半圆的半径最好修建成36.50米.然而内圈是400米的跑道，外圈究竟差了多少呢？一条跑道宽1.25米.八条跑道就差了10米长，一圈下来可就差了接近62.8米.今天就让我们一起来研究环形跑道问题.教学目标1、进一步学习行程问题，强化学生的行程概念.2、掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次.（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.3、熟练运用线段图解决行程问题.经典精讲环形跑道问题的本质就是相遇与追及.当两人同向运动时就是追及问题，追及距离就是环形跑道周长的倍数与二人初始距离之和；初次追及的追及距离就是二人初始距离.一旦追上之后，二人相当于从同时同地同向而行，再往后每一次追及的时间都是一样的，追及距离都是跑道周长.当二人反向运动时就是相遇问题，相遇距离也是环形道路周长的倍数与二人初始距离之和；初次相遇的相遇距离就是二人初始距离.一旦相遇之后，二人相当于从同时同地反向而行，再往后每一次相遇的时间都是一样的，相遇距离都是跑道周长.对于环形跑道上的多人问题，要学会寻找不同的人之间的相遇追及关系，建立一系列等量关系求解；对于环形跑道上的多次相遇或追及问题，要善于用路程和去分析，进一步巩固路程、速度、时间三者之间的关系.环形跑道问题还是一类周期问题，许多问题需要借用周期问题的方法解决.2第7级下超常体系教师版\n第5讲知识点回顾1、甲乙两人在相距300米的A、B两地相向而行，甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，两人多久之后第一次相遇？【分析】300÷（60+40）=3分2、甲乙两人同时从A点出发沿相反方向在一条笔直的公路上行走，已知甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，10分钟后两人相距多远？【分析】（60+40）×10=1000米3、甲乙两人在一条笔直的公路上比赛跑步，两人同时从A点出发，同向而行.甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，问10分钟后两人相距多远？【分析】（60-40）×10=200米4、小红从家去学校，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈发现小红忘了带课本，立即骑车去追她，妈妈每分钟走100米，问妈妈追上小红需要几分钟？【分析】60×10÷（100-60）=15分例题思路模块一：环形跑道中的相遇问题(例1，例2)模块二：环形跑道中的追及问题（例3，例4）模块三：综合运用（例5~例8）例1王林、胡胡两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米，王林骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时他骑了1440米，请问：（1）王林的速度是多少米/分？（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？（3）胡胡骑一圈需要多少分钟？（4）再过多久他们第二次相遇？【学案对应：超常1、123班1】【分析】（1）王林的速度为240010240（米/分）．（2）由第一次相遇时王林骑了1440米，求得相遇时间为14402406（分）．（3）王林和胡胡的速度和为24006400（米/分），胡胡的速度是400240160（米/分），所以胡胡骑一圈需要240016015分．（4）在第一次相遇后再过6分钟他们第二次相遇.第7级下超常体系教师版3\n注意：只要二人是同时同地出发，相邻两次相遇之间的时间间隔是一样的.例2一个圆形跑道的周长是900米，两个学生同时从相距450米的A、B两地出发，背向而行，已知甲的速度是55米/分，乙的速度是35米/分，（1）经过多久两人第一次相遇？（2）又经过多久两人第二次相遇？（3）又经过多久两人第三次相遇？（4）到第10次相遇两人一共用了多少分钟？（5）200分钟内两人相遇几次？【学案对应：超常2、123班2】【分析】（1）450÷（55+35）=5分（2）900÷（55+35）=10分（3）900÷（55+35）=10分（4）5+9×10=95分（5）（200-5）÷10=19次……5分，即共相遇20次.例3幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问：冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？冬冬第二次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【分析】这是一道封闭路线上的追及问题.冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程．①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200（64）100(秒)②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6100600(米)③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4100400(米)④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（6002）2006(圈)⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（4002）2004(圈)例4如图1，有一条长方形跑道，甲从A点、乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑6米，乙每秒跑5米.(1)当甲第一次追上乙时，甲跑了圈.(2)当甲第二次追上乙时，一共花了多长时间？第三次呢？(3)300秒内甲追上乙几次？4第7级下超常体系教师版\n第5讲【分析】（1）10665=16秒，甲跑了16632=3圈（2）第二次16+（10+6）×2÷（6-5）=48秒，第三次48+32=80秒.（3）（300-16）÷32=8.875次，所以8+1=9次莫比乌斯环数学史上流传着这样一个故事：有人曾经提问，用一张白色长纸条首尾相粘做成一个纸圈，然后给纸圈涂上颜色，要求用同种颜色涂同一个面，不同的颜色涂不同的面，最后能否把整个纸圈涂成一种颜色，不留下一点空白？对于这样一个看似简单的问题，几百年间，曾有许多科学家进行了研究，结果都没有成功.后来，德国数学家莫比乌斯对此发生了浓厚的兴趣，然而长时间的研究试验也没有得到什么结果.有一天，他去野外散步，头脑中仍然在思考着那个神奇的圆环.在他眼中，看到田野里一片片肥大的玉米叶子就好像绿色的纸条一样.他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着.玉米叶子弯曲着耷拉下来，有许多是拧成一个圈的，呈半圆形.他摘下一片，顺着叶子的方向自然地对成一个圈，他发现这正是他想要的.他立刻赶回了办公室，将裁好的纸条一端扭转了180度后环成一个圈儿，再粘在一起，神奇地形成了他想要的圆环.他将一只小甲虫放在上面爬，小虫爬遍了整个圆圈.他不禁惊喜地说：“公证的小甲虫，你证明了这个圈只有一个面.”这个简单而又奇妙的纸圈，竟然震动了整个科学界，人们叫它莫比乌斯环.例5在环形跑道上，甲、乙两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人同时从同处同向跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，甲的速度比乙快.（1）甲乙两人的速度分别是多少？（2）现在两个人站在跑道上相距400米的地方同向出发，甲需要多久才能第一次追上乙？【分析】（1）两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟．两人速度和为：16004400(米/分)，两人速度差为：16002080(米/分)，所以甲乙两人速度分别为：（40080）2240(米/分)，400240160(米/分).（2）情况1：400(240160)5（分）第7级下超常体系教师版5\n情况2：(1600400)(240160)15（分）例6有甲、乙、丙3人,甲每分钟走150米,乙每分钟走100米,丙每分钟走60米.如果3个人同时同向同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?【学案对应：超常3、123班3】【分析】由题意知道：甲走完一周需要时间为300150=2（分）；乙走完一周需要时间为300100=3（分）丙走完一周需要时间为30060=5（分），那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要的时间为2、3、5的最小公倍数30分钟.例7两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上行驶，甲车每分钟行驶20米．甲、乙两车分别从相距90米的A，B两点同时相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？【学案对应：超常4、123班4】【分析】右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90（米）．甲从A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．例8如图,学校操场的400米大跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?6第7级下超常体系教师版\n第5讲甲乙A乙B甲【分析】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的一半跑道上相遇．易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚：当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．而当乙第一次到达B点时，所需时间为200450秒,此时甲跑了650300米,在离B点300200100米处．乙跑出小跑道到达A点需要100425秒,则甲又跑了625150米,在A点左边(100150)20050米处．所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达A处开始计算,还需(40050)(64)35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了502535110秒．所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6110660米．史密斯先生计划驾驶汽车从芝加哥去底特律，然后返回.他希望整个往返旅行的平均速度为每小时60英里，然而在抵达底特律的时候，他发现他的平均速度只达到每小时30英里.为了把往返旅行的平均速度提高到每小时60英里，史密斯先生在返回时的平均速度必须是每小时多少英里呢？【答案】史密斯先生根本没有办法把他的平均速度提高到每小时60英里.因为在抵达底特律的时候，史密斯先生已经走过了一定的距离，这花去了他一定的时间.如果他要把他的平均速度翻一番，他应该在同样的时间中走过上述距离的两倍.很明显，要做到这一点，他必须不花任何时间便回到芝加哥，显然这是不可能的.知识点总结1.环形跑道中的相遇问题如果同地出发，则每相遇一次合走一圈.如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地相遇的问题.2.环形跑道中的追及问题如果同地出发，则每追上一次就多跑一圈.如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同第7级下超常体系教师版7\n地追及问题了.家庭作业1.黑白两只小猫在周长为400米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒9米，白猫的速度为每秒11米．若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．(1)多少秒后两只小猫第一次相遇？(2)如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？【分析】每一次相遇所需时间400(911)20秒，而260206，所以2分钟内共相遇6次．2.甲乙两人在周长为220米的环形跑道上背向而行练习跑步，甲乙相距110米，已知甲的速度是每秒行6米，乙的速度是每秒行4米，问甲乙第一次相遇用了多少秒？【分析】110÷（6+4）=11秒3.一条环形跑道长400米，涛涛骑自行车每分钟行450米，昊昊跑步每分钟行250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？【分析】400(450250)2(分钟)．4.在周长为200米的圆形跑道上，大齐和小王站在相距100米的两点，两人分别以6米/秒、5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道跑步．问：16分钟内，大齐追上小王多少次？【分析】大齐第一次追上小王用时：100(65)100秒；此后每一次追及，追及距离都是200米，每追上一次耗时：200(65)200秒．16分钟是1660960秒，(960100)2004……60，所以，16分钟内，大齐追上小王145次．5.小明、小兰两人在400米的环形跑道上跑步，小明以300米/分的速度从起点跑出，1分钟后，小兰从起点同向跑出．又过了5分钟，小明追上小兰．请问：小兰每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，小明需要再过多少分钟才能第二次追上小兰？【分析】小兰出发时，小明已经跑了300米，实际变成了小明追小兰，二者的路程差是400300100（米），因此小明与小兰的速度差是100520（米/分），求得小兰的速度是30020280（米/分），如果他们的速度不变，小明还需要400(300280)20（分钟）才能第二次追上小兰．6.甲乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙．假设两人速度保持不变，出发时，甲在乙后面多少米？【分析】甲第一次追上到第二次追上的时间：22616（分）；甲乙的速度差：4001625（米/分）；甲乙的路程差：625150（米）.7.在400米的环形跑道上，甲乙两人同时同地起跑，如果同向而行200秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【分析】甲乙的速度和为：4004010(米／秒)，甲乙的速度差为：4002002(米／秒)，甲的速度为：(102)26(米／秒)，乙的速度为：(102)24(米／秒)．8.甲乙二人在圆形街道上跑步，已知甲的速度比乙快，二人从同一地点同时出发，若同向跑，则8第7级下超常体系教师版\n第5讲12分钟后第一次相遇，若反向跑，则4分钟后第一次相遇.已知甲的跑步速度为250米/分，圆形街道一圈共多少米？【分析】250122504124125（米/分）12525041500（米）答：一圈共1500米.超常班学案【超常班学案1】甲乙两人同时从400米的环形跑道上一点A背向出发，10分钟后两人第五次相遇，已知每分钟甲比乙多走20米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【分析】400÷（10÷5）=200米，乙的速度=（200-20）÷2=90米/分，90×10÷400=2圈……100米，所以最短距离为100米.【超常班学案2】在周长为400米的椭圆跑道上，甲、乙两人分别骑自行车从相距300米的两点同时出发沿着跑道相向而行，相遇后两人各自继续前进.已知甲的骑车速度是4米/秒，乙的骑车速度是6米/秒.那么相遇6次时，两人至少骑了秒.【分析】因为是至少,所以第一次相遇用了10秒,以后每相遇一次,两人合起来走了一个周长,故一定是40秒;所以相遇6次至少骑了5×40+10=210秒.【超常班学案3】有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米.三船同时同地同方向出发，环绕周长12千米的海岛航行，多少小时后三船再次相会在一起？【分析】甲每追上乙一次需要12小时，乙追上丙需要6小时，所以每次追上时间一样，所以因此，12小时后三船再次相会在一起.【超常班学案4】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的AB、两点．涛涛、昊昊两人分别从AB、两点同时相背而跑，两人相遇后，昊昊即转身与涛涛同向而跑，当涛涛跑到A时，昊昊恰好跑到B．如果以后涛涛、昊昊的速度和方向都不变，那么涛涛追上昊昊时，涛涛一共跑了多少米？【分析】昊昊从B到相遇点再返回，路程相同，所以涛涛从A到相遇点、再从相遇点回到A的距离也相同，都是4002200（米），第一次相遇涛涛跑200米，昊昊跑100米．这时2人从相遇点开始同向跑，涛涛多跑一圈追上昊昊，所以涛涛一共跑了200200（400100）1000（米）．图如下：AB第7级下超常体系教师版9\n123班学案【123班学案1】甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道长多少米？【分析】到第二次相遇，甲一共跑了60×3=180米，即跑道长(180-80)×2=200米.【123班学案2】在400米的环形跑道上，A，B两地相距100米（A，B分别为左方和右方的点），涛涛、昊昊二人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑．涛涛每秒跑5米，昊昊每秒跑4米，每人每跑100米时都停留10秒，那么涛涛追上昊昊需要多少秒？【分析】涛涛100米要20秒，昊昊100米要25秒．当过了120秒时，涛涛跑了4个100米，昊昊跑了3个100还要多，所以涛涛还没追上昊昊，再过20秒后，涛涛刚跑了5个100米，而昊昊正好是4个100米．所以时间是140秒.【123班学案3】如下图，一个圆形跑道长900米，小王、小李和小赵三个人站在跑道上，并且他们三个人的位置把跑道三等分.他们同时出发，按顺时针方向沿着跑道步行，小王、小李和小赵的速度分别是100米/分、50米/分、30米/分，问这三个人出发后多少时间第一次到达同一位置？【分析】小王追上小李第一次300÷（100-50）=6分，之后每次都增加小王900÷（100-50）=18分，所以小王追上小李的时间分别是6,24,42,60,78…同理小李追上小赵的时间分别是15,60,105…，由此可知三小赵小李人出发后60分钟第一次到达同一位置.【123班学案4】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的AB、两点．涛涛、昊昊两人分别从AB、两点同时相背而跑，两人相遇后，昊昊即转身与涛涛同向而跑，当涛涛跑到A时，昊昊恰好跑到B．如果以后涛涛、昊昊的速度和方向都不变，那么涛涛追上昊昊时，涛涛一共跑了多少米？【分析】昊昊从B到相遇点再返回，路程相同，所以涛涛从A到相遇点、再从相遇点回到A的距离也相同，都是4002200（米），第一次相遇涛涛跑200米，昊昊跑100米．这时2人从相遇点开始同向跑，涛涛多跑一圈追上昊昊，所以涛涛一共跑了200200（400100）1000（米）．图如下：AB10第7级下超常体系教师版