第6讲第六讲最值问题初步知识站牌五年级暑假四年级春季分组与配对最值问题进阶四年级秋季最值问题初步四年级暑假三年级寒假逻辑推理进阶倒推与图示极端分析法、局部调整法和最值原理漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入同学们帮家长买过东西吗？如果有两个售价相同的蛋糕，一个是50cm×50cm，另一个是60cm×40cm，你会买哪一个呢？学完了这一讲，你就知道买哪一个蛋糕更合适了.教学目标1.了解并掌握极端分析法2.会使用局部调整法3.熟练运用最值原理经典精讲许多题目中涉及的变量在一定范围内可大可小，但题目要求我们求出最大值或最小值.遇到这类问题，我们可以采取下列策略：（1）极端性思想思考问题；（2）利用不等式估值；（3）局部调整思想；（4）利用抽屉原理和容斥原理；（5）枚举比较等，往往还会使用到构造与论证.上述提到的这些是整个离散最值问题的通用思想，在本讲中并没有全部涉及.1.极端分析法：从最不利的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小知识点回顾1.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位数是_______，最小三位数是_________.【分析】最大三位数是543，最小三位数是102.2.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位偶数是______，最小三位偶数是_________.【分析】最大三位偶数是542，最小三位偶数是102.2第7级下超常体系教师版\n第6讲3.如果□÷8=5……△，那么当△最大时，□里的数是_______.【分析】△最大是7，此时□中的数是58747.4.数字0、1、2、3、4、5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是_________.【分析】最大是8.5.自然数40、51、62、73、84、95，任意两个自然数相乘，乘积个位的最大值是________.【分析】乘积的个位只与乘数的个位有关，最大还是8.例题思路模块一：直接求最值（例1，例2）模块二：最值原理与拆数问题（例3~例5）模块三：综合应用（例6~例8）例1有六块岩石标本，它们的重量分别是8.5千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克.要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些.请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?（学案对应：超常1，带号1）【分析】三个背包分别装8.5千克；6千克与4千克；4千克、3千克与2千克，这时最重的背包装了10千克.另一方面最重的包所放重量不少于10千克：8.5千克必须单放(否则这一包的重量超过10)6千克如果与2千克放在一起，剩下的重量超过10，如果与3千克放在一起，剩下的重量等于10千克.所以最重的背包装10千克.例2一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？（学案对应：超常2）【分析】要让这个多位数尽量小，那么首先位数必须少．易知最小是三位数，先让其中两个数最大，那么剩下一个数必然最小．23986，这个数是689．要让这个多位数尽量大，那么位数必须尽量多．12345621，那么最多可以是7位数（加上0）．先让其中6位最小，那么剩下一位最大．230123458，这个数是8543210例3（1）有一根100米长的绳子，用它能围成的长方形中面积最大的是平方米.第7级下超常体系教师版3\n（学案对应：超常3，带号2）【分析】周长为定值，则长与宽的和为定值，为100250.所以当该长方形为正方形时面积最大.最大的面积是625平方米．（2）面积为100平方米的长方形中，周长最小是米.【分析】长宽乘积为定值，当长宽相等时长宽的和最小.所以最小周长是10440米.（3）某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？ABDC【分析】将长方形ABCD沿DC边翻转得到长方形ABCD11，那么长方形ABBA11的周长是36272米，是一个定值，从而当长方形ABBA的每条边都等于72418米时，面积最大.此时的11面积为18182162平方米．ABDCA1B1例4用1,2,3,4,5,6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求(1)和最大是多少？最小是多少？(2)差最大是多少？最小是多少？(3)积最大是多少？最小是多少？（学案对应：超常4，带号3）【分析】（1）和最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，有642+531=1173和最小则相反，有135+246=381（具体算式不唯一）（2）被减数越大，减数越小，差越大，那么最大值为：654123531；被减数与减数越接近，差越小．那么要让两数的百位只差1，被减数的末两位尽量小，减数的末两位尽量大，最小值为41236547．（3）积最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，此时，由“和一定，差小积大“可知应为631×542=342002积最小则相反，有135×246=332104第7级下超常体系教师版\n第6讲999的故事谷超豪是我国著名的数学家.他小时候并不聪明，可他很喜欢看书.在他读中学的时候，老师讲过乘方的知识后对同学们说：“不准用任何运算符号，用四个1组成一个最小的数，再用三个9组成一个最大的数.”同学们的兴趣一下子被集中到了认真的思考和计算上.“报告老师，最小的数是1111.”1有同学抢先回答，老师并没有表态.“最小的数是111.”老师摇摇头.有的同学在草稿纸上列11出了11式子进行计算，很快发现，这个数要比1111大很多.这时谷超豪举手做出了明确的回答，老师依照他的回答在黑板上写下了结果.1111111<111<1111<1199聪明的同学很快就回答说：“最大的数是9.”老师微笑着看着大家，期待着其他同学的答案.99谷超豪举手回答说：“9最大.”同学们你们可以想一想这个数究竟有多大.例5(1)把17拆成若干个自然数（可重复）的和，使这些自然数的乘积最大，最大乘积是多少？（学案对应：带号4）【分析】拆成的数a如比3大，则可以拆成2与a2，2（a2）≥a（仅在a=4时两边相等）；例如5可以再拆成2与3，23＞5，所以拆成的数中没有比3大的．即可认为拆成的数都不比3大．如果拆成的数有1，那么将1加到其它任一个拆成的数上，乘积增加，所以拆成的数没有1．因此，拆成的数只有2与3（2个2时也可合并为4），如果2的个数≥3，那么22233，而222＜33，所以应将3个2改成2个3，于是2的个数只能是0，1，2个，而172+35，5故乘积23=486为最大．小结：上面的解法具有一般性，把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应拆成2与3的和，而且2的个数不超过2个．即“多3少2不拆1”.(2)3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】把17分成3个不同的、尽量接近的数，那么可以分成17467，467168.(3)若干个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】2+3+4+5+6=20>17，则17=2+4+5+6，乘积2×4×5×6=240第7级下超常体系教师版5\n例6如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？aeibdfhcg【分析】计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是123456789bdfh，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于156978，所以满足条件的所有数无法配成15.当和为14时a…i依次为8,6,1,7,4,3,2,9,5时满足条件，所以和最大为14.当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11，如a…i依次为8,3,7,1,6,4,5,2,9．例7一次数学考试满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分？【分析】要使第三名的同学得分最低，就要让其他同学的得分尽可能高．这6位同学的总分为916546分，有一位同学得了65分，而第一名和第二名得分不能超过100分和99分，所以剩下的三位同学的得分之和不低于5466510099282分．至此，问题转化为：三人的总分是282分，其中的第一名最低得多少分？由于282是3的倍数，所以这3人的平均分为94分，那么其中得分最高的至少得95分，当三人得分分别为95分、94分、93分时最高分恰为95分．也就是说原来6位同学中得分排在第三名的同学至少得95分．例8某篮球运动员参加了10场比赛，他在第6、7、8、9场比赛中分别得到了23、14、11和20分，他在前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他10场比赛的平均分超过18分，那么他在第10场比赛至少得分．【分析】因为前九场比赛的平均分比前五场比赛的平均分要高，设前五场比赛的平均分是x．所以有(5x23141120)9＞x．解得x17，所以5x85因为10场比赛的平均分超过18分，所以10场的总分至少18101181(分)，要使第十场比赛的得分最少，应使十场比赛的总得分尽量少，使前5场比赛的得分尽量多，故当十6第7级下超常体系教师版\n第6讲场的得分为181分．前5场比赛的得分为84分时，第十场比赛的得分最少，为181842314112029(分)．一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一，你乘坐电梯从一楼向上走，每层楼电梯门都会打开一次，拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答案：先拿着第一楼的钻石，然后在每一楼把手中的钻石与那楼的钻石比较，如果那一楼的比手上的钻石大，就换.知识点总结1.极端分析法：从最极端的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小家庭作业1.电视台要播放一部30集电视连续剧.如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？【分析】如果播8天以上，那么由于每天播出的集数互不相等，至少需要有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36集，所以30集连续剧不可能按照要求播8天以上，另一方面1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30，所以最多可以播7天，各天播出的集数分别为12,3,4,5,6,9，或12,3,4,5,7,8，2.一个自然数，各个数位上的数字之和是2013，这个自然数最小是.【分析】首先要使其位数最少.201392236，所以这个自然数最小值是6999223第7级下超常体系教师版7\n3.牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则羊圈的最大面积是多少平方米【分析】从最值考虑，设长方形长为a，宽为b，则a2b30，2ab的最大值等于1515，但ab、均为偶数，考虑次大的2ab14162148，因此边长分别为14和8，面积最大为112平方米.4.用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使这2个数的差最小（大减小），这个最小的差是多少？【分析】差最小，那么首位差1，大数末三位尽量小，小数末三位尽量大.在保证首位可选的情况下有，最大值987，那么最小值126；或者最小值123，那么最大值984.7123698413941263987139；.最小值为139.5.四个非零自然数的和为38,这四个自然数的乘积的最小值是多少？最大值是多少?【分析】和一定差大积小：1+1+1+3538;乘积最小为：1×1×1×35=35;和一定差小积大，384=92,乘积最大值991010=81006.22名乒乓球运动员分成三队，每队若干队员，进行单打比赛，规定同队的运动员彼此之间不比赛，不同队的运动员两两比赛一场．那么比赛的总场数最多是多少场？【分析】采用“局部调整法”.设三队人数分别为abc,,，则题目转化为：已知abc22，求abacbc的最大值．根据“差小积大”的原则，如果有两个队的人数相差2以上，比如说ab2，那么从a队中匀到b队一人，则三队人数变为a1、b1和c，由于(a1)(b1)ab，而，这样比赛总场数就会增加，所以要使比赛的总场数最大，则各个队之间的人数差不能超过1，所以这三个队的人数分别为7人、7人、8人，比赛总场数为：7×7+7×8+7×8=161(场)．7.有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7，每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个，其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等，请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？【分析】如图：1234567181818则知②＋③的和与⑤＋⑥的和相等，是8018326，26213，则第5个盘子中最少时第6个盘子中最多,是12个.8.7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同.其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队至少种了多少棵？．．【分析】若要使种树最少的小队种树尽量少，则就得使其余小队种树尽量多.一个极端情况就是18171615141393，所以种树最少的小队至少种100937棵．8第7级下超常体系教师版\n第6讲超常班学案【超常班学案1】如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？【分析】要让最小的数最大，最大的数最小，我们要让这7个互不相同的自然数尽量接近.那么首先考虑连续自然数.98714，我们能找到一组和最接近100的连续自然数11,12,13,14,15,16,17.那么现在距离100还差2，我们给最后两个数各加1，得到：11,12,13,14,15,17,18.那么最小的数最大为11，最大的数最小为18.【超常班学案2】在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小可能是多少？【分析】插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最小则必是增加数字最小的这一个，即是98766789．【超常班学案3】如图，等腰直角三角形ABC中，CACB4厘米．在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？【分析】矩形CDEF的长和宽之和是一固定值：4厘米．那么长和宽相差越小，面积越大．因此矩形面积最大为224平方厘米．【超常班学案4】用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．【分析】要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大．123…94591818要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621．剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和954．这个算式是：621873954．123班学案【123班学案1】阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？【分析】如果10排人数各不相同，那么最多坐：16151487115人；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(1615141312)2140人；第7级下超常体系教师版9\n如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(161514)313148人；如果最多有4排人数一样，那么最多坐：(1615)4142152人.由于148150，152150，所以，只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，所以至少有4排.【123班学案2】如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A、B、C、D、E的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是平方厘米．ABECD【分析】设B的宽是a，则AC、、D的宽分别为a1,a1,a2，B的长为282a14a，则E的长为14a317a,大长方形的面积为(a1aa1a2)(14a17a)(4a2)(312)a2(2a1)(312)a2a1和312a的和是32，两数和相同，两数越接近时，积越大2a1312a，4a30，a7.5总面积为21616512.【123班学案3】把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成两组，排成一个五位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，其中那个四位数是多少？【分析】这两个数的最高位数字应尽量大，所以一个为9，一个为8，然后再看这两个数的前两位．9687＞9786（因为96879786，而9687＜9786），964875＞965874，（因为964875965874，而964875＜965874）；96428753＞96438752（方法同上）；最后比较964287531与964218753，因为9642875319642875309642，9642187539642087538753，所以964287531更大．因此，这两个数分别是9642和87531.【123班学案4】把一个自然数N表示成几个非零自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大.问：应如何拆？请严格证明.【分析】本题等价为设Na1a2a3an（aaa1,2,3,,an都是非零自然数）求aaa123an的最大值.（1）若a1，不是最大.若a1，N1aaaaaa1123n23n调整使得N(1a2)a3an'(1aa2)3an'（2）若a4，不是最大.当a4时，一定存在aaa且a2,a211111121112则aaaaa(aa)aa(aa)11(a1)(a1)01112111121112111211121112所以，aaa，既'aaaaaaaaa11121111223n123n（3）若a1a2a32，不是最大.当a1a2a32时，8aa45an调整N33aaa'9aaa'45n45n［评注］本题是数学中非常核心的一种方法——局部调整法.许多老师喜欢把一些数学原理口诀化，10第7级下超常体系教师版\n第6讲把一些题型弄出一些“傻瓜”解法，这样表面上是帮助学生得分，实际上是害了孩子，扼杀孩子的思考力.数学学习应该以培养学生的逻辑分析能力为核心，在中年级阶段就应该开始培养学生的数学论证能力.第7级下超常体系教师版11