第7讲第七讲破译乘除法竖式知识站牌五年级秋季四年级春季数字谜中的最值破译横式四年级暑假破译乘除法竖式三年级春季巧填算符三年级暑假破译加减法竖式掌握乘除法竖式的解题方法，并会运用所学知识解决含有字母的乘除法竖式谜问题漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1、重点掌握通过认真观察、分析、找准竖式数字谜的突破口2、综合运用首位分析、个位分析、数位分析、奇偶分析、枚举试算等技巧破译乘除法竖式3、培养学生的观察、分析、归纳、推理等思维能力经典精讲数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断．解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意：（1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取0～9中的某个数字；（2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；（3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；（4）数字谜解出之后，最好验算一遍数字谜的十大分析法：既包括填空格，又包括字母数字谜．．．．．．．．．(1)尾数分析法：通常就是个位分析法；(2)高位分析法：即首位分析法；(3)进位分析法(4)特殊结构分析法(5)极端分析法：常用于估计某个数的范围(6)整体换元法：如果某个数字串在算式中重复出现，有时可以将其视为一个整体来处理；(7)方程分析法：其实从本质上来说，每一个数字谜都是不定方程问题，因此有时可借助解不定方程解某些数字谜；(8)特殊数分析法：某些特殊数在速算中有重要应用，在数字谜中同样也是常用的线索；(9)数论分析法：又包括（1）奇偶分析法；（2）整除分析法；（3）因数分析法；（4）同余分析法等；(10)枚举假设分析法：这也是最重要的分析法，因为前面的9种分析法往往只能给出所填之数的候选范围，因此有必要对范围内的数进行假设试算，方能避免漏解.课堂引入算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和2第7级上超常体系教师版\n第7讲竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。例题思路模块一：末位、首位、位数分析（例1—例3）模块二：除法中的乘积位置、余数及位数分析（例4—例6）模块三：除法竖式综合分析（例7、例8）例11.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.487×4871【分析】从末位开始，乘数应为3，则乘数的十位应为5，递推依次可知，式子应为：142857×3=428571.2.如图是一个残缺的乘法算式，请补充完整并求出这个算式的结果.×88【分析】根据题意，由于运算结果的千位为1，百位为8，则乘数的个位与被乘数的运算结果的百位至少要为8，容易知道989882，则有：98198.所以运算为98191862，依次填写即可.3.在如图所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了.请问：算式的结果是多少第7级上超常体系教师版3\n×285【分析】根据题意，被乘数与2的乘积后的运算结果的十位数字为7，则被乘数的十位为8，所以乘数的个位为8，则被乘数的十位为1，则运算为：88×12=1056例2在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是（）.【分析】观察竖式可知：乘数个位数字：习×争的个位数字是1，则习与争取值有两种情况：①习=3，争=7②习=7，争=3先看第①种情况：习=3，争=7时第二个部分积末位与千位对齐，可知“力=0”“数学学习”×7，积仍为四为数，则“数”只能为1，“学”只能是2，又由于：学×7＋2（进位）=学，不能成立所以：习=3，争=7时，不能成立，无解。再看第②种情况：由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2或1，“学”=9当“数”=2时，积千位为8，则“努”×7末位数应为“1”，不符合条件。所以“数”=1，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003综上所述“努力力争”四个汉字所代表数字和为5。例3在下面的乘法算式中，数、字、谜各代表一个互不相同的数字，求这个算式.4第7级上超常体系教师版\n第7讲【分析】由数字谜×谜=□□□谜，可知谜≠1，因此谜=5或6。（1）若谜=5，从整个乘法竖式中可以看出，数字谜×数=□□□的乘积的百位数字，必须大于等于3且小于等于5，所以数=2。由于数字谜×字=□□5，可知字是奇数，且小于5，故字=1或3，当字=1时，215×215=46225，不符合条件，所以只能字=3，乘法算式为：（2）若谜=6，同理，从整个乘法竖式中可以看出，数字谜×数=□□□的乘积的百位数字，必须大于等于4且小于等于6，所以数=2。由于2字6×字=□□6，可知字=1。但216×216=46656，不符合条件。所以满足条件的算式为：例4补全下列除法算式.12343510【分析】本题考查因数分析法.以除数为中心进行分析，易知234是除数的倍数，351也是除数的倍第7级上超常体系教师版5\n数,于是除数只能是117，其余空格依次填出.原式27027117231.例5图中是个残缺的除法竖式，这个算式中的被除数是多少？98【分析】由于除数一定要比余数大，所以除数为99，所以商的每一位都是1，则被除数是991119811087.例6如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．870【分析】根据题意，商的千位与除数的运算为三位数，而8与除数的运算结果却为两位数，所以除数为12，则商为9807，被除数为：117684．6第7级上超常体系教师版\n第7讲词2首下面含有数字一到十及十到一的两首词，传说是古代一考生向主考官申诉未能按时到达考场的原因及表示应试决心的，独具匠心，极具情趣。一叶孤舟，坐了二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了八九家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今日一定要中。例7在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为efeabc102229d2000099d29d200【分析】先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则abc92d，而abcf92df为三位数，于是f1，又这个乘积的十位数字为0，而d不能为0，矛盾．所以e不为1；若为3，则abc923d，d可能为1、4、7，abc相应的为304、314、324．当abc为314和324时abcf所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc为304，则f可能为1或2，经检验f为1和2时都与竖式不符，所以e也不能为3；若为7，则abc927d，只有d5时满足，此时abc136，那么f3．经检验满足题意；若为9，则abc929d，d只能为7，此时abc108，f则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．例8第7级上超常体系教师版7\n请在图中的每个方框内填入恰当的数字，使得除法竖式成立.【分析】商的十位数字7乘以除数得到一个三位数，说明除数的百位为1；商的首位数字乘以除数得到一个四位数，说明商的首位数字至少是8，又因为商的百位数字乘以除数得到一个三位数且该乘积大于商的千位数字7乘以除数得到的三位数，所以商的百位数字为8，商的首位数字为9.易知商的十位为0，个位为1，所以商是97809.容易估计出除数的范围在112至124之间，枚举可得除数为124，其余空格依次可填出.找相同点善于寻找事物的异同点和内在的联系，善于发现事物的发展规律，是做好任何研究工作应具备的基本素质和条件。请你找找看，下面的两个数有多少相同点？24683579答案：乍一看好像只有不同点，没有相同点。其实只要你善于寻找，相同之处还是不少的，这是一种很有用的能力的培养。现举数例：①都是阿拉伯数字②都是4位数③都是正数④都是整数⑤相邻两个数字的差相等。附加题1.下面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，ABBC=（）。8第7级上超常体系教师版\n第7讲【分析】这道题我们用逐步推导的方法，可以得到答案，但是比较麻烦。我们观察算式可以知道积是：□999991，是一个整百万的数减9，如果整百万的数是一个平方数，那么我们根据平方差公式就可以求出两个因数。在整百万的数中：1000000、4000000和9000000是平方数，22经实验只有4000000符合要求，即：4000000－9=2000－3=（2000＋3）×（2000－3）=2003×1997，所以ABBC=2003。2.3.在□里填上适当的数字，使下面的算式成立。ab11cefgh1m616【分析】这里先用字母表示方格里的数字，以方便叙述。（1）观察整个式子，立刻可以发现，f=6，g=1，ghab1ab（2）要使f=6，c×b可能是2×3，2×8，4×9，6×6，7×8（3）因为abcef是两位数，所以7×8不合题意（4）分支讨论，注意当c×b=2×3时，e+h不能向前进位13121213或26361312156156当c×b=2×8，4×9或6×6时，发现e+h都向前进位了，所以不合题意淘汰掉。原式为：第7级上超常体系教师版9\n13121213或263613121561563.在右边的乘法算式中，字母A、B和C分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个数字．求A、B和C分别代表什么数字？ABCABC941【分析】第一个部分积中的9是CC的个位数字，所以C要么是3，要么是7．如果C3，第二个部分积中的4是积3B的个位数字，所以B8．同理，第三个部分积中的1是积3B的个位数字，因此A7．检验可知A7，B8，C3满足题意．如果C7，类似地可知B2，A3，但这时第二个部分积3272不是四位数，不合题意．所以A、B和C代表的数字分别是7、8、3.知识点总结解有关数字谜的问题时，一定要注意以下几点：1、要注意算式中各汉字、字母或其他符号都只能取0至9中的某一个数字。2、要认真分析已给算式的特征以及题目给出的各种数量关系，并能根据这些特征、数量关系去正确选择解决问题的突破口。3、突破口的选择，往往是从确定的一个数（比如加数、和、乘数、被乘数、积、某一部分积、商或某一个余数）的个位、首位或其他数位上的数字入手。4、试验法在数字谜题的分析解答过程中是必不可少的一种方法。在试验过程中，应先进行估算和分析，以缩小所求数字的取值范围，从而减少试验次数，加快解题的速度，并在其中积累一些经验，逐步养成良好的分析思考的习惯。家庭作业1.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.10第7级上超常体系教师版\n第7讲1×32332251830【分析】根据题意，由被乘数的个位只能为5，由于运算结果的十万位上为1，则乘数与3的乘积后的结果的千位应为1，所以乘数为415，根据415与被乘数未知项的运算结果可知，被乘数的未知项为8.所以运算式子应为：415382158530.2.下图是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立.×308504723248【分析】37624893248提示：本题可以采用因数分析法3.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.1×58【分析】根据题意，被乘数与乘数的个位的乘积的十位上的数字是5，则应为17×9=153，或者19×8=152.当为17×9=153时，没有符合条件的数；当为19×8=152时，乘数的十位上为9.所以运算结果为19×98=1862.第7级上超常体系教师版11\n4.在□中填入适当的数字，使算式成立。16321【分析】为了方便还象前面的算式那样，用字母表示□中的数字。（1）观察算式特点，乘数为3位数，但相加的积只有两行，结合第二行的对位情况可知c=0。（2）“看尾”，积个位为1，所以h=1，b×3=□1，b只能为7。（3）“抓头”，结合算式特点，a可能为3或4，当a=3时，317×3=951不是四位数，所以a只能为4，被乘数，乘数确定了，其它位置的数也就定了。原式为：417603125125022514515.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．8530【分析】根据题意，除数应为7，则商的个位应为5．所以857595．依次填写即可．6.在下面两图的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.12第7级上超常体系教师版\n第7讲6985232783OO【分析】（1）除数9783，那么除数是783987.原式即为60038769.（2）除数8232，那么除数是232829.原式即为24652985.7.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立.9671【分析】根据题意，可知商的百位必为1，而运算结果后余数为1，则9与除数的乘积的末位为6，所以除数为64，则商位109，所以被除数为6977，其他依次填写即可.8.在“口”里填上适当的数字，使算式成立，有________种填法【分析】在下式中，从最后的9看，△=1，3，7，9．从第一次的减法可知△9△=1,▽=9;或者△=3,▽=3；或者△=7，▽=7．经验算，填法只有两种．第7级上超常体系教师版13\n超常班学案【超常班学案1】有一本书中，列有这样一个乘法算题，其中大部分数字被蛀虫吃掉，只剩下一个数字8，但位数还可以分辨清楚，请你帮忙补出方格中的数字。【分析】（1）竖式第1行与第4行都是三位数字。因为第1行的8倍变成第4行，所以第1行的首位一定是1。第4行的首位不是8就是9。又因为第5行是四位数，所以第4行首位数一定是8，因而算式可以补成：（2）根据第3、4、5行，首位不进位的关系，可以推断出第3行首位为1，第5行首位为9，补成：（3）因为第1行的8倍，变成第4行，所以第1行的第2位，不是0就是1，它不能等于或大于2。假如是0，则第3行就不应该是4位数，所以应该是1。再比较第2行与第3行的情况，就可以认定第2行的末位数是9。补为：（4）以后的推算就比较容易了。首行推断第1行的末位数。该数若大于或等于3，则第4行的第2位就得进位，所以应该不是2就是1。若为1，则第3行就不能变成4位数，所以应该是2。既然被乘数和乘数已明确，那么其余被蛀虫吃掉的数都可以很容易地补上了。【超常班学案2】如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________.14第7级上超常体系教师版\n第7讲学而思杯学而思杯【分析】首先从式子中可以看出“思”0，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“学”只能为3．由于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1和2，这样“学而思杯”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现310231029622404，与算式不相符，而3201320110246401符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1．【超常班学案3】已知除法竖式：□□7□□8□□□□□□□□□□□□□□0那么商是．【分析】由除法竖式可以推知，商的十位数字必是1．于是可得除法竖式如下：1□7□□8□□□7□□1□□□1□□□0从而可以断定商的十位数字必是2．因此，商是12．【超常班学案4】请把图中的除法竖式补充完整.7777第7级上超常体系教师版15\n【分析】为了方便表述，我们把一些必要的方格标上字母，一些显而易见的方格，直接标上了数字.7fh7的结果是一个一位数，那么必然有，h6,ab67,c1.接下来，67eig77，其中i只能为3,4,5，我们依次尝试e的取值，发现只有当e7时满足条件.那么我们可以填出整个竖式.717667107......7c0eab7f7gh7i7g□□□7超常班123学案【超常123班学案1】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.×888【分析】根据题意，运算结果的万位必然为1，而被乘数与乘数的个位的乘积后的千位最多只能为8，则被乘数与乘数的十位的乘积后的结果的千位上应为8，根据预算结果的千位为8则可知，乘数的十位必然为9，所以有：乘数的个位为9，则有被乘数的个位为2，则应为：9921918848，依次填写即可.【超常123班学案2】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是【分析】如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c＞2知c=3，所以22□是22516第7级上超常体系教师版\n第7讲或228，de75或76．因为75×399＜30000，所以de76．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．【超常123班学案3】请把如图所示的除法竖式中空缺的数字补上.其中的商是多少？617610【分析】观察，商的十位乘以6□□=□□7，那么商的十位是1，除数的个位是7.接下来，商的个位乘以67□=□□61，因此商的个位是3.673□=□□6168732061，687138931.因此，原式是893168713，商是13【超常123班学案4】在图所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不相同的数字.请问：被除数是多少？COLAILSLYRICSSIURRIOCCRAICOAGYLSRYLYURGYR【分析】AILSCSIURAILSO;RAICOCO那么RIOCCRAICOAGYLY9.接下来我们看LYRISIURRIOCI4.再看ROCC4RACO4AGYLA2,O4.AGYLSRYLYURGYRAR1R1.现在把已知的数字带回竖式中：COL35824LSL914CS2487891437S4U1746114OCC14533124CO124352G9LS2098719L9U198961G911091现在我们看，24LSO124CO，那么O5.那么通过145CC1245C29GL我们可以判断：G0.前面我们已经判断了CO，而0,1,2,4都已经有归属了，只能是C3，那么S7,L8.因此除数是891437.第7级上超常体系教师版17