第1讲第一讲三角形初步知识站牌四年级春季四年级暑假等积变形三角形进阶四年级暑假三角形初步三年级春季平行四边形与梯形三年级秋季长方形与正方形三角形的定义、分类、边角关系及综合漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1.通过生活中的事物，认识三角形的各个组成部分、特征、并对三角形进行分类.2.通过分类，认识并会判断直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会它们之间的区别与联系，发展学生空间观念，提高观察力和动手操作能力.3.通过直观操作，探索发现三角形的内角和、三角形的三边关系，并熟练运用.让学生感受数学的转化思想，与生活联系，学会欣赏数学之美.经典精讲三角形的基本概念:三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做三角形.三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角.在同一个三角形内，大边对大角.注意:每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形按角分类：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个内角是直角的三角形；钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形．定理：三角形的三个内角和等于180°与三角形相关的线段：三角形的中线:在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.三角形按边分类：不等边三角形：三条边都不相等的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形．相等的两条边称为腰，第三条边称为底边，两腰的夹角称为顶角，底边上的两个角叫做底角．等腰三角形的两个底角相等．反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形．等边三角形：三条边都相等的三角形，又叫正三角形．等边三角形的三个内角都等于60°．三角形三条边的关系：三角形三边关系定理：三角形任何两边的和大于第三边.三角形三边关系定理的推论:三角形任何两边之差小于第三边.注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．三角形的周长：三边之和2第7级上超常体系教师版\n第1讲课堂引入同学们，今天老师给大家带来了一组图片，请你用数学的眼光来观察看看，你看到了什么？例题思路模块一：三角形的认识例1.:三角形的分类模块二：三边关系与内角和例2.:三角形的三边关系例3.:三角形内角和模块三：内角和运用及边角综合例4例5例6例7:内角和的运用例8:三角形边、角的综合运用第7级上超常体系教师版3\n例1找一找，填一填.(1)图形______________是锐角三角形.(2)图形______________是直角三角形.(3)图形______________是钝角三角形.(4)图形______________是等腰三角形.(5)图形______________是等边三角形.(6)图形___________是等腰直角三角形.【分析】(1)图形3、4、5、6、7是锐角三角形.(2)图形1、2是直角三角形.(3)图形8、9、10、11、12是钝角三角形.(4)图形2、4、5、6、10是等腰三角形.(5)图形4、5、6是等边三角形.(6)图形2是等腰直角三角形.例2选择题：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是（）（A）3cm,3cm,6cm（B）2cm,3cm,6cm（C）5cm,8cm,12cm（D）4cm,7cm,11cm(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm、35cm,如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）（A）85cm长的木条（B）150cm长的木条（C）100cm长的木条（D）50cm长的木条(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是()．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4第7级上超常体系教师版\n第1讲(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是()．(A)6＜l＜15(B)6＜l＜16(C)11＜l＜13(D)10＜l＜16【分析】(1)C(2)D(3)A(4)D.例3计算下面各题:图1图2图3图4图5图6(1)如图1，∠1+∠2+∠3=____________.(2)如图2，三角形是等腰直角三角形，∠1=_______，∠2=________，∠1+∠2=____________.(3)如图3，三角形是等边三角形，∠1=_________，∠2=__________，∠3=_____________.(4)如图4，∠1+∠2+∠3+∠4=___________.(5)如图5，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____________.(6)如图6，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______________.(7)通过以上题目，总结：n边形的内角和：______________.【分析】（1）如图1，∠1+∠2+∠3=180°.(2)如图2，三角形是等腰直角三角形，∠1=45°，∠2=_45°，∠1+∠2=90°.(3)如图3，三角形是等边三角形，∠1=60°，∠2=60°，∠3=60°.(4)如图4，∠1+∠2+∠3+∠4=360°.(5)如图5，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°.(6)如图6，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°.（7）通过以上题目，总结：n边形的内角和：(n2)180第7级上超常体系教师版5\n富勒的房子巴克明斯特·富勒是美国著名的建筑师,人称无害的怪物，半个世纪以前富勒就设计了一天能造好的“超轻大厦”、能潜水也能飞的汽车、拯救城市的“金刚罩”…….他上幼儿园时，眼睛远视，又是斗鸡眼。有一次,幼儿园老师给了他们一些牙签，要他们盖些房子。别的儿童视力好，熟悉房舍和谷仓的样子，搭了很多长方形的建筑。可是富勒视力不好，看不到结构的形态细节，只好又推又拉……偶然发现三角形可以搭起一种最稳固的房舍。老师们看后，非常吃惊。若干年后，富勒根据三角形是自然界最稳固形态，在1967年蒙特利尔世博会上把美国馆变成富勒球,那是一座由无数三角多体形支架拼合而成的大圆球，直径76米，高达10层楼房.这一伟大发明使得轻质圆形穹顶今天风靡世界，他提倡的低碳概念启发了科学家并最终获得诺贝尔奖。例49个同样的直角三角形卡片拼成了如图所示的平面图形，则这种三角形卡片的3个角中最小的角是多少度？【分析】考察图中各三角形在中心处的内角，直角三角形的7个小锐角和2个大锐角共同构成了一个周角，是360，而1个小锐角与1个大锐角的和是90，所以725个小锐角的和是360290180，即小锐角是180536．例5将一个正六边形和一个正五边形放置在同一条线上，请问ABH和CBG分别为多少度？【分析】因为正六边形的内角和=62180=720,所以FABABC=7206=120.那么BAH18012060.同理,正五边形的内角和=52180=540,6第7级上超常体系教师版\n第1讲所以BHKHBG=5405=108.那么BHA18010872.所以ABH180607248,则CBG3601201084884.例6如下图，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．请说明你猜想的理由．【分析】CDCAEAED,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=360°例7如图，四边形ABCD中，C90，D150，ADDCBC，求A和B的度数.AEDBC【分析】考察角度的构造，注意到1509060，而这个图形中有若干长度相等的线段，因而联想到用60构造正三角形.如右图：构造正三角形ADE与正方形BCDE，显然三角形EAB是等腰三角形，AEB6090150，所以EABEBA15，所以BAD601545，ABC901575例8如图，八边形的8个内角都是135°，已知AB=EF,BC=20，DE=10，FG=30，求AH的长度。B20CB20CMNAADD1010HEHEQG30FPG30F第7级上超常体系教师版7\n【分析】将多边形补成一个长方形后如右图，补的每个三角形都是等腰直角三角形，因为ABEF,左右看，所以AMEP，因此AH10DNHQ，再上下看知道DNHQCNQG302010,所以AH101020威格斯太太的卷心菜威格斯太太对洛维·玛丽说，今年她的那块正方形卷心菜地比她去年的那块正方形地要大，因此今年将多种211棵卷心菜。我们的数学家和农艺家中，有多少人能算出威格斯太太今年所种的卷心菜棵数？答案：威格斯太太去年在每边可种105棵卷心菜的正方形地里种了11025棵卷心菜，今年她在较大的正方形地（每边可种106棵卷心菜）里种了11236棵卷心菜。知识点总结1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形.2.三角形具有稳定性.3.三角形的三个内角和等于180°.三角形的周长：三边之和.4.三角形三条边的关系：三角形任何两边的和大于第三边.5.三角形按边分类,可分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形.6.三角形按角分类,可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.7.n边形的内角和：(n-2)×180°家庭作业1.有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角.(2)一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内角中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可以有钝角．(7)25的角用10倍的放大镜看就变成了250.其中，正确说法的个数是8第7级上超常体系教师版\n第1讲【分析】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．2.周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？【分析】根据三角形的两边之和大于第三边得到两腰的和要大于6，并且为偶数，所以两腰的和可以为8、10，有2种情况；长方形的长加宽为122=6，因为6=15=24=33共有3种．3.用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？【分析】通过尝试得到：3寸、3寸、1寸或3寸、2寸、2寸．4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A=度。AD13254BC【分析】5130=，2+4180=-13050=，1=2，,3=4，12+34=100∠A=180100=80。''''5.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转30°，得到△BAC，若AC⊥AB，则∠BAC的度数是。'AAB'30°BC'''【分析】因为△BAC是△ABC绕着点C旋转得到的，所以∠A=∠A,根据三角形的内角和定理知o'ooooo道∠A180∠ACA90180903060.6.已知：如图，延长三角形ABC三条边得到∠1、∠2、∠3，求：∠1＋∠2＋∠3．【分析】1BAC2ABC3BCA1803540BACABCBCA1801235401803607.已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8=____________．第7级上超常体系教师版9\n【分析】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8=4180360=3608.如下图，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝______度．请说明你猜想的理由．【分析】∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝4180=720超常班学案【超常班学案1】有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长.【分析】5,5,2【超常班学案2】已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=___________．【分析】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=3180180=360【超常班学案3】如图，已知一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．A959D1BFEC【分析】如右图，延长某些线段，可得到等边三角形ABC，且三个角的三个三角形也是等边三角形．进而可得到DE+EF=1+9+9-1=18.因此原六边形的周长为1+9+9+5+18=42厘米．【超常班学案4】如图，已知线段ACBD、相交于点F，1=2，3=4，且A=27，E=33，求D的度数.10第7级上超常体系教师版\n第1讲DD112C72CEE8FF563344ABAB【分析】56，E33，A272E4A，42678,12,3422D24AD24A22262739超常123班学案【超常123班学案1】若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．【分析】3＜x＜17【超常123班学案2】已知：如图，延长三角形ABC三条边得到∠1、∠2、∠3，求：∠1＋∠2＋∠3．【分析】1BAC2ABC3BCA1803540BACABCBCA180123540180360【超常123班学案3】如图，已知一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．A959D1BFEC【分析】如右图，延长某些线段，可得到等边三角形ABC，且三个角的三个三角形也是等边三角形．进而可得到DE+EF=1+9+9-1=18.因此原六边形的周长为1+9+9+5+18=42厘米．第7级上超常体系教师版1\n【超常123班学案4】在下图中，已知AB=BC=CD，且A30,C108，则D＿CBAD【分析】108是正五边形的一个内角度数．而且题目中出现边相等，可以往正五边形上考虑．以AD为对称轴，做出ABCD的对称图形AFED，之后连接BF．如下图所示：CBADFE由对称可知：FADBAD30，所以BAF60．同时也可知道AB=BC=CD=DE=EF=AF.在ABF中，顶角为60，两腰相等，则这个三角形为等边三角形．所以AB=BF．这样五边形BCDEF1就是正五边形了．每个内角均为108，所以ADC108542此类题需要有较强的数感．12第7级上超常体系教师版