第13讲第十三讲整除特征进阶知识站牌四年级春季四年级寒假进位制初步质数与合数初步四年级秋季整除特征进阶四年级暑假三年级春季整除性质页码问题涉及数论中的整除特征，及整除特征的综合运用漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数.毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数.圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了.教学目标1.掌握常见数的整除特征；2.体会位值原理在整除中的运用；3.培养数感以及分析、综合、抽象、概括等思维能力经典精讲一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被2，5所整除的数的特征：看个位．如果一个数的个位数能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除．(2)能被4，25所整除的数的特征：看末两位．如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除．(3)能被8，125所整除的数的特征：看末三位．如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除.2.求和判断法:能被3和9整除的数．如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除．3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数就能被11整除，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13的倍数，则这个数能被7、11、13整除，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：2第7级下超常体系教师版\n第13讲(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除．(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除．(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除．(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个．(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除．三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.知识点回顾一、判断．(1)一个自然数不是奇数就是偶数．（）(2)能被2除尽的数都是偶数．（）(3)能同时被25、整除的数个位上的数字一定是0．（）(4)两个奇数的和一定能被2整除．()(5)奇数一定不能被2整除．()(6)个位上是13579、、、、的自然数，都是奇数．()(7)在相邻的两个自然数中，偶数一定比奇数小．()【分析】√、×、√、√、√、√、×二、下面6个自然数：152、660、414、4375、9064、24125．这些自然数中，(1)哪些能被2整除？哪些能被5整除？(2)哪些能被4整除？哪些能被25整除？(3)哪些能被8整除？哪些能被125整除？(4)哪些能被3整除？哪些能被9整除？【分析】（1）能被2整除的数有152，660，414，9064能被5整除的数有660，4375，24125（2）能被4整除的数有152，660，9064能被25整除的数有4375，24125（3）能被8整除的数有152，9064能被125整除的数有4375，24125（4）能被3整除的数有660,414能被9整除的数有414三、⑴28□，32□既能被2整除，又能被3整除．⑵□15，22□既能被3整除，又能被5整除．【分析】⑴这些数要能被2整除，则个位上可以填0、2、4、6、8，但是同时又要能被3整除，因此各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有282、288；312、342、372.⑵这些数要能被5整除，则个位上可以填0、5，但是同时又要能被3整除，因此各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有315、615、915；225．第7级下超常体系教师版3\n例题思路模块一：数的整除特征应用（例1、例2、例3）；模块二：试除法的运用（例4）；模块三：整除综合运用（例5、例6、例7、例8）；例1在方框中分别填上两个数字，可以相同也可以不同，使432□□是9的倍数.⑴请随便填出一种，并检查自己填得是否正确.⑵一共有多少种满足条件的填法？【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．例2下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678中，哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？【分析】能被7整除的数：128114、6139能被11整除的数：64152、491678能被13整除的数：941464第7级下超常体系教师版\n第13讲数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支.素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后.由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科.美国芝加哥大学著名数学家迪克森(L.E.Dickson)就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污.20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科.哈代本人则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”.当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实.事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用.例3(1)已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？(2)六位数20□□08能被99整除，□□是多少？(3)如果六位数2003能被99整除，它的最后两位数是多少？【分析】（1）设原数2007122ab，∵9|2007122abab4或者ab13，∵11|2007122ab20a22(071b)0或者(071b)(22a02)11ab2或者ba9根据两数和差同奇偶，得：ab4a3ab13a2或者不成立.所以，2007122ab200731212.ab2b1ba9b11（2）方法一：200008被99除商2020余28，所以0028能被99整除，商72时，99727128，末两位是28，所以为71；方法二：利用99的整除性，20+□□+08=99，□□=99-20-8=71.（3）方法一：试除法200399÷99=202423，所以最后两位是99-23=76.方法二：利用99的整除性，20+03+□□=99，□□=99-20-3=76.例4某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【分析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐.采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可.【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000试除，第7级下超常体系教师版5\n1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．例51、20092009能否被11整除？2、20092009200909能否被11整除？3个20093、20092009200909能被11整除，那么，n的最小值为多少？n个20094、200920092009736，能被11整除，n最小值为多少？n个2009（学案对应，超常班学案4，超常123班学案3）【分析】1、奇数位数字之和为9+9=9×2=18，偶数位数字之和为2+2=2×2=4，奇数位减偶数位的差为9×2-2×2=（9-2）×2=14，不是11的倍数，所以20092009不能被11整除.2、奇数位数字之和为9+9+9+9=9×4=36，偶数位数字之和为2+2+2=2×3=6，奇数位减偶数位的差为9×3-2×3+9=（9-2）×3+9=30，不是11的倍数，所以20092009200909不能被113个2009整除.3、20092009200909中奇位数减偶位数的差为(92)n97n9，当n5时，(7n9)n个2009是11的倍数，所以n的最小值是5.4、奇数位数字之和为672n，偶数位数字之和为39n，这个多位数整除11，即(39)(67n2)n7n10能整除11，n最小取3．动物医院里的狗医生和猫护士共重27千克．如果狗医生的重量是奇数，而且他的重量是她的2倍，那狗医生和猫护士各重多少千克？【答案】狗小姐重9千克；猫先生重18千克例6一个三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：5abab55ab.2009个5ab如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？【分析】因为91713，所以5abab55ab也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的特点是2009个5ab末三位和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知5abab55ab5ab5abab55ab000也是7和13的倍数，即5abab55ab也是72008个5ab2007个5ab2007个5ab和13的倍数，依次类推可知5abab55ab末三位和前面数字的差即为：2007个5ab6第7级下超常体系教师版\n第13讲5abab55ab5ab5abab55ab000也是7和13的倍数，即5abab55ab也是72006个5ab2005个5ab2005个5ab和13的倍数，由此可知5ab也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数字是：916546，所以ab46.例7将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？【分析】本题考察对数字667的特殊认识，即667×3=2001.本题要求用4，5，6，7，8，9组成一个667的倍数，其实发现4，5，6，7，8，9组合出的数一定是3的倍数，那么只要考虑组成一个2001的倍数即可，而2001的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是900多的数字，后三位是400多，很容易得到956478.那么956478÷667=1434.例8一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称它为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【分析】这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，86bd0(47ac2)bd1(ac)被11整除，可能是bd1ac11、bd1ac、bd111ac．由于a、b、c、d四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是bd1ac11，即bdac10．所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件．知识点总结一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被2，5所整除的数的特征：看个位．如果一个数的个位数能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除．(2)能被4，25所整除的数的特征：看末两位．如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除．(3)能被8，125所整除的数的特征：看末三位．如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除.2.求和判断法:能被3和9整除的数．如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除．3.数段差判断法：第7级下超常体系教师版7\n(1)11：如果一个数从右边开始数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除；如果算出的差不是11的倍数，那么这个差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13的倍数，则这个数能被7、11、13整除；如果算出的差不是7、11、13的倍数，那么这个差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除．(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除．(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除．(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个．(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除．三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.家庭作业1、修改四位数5679中的一个数字，使新的四位数能被8整除，求修改后的四位数是多少？【分析】关键看这个数的末三位，如果末三位能被8整除，则这个四位数就能被8整除，6798847，所以原数减去7就是一个满足条件的四位数，这个四位数是567975672．2、两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.【分析】考虑到7289，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B2；四位数2752各位数字之和为275216不是3的倍数也不是9的倍数，因此A275必须是9的倍数，其各位数字之和A275A14能被9整除，所以A4.3、从0357、、、四个数字中选三个组成一个三位数，使组成的数能同时被23、和5整除．这样的三位数有几个？【分析】根据能被235、、整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被235、、整除，这个三位数的个位数字必须是0．现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从753、、三个数字选取，且每位上的数字的和要能被3整除，一共有两个：570或750．4、在234后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被3、4、5整除，那么这样的六位数中最小的是哪个？【分析】要能被4、5整除，则这个数的末两位是00、20、40、60、80．为了使这个六位数尽可能小，我们从234000开始逐个检验能否也被3整除，则得到234000是所求的数．5、七位数36829AB是88的倍数，求A和B.【分析】88=11×8.个位只能为6,3+8+2+6=9+6+A=19,A=4.所以A=4，B=6.6、四位偶数64□□能被11整除，求出所有满足要求的四位数．【分析】令该数为64ab，根据题意，能被11整除的数应为从末位开始，奇数位数字之和与偶数位8第7级下超常体系教师版\n第13讲数字之和的差为11的倍数．所以ab10，并且b为偶数，则共有4个满足条件的四位数分别为：6248,6446,6644,6842．7、有四个非零自然数abcd,,,，其中cab，dbc.如果a能被2整除，b能被3整除，c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是.【分析】因为cab，dbc，可知da2b，因为a能被2整除，可知d一定能被14整除，题目要求最小，所以从14逐级往下试可知，当d是28时，c=25,b=3,a=22,正好满足题意，所以d最小是28．8、在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是.【分析】求最小值，先看A,最小偶数为2，然后AB被3整除，B最小为1，然后依次推出C0.D7,E6,F9.超常班学案【超常班学案1】试证明任意一个两位数均满足：将它的个位数字和十位数字对调后得到的新数与原数的差一定能被9整除.【分析】设原来的两位数为ab，则新的两位数为ba.ba－ab(10ba)(10ab)9(ba).因为9(ba)能被9整除，所以它们的差能被9整除.【超常班学案2】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数字，才能使得所得的整数666?555可被7整除？50个650个5【分析】由于1111111111001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“6655？”．从中减去63035，并除以100，即得“32？”可被7整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？处应填2或9.【超常班学案3】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小.【分析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和(865abc)是3的倍数；第二：末两位数字组成的两位数bc是4的倍数；第三：末位数字c是0或5.由以上条件，4|bc，且c只能取0或5，又能被4整除的数的个位数不可能是5，∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一.又3|865ab0，且（8+6+5）除以3余1，∴ab除以3余2.为满足题意“数值尽可能小”，只需取a0，b2.∴要求的六位数是865020.方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000进行试除分别被3、4、5整除，就是被60整除，865000601441640，所以86500020865020能被60整除.∴要求的六位数是865020.【超常班学案4】用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除.这个六位数是多少？【分析】因为168=8×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．第7级下超常体系教师版9\n能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由例8知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数．至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值.所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．123班学案【超常123班学案1】试证明任意一个5位数均满足：其原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差6395499646是99的倍数．【分析】设原序数为abcde，则反序数为edcba，则abcde－edcba(10000a1000b100c10de)(10000e1000d100c10ba)9999a990b990d9999e99101(a10b10d101e)因为等式的右边能被99整除，所以abcdeedcba能被99整除【超常123班学案2】301302303304305306307308309310能否被11整除？如果不能，那么余数是多少？【分析】共有10个数，从末位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差为：(302304306308310)(301303305307309)5，5÷11=0…5．所以不能，余数为5．【超常123班学案3】1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?179538462【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．而396994，所以我们只用考察它能否能被4整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，4)处、（8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为431924，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为62328．864244，582632，851768，915734，713932．所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，10第7级下超常体系教师版\n第13讲(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．【超常123班学案4】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数.要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是【分析】由前9位数能被10整除，可知第九位数字为0，前四位能被5整除，可知第四位数字为5，前8位数能被9整除，即前八位数字和为9的倍数，而所有数字本身就是9的倍数，所以第十位数字只能是9，前两位数能被3整除，故第二位数字只能是1、4或7，如果第二位数字是4，则找不到前三位数能被4整除，故第二位数字只能是1或7，则第三位数字只能是2或6，结合前五位能被6整除知只能是前五位87654或81654，前七位数字能被8整除，知第七位数字是2．由前6位数字能被7整除，经试验唯一可能是816543，故7必在第八位上，故这个数应为8165432709．第7级下超常体系教师版11