第2讲第二讲三角形进阶知识站牌四年级春季四年级春季一半模型等积变形四年级暑假三角形进阶四年级暑假三角形初步三年级春季平行四边形与梯形三角形的高、面积、简单等积变形和勾股定理漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1.通过生活中的事物，从熟悉的图形中总结三角形的面积，掌握并熟练运用三角形的面积，去解决生活中的问题．2.通过分类，掌握简单的等积变形，发展学生空间观念，提高观察力和动手操作能力.3.通过三角形面积，综合运用学过的平行四边形、梯形、长方形、正方形的面积.4.通过直观操作，探索发现直角三角形的三边关系，初步学习勾股定理，让学生感受几何之美，学会欣赏数学之美.经典精讲三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底.三角形的面积=底×高÷2，底和高都相等的两个三角形，面积完全相等.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.222如下图，abc课堂引入春天来了，森林里的小动物们可高兴了，小兔、小象和小老虎聚到了一起。它们拿来了自己的三角形，但是都认为自己的三角形是最大的，你一嘴，我一嘴，谁都不能说服对方.同学们，你们愿意帮它们解决这个问题么？今天你们就来当一次小评委，帮助它们三个评比一下.你们说谁的三角形大？说说你们的想法.2第7级上超常体系教师版\n第2讲例题思路模块一：三角形面积公式推导及应用例1.：三角形面积的推导例2.：三角形面积的应用模块二：三角形综合例3.：三角形面积与边、角关系的综合例4.例5：等积变形例6.例7：三角形和四边形的面积计算模块三：简单勾股定理例8.：简单勾股定理例1（1）用两个大小一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼成几种常见的图形？（2）用三个大小一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？（3）将一个正方形分成相同的四个三角形，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【分析】⑴建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：⑵这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：（3）平均分成四等分（以下面两种分法为例）．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：第7级上超常体系教师版3\n例2下面两幅图都是由边长为8和6的两个正方形拼成，请根据图中所示的线段长度，求出阴影三角形的面积。8686【分析】左图的阴影面积等于68224,右图阴影面积等于66218.小欧拉圈羊圈在大数学家欧拉小的时候，有这样一个故事：欧拉家有一段长100米的篱笆，欧拉的父亲打算圈一个面积为600平方米的四边形羊圈．最开始，父亲自己设计，无论怎么围，面积都不够．后来，小欧拉自告奋勇要替父亲做这件事，结果等到小欧拉把羊圈围好后，父亲惊喜地发现，羊圈的面积比需要的还稍稍大了一点．小欧拉按照周长相等，正方形面积最大的2原理，确定了篱笆的形状是边长25米的正方形，围出的羊圈面积为2525625m．对应地，还有另一个结论成立：在所有面积相等的四边形里，正方形是周长最小的．而这两个结论，都是来自于我们这样一句话：和一定，差小积大．也就是说，如果两个数的和一定，那么这两个数的差距越小，乘积就越大．例如6152433，这三组数字的和都是6，而乘积则分别为5、8、9，依次递增．同学们可以想想看，这些结论还可以如何应用在我们的生活中呢？例3已知三角形ABC中，BC=10厘米，AD、EC是三角形的高，AD长为8厘米，EC长为5厘米，求底边AB的长是多少厘米？【分析】三角形ABC的底BC是10厘米，高AD是8厘米，面积是108240平方厘米，AB的长是402516cm.4第7级上超常体系教师版\n第2讲例4图中AB3厘米，CD12厘米，ED8厘米，AF7厘米。四边形ABDE的面积是_____平方厘米。【分析】连接AD，三角形ADE面积为DEAF228平方厘米，三角形ABD面积为ABCD218平方厘米。所以四边形ABDE面积为281846平方厘米。例5图1图2图3图4图5图622(1)如图1，D为BC边上中点，S800cm则S_______cmABC，ABD.22(2)如图2，D、E分别为BC、AC边上中点，S800cm则S_______cmABC，AED.22(3)如图3，D、E、F分别为BC、AC、AE边上中点，SEFD80cm，则SABD_______cm.2(4)如图4,D、E、F、G、H分别为BC、AC、AB、BD、CD边上中点，S100cm则EHC，2S_______cmABC.2(5)如图5,D、E、F、G、H分别为BC、AC、AB、DC、AE边上中点，S100cm则AHD，2S_______cmABC.2(6)如图6,D、E、F、G、H、I分别是BC、AC、AB、DC、AE、AD边上中点，SABI200cm，2则SEDG_______cm.第7级上超常体系教师版5\n22【分析】（1）如图1，D为BC边上中点，SABC800cm，则SABD400cm.22（2）如图2，D、E分别为BC、AC边上中点，S800cm，则S200cm.ABCAED22（3）如图3，D、E、F分别为BC、AC、AE边上中点，S80cm，则S320cmEFDABD2（4）如图4,D、E、F、G、H分别为BC、AC、AB、BD、CD边上中点，SEHC100cm，2则SABC800cm.2（5）如图5,D、E、F、G、H分别为BC、AC、AB、DC、AE边上中点，S100cm，AHD2则S800cm.ABC2（6）如图6,D、E、F、G、H、I分别是BC、AC、AB、DC、AE、AD边上中点，SABI200cm，2则SEDG100cm.例6如图，正方形ABCD被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两个部分都是等腰直角三角形。已知两条截线的长度都是6厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？【分析】把上下两个等腰三角形看做一个正方形，截线长6为正方形对角线长，故得到的正方形面积为66218，因此正方形ABCD的面积为182327.例7如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）345°7【分析】四边形面积为大等腰直角三角形面积减去小等腰直角三角形面积．四边形面积为：2273220（平方厘米）.例86第7级上超常体系教师版\n第2讲直角三角形PQR的直角边为6厘米，8厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？BAP6RC8HGFDQMNE【分析】延长AR、DQ过E、F分别作AR、DQ的平行线，在大正方形内交成四个全等的直角三角形和一个小的正方形CHMN，四个全等的直角三角形和四个白色的三角形的面积之和相等，所以三个正方形的面积之和与4个三角形的面积之和的差为：两个小的正方形与最小的正方形的面积和即：SSS8866(86)(86)104(平方厘米)．ARPBPQDCNMHG【铺垫】如图，由四个完全相同的直角三角形围成一个大正方形，已知小三角形的两条直角边分别长3cm、4cm，求AB的长度.22【分析】大正方形的边长为7，面积为7749cm;一个小三角形的面积为3426cm,四个小三22角形的面积为24cm.四边形ABCD是正方形，面积为492425cm,2555，所以，AB长5cm.【巩固】如图所示，直角三角形PQR的短直角边长为5厘米。正方形EFRQ的面积是89平方厘米，则正方形PQDC的面积为多少？2222【分析】由勾股定理可知,PQQRPR89564,所以正方形的面积为64.第7级上超常体系教师版7\n德克萨斯州的牲口贩子德克萨斯州的三个贩子在公路上碰头，打算进行下述的物物交换。汉克对吉姆说：“我用6头猪换你1匹马，那么你的牲口数将是我所有牲口数的2倍。”杜克对汉克说：“我用14只羊换你1匹马，那么你的牲口数将是我的3倍。”吉姆对杜克说：“我用4头牛换你1匹马，那么你的牲口数将是我的6倍。”了解了这些有趣事实之后，你能不能说出他们三人各有多少头牲口？答案：汉克有11头牲口，吉姆有7头，杜克21头，共有牲口39头。附加题1.如图,AD=4,AB=3,BC=13,CD=12,BAD90,求ABCD的面积_D_A_C_B222【分析】连接BD，利用勾股定理得BD=5,因为BCBDDC,所以BCD为直角三角形，S四ABCDSABDSBCDABAD2BDCD23425122362、长方形ABCD中，AE平分∠BAD，∠EAO=15°，求∠BOE。DAOBCE【分析】因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=45°，那么三角形ABE就是一个等腰三角形，可得AB=BE，∠BAO=45°+15°=60°，∠ABO=60°，则三角形ABO是一个等边三角形，AB=BO,所以BO=BE，等腰三角形BOE底角=（180°-30°）÷2=75°8第7级上超常体系教师版\n第2讲知识点总结三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底.三角形的面积=底×高÷2，底和高都相等两个三角形，面积完全相等.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.222如下图，abccab家庭作业1.已知三角形ABC中，BC=16厘米，AD、EC是三角形的高，AD长为6厘米，AB长为12厘米，求高EC长是多少厘米？（同学们请先找出EC并把它画出来！）ABCD【分析】三角形ABC中，底边BC长是16厘米，高AD长是6厘米，面积是166248平方厘米，那么EC的长是482128厘米．2.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求：三角形DEF的面积．【分析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24212，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积623．3.三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形，它们的直角边分别是10厘米和6厘米，求四边形BCDE的面积。第7级上超常体系教师版9\nCEBDA【分析】SBCDESBCESCDE(106)102(106)622012324.如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAEE乙乙甲甲BCBDCD【分析】连结AD.∵BE3，AE6∴AB3BE，S3SABDBDE又∵BDDC4，∴S2S，∴S6S，S5S．ABCABDABCBDE乙甲5.已知图中每个小三角形都为等腰直角三角形，直角边长是2厘米，用12个这样的三角形拼成如图所示的图形，求这个图形的面积是多少平方厘米？【分析】每个等腰直角三角形的面积是2222平方厘米，12个面积是12224平方厘米．6.下图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米4厘米乙甲8厘米2【分析】甲的面积白色三角形的面积86224cm2乙的面积白色三角形的面积84216cm2所以，甲的面积乙的面积=24168cm7.如图，长方形ABCD，AE=2cm，EB=4cm，BF=3cm，FC=1cm，求三角形DEF的面积.10第7级上超常体系教师版\n第2讲2222【分析】长方形ABCD面积为24cm，S4cm,S6cm,S3cm,所以AEDBEFCDF2SDEF11cm.8.如下图，边长分别为5,7,10的三个正方形放在一起，则其中四边形ABCD的面积是______.【分析】延长AB交CD于E，用SAEDSBCE15122-572=72.5超常班学案【超常班学案1】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别1、1、1、1、2、3，大长方形的面积是___________.221111111133【分析】如右图．对图形进行适当的分割可得大长方形的面积是19【超常班学案2】如图，ABCD是一个长方形，E点在CD延长线上．已知AB5，BC12，且三角形AFE的面积等于20，那么三角形CFE的面积等于多少？EADFBC第7级上超常体系教师版1\n【分析】方法一：三角形ABE面积为：ABBC230，则三角形ABF面积为：302010且三角形ABF和三角形CFD的面积和为长方形ABCD面积的一半，则三角形FCD面积为301020.可得FD2AF.则三角形EFD面积为202=40，三角形CFE面积为：402060.方法二：利用三角形面积公式：三角形ABE面积为：512230，三角形ABF面积为：302010，AF10254，那么FD1248，又因为ED是三角形AEF的高，ED202410，三角形CFE面积为(105)8260．【超常班学案3】在四边形ABCD中，线段BC长6厘米，ABC90,BCD135且点A到边CD的垂线段AE12厘米，线段ED5厘米，求四边形ABCD的面积.AADDEEBCBCF【分析】如图，SS-S=(12+5)122-662=84.ABCDAFDBFC【超常班学案4】在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积．【分析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米,所以平行四边形ABCD的面积等于10821050平方厘米．超常123班学案【超常123班学案1】如图，直角梯形ABCD中，AB=15厘米，BC=12厘米，AE垂直于AB，阴影部分的面积为15平方厘米，问梯形ABCD的面积是多少平方厘米？12第7级上超常体系教师版\n第2讲BAECFD【分析】因为AB=15厘米，BC=12厘米，所以SABD1512290平方厘米，又因为阴影部分面积为15平方厘米，所以S901575平方厘米，AE7521510厘米，则可知ABEDF152103厘米，所以梯形ABCD的面积(1518)122198平方厘米。【超常123班学案2】在图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?ADADADHIGECECECBFBFBF图(a)图(b)【分析】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S△ABC99240.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.59627(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FGFC3(厘米)，所以112DGDFFG936(厘米)，于是SS69.而四边形△HIG正方形AIGD44IGFB为长方形，有BFADDG6(厘米)，GF3(厘米)，所以S6318.阴影部分面积为AHIG与长方形IGFB的面积和，即为长方形IGFB91827(平方厘米)．【超常123班学案3】如图，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出45°的角度，纸片中间会形成一个小正方形。这个小正方形的面积是多少平方厘米？第7级上超常体系教师版1\n5cm45°5cm45°45°B5cm45°MA5cm222【分析】根据题意可得MAMB5,再根据勾股定理知AB5550S，因此这个小正方形正的面积是50平方厘米【超常123班学案4】如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则BDE的面积是_______．【分析】因为D是中点，所以CBD和ABD面积相等，从ABD中把BDE抠出来给了CBD后，两块面积之差变成了12010020，可见BDE=20210.14第7级上超常体系教师版