第3讲第三讲等差数列进阶知识站牌五年级暑假四年级春季分组与配对整数与数列四年级暑假等差数列进阶三年级春季等差数列初步三年级寒假速算与巧算之四则运算复杂的等差数列问题;等差数列的应用与构造漫画释义第7级上优秀A版教师版1\n课堂引入观察下列数列,指出它们的共同特征（1）0,5,10,15,20,（2）21,24,27,30,（3）50,46,42,38,34,（4）1,1,2,2,3,5,3,5,8,4,7,11,（5）2,2,2,2,2,【分析】（1）,（2）,（3），（5）都是基本等差数列，（4）是三个等差数列的综合老师在此处可开始等差数列的复习：可用自然数列和奇数等差数列来进行复习：项数、首项、末项以及求和（包括中项定理）的计算方法，因为这两个数列应用很多，此处可跟孩子强调求和公式：nn(1)2自然数列的和=，从1开始奇数的等差数列的和=n2教学目标1.熟练掌握等差数列的基本公式；2.灵活运用等差数列公式解决问题.3.简单构造等差数列经典精讲等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求这第四个.基本公式：通项公式：an=a1+(n－1)×d项数公式：n=(an－a1)÷d+1公差：d=（an－a1）÷(n－1)数列和公式：sn=(a1+an)×n÷22第7级上优秀A版教师版\n第3讲关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的关系式子.基本题型：1.求项数（n）；2.求总和（sn）；3.求单项（an）；4.求公差（d）.例题思路模块一：等差数列复习例一：根据公式求末项、项数例二：根据公式求和及巧算模块二：等差数列拓展例三：双重等差数列和分组构造等差数列模块三：等差数列的应用例四：等差数列在应用题中的运用例五：等差数列在几何计数中的运用例11、数列1，3，5，7，…，第18项是（）.A.12B.13C.24D.352、数列2，4，6，8，…，其中256是这个数列的第（）项.A.105B.69C.97D.1283、数列3，6，9，…，18，这个数列共有（）项.A.4B.5C.6D.74、数列1，4，7，…，这个数列的第6项与第9项相差（）.A.6B.7C.8D.9【分析】（1）D(2)D(3)C(4)D例2(1)求数列1、3、5、7、999的和(2)求数列2、4、6、8、10100的和(3)（2468100）-（1+3+5+7+99）【分析】1、项数：（99-1）÷2+1=50，和=（1+99）×50÷2=25002、项数：（100-2）÷2+1=50，和=（2+100）×50÷2=25503、方法一：2550-2500=50方法二：分组思想（2-1）（4-3）（6-5）（8-7）+100-99（）=50×1=50【想想练练】（24681000）-（1+3+5+7+999）第7级上优秀A版教师版3\n【分析】（2-1）（4-3）（6-5）（8-7）+1000-999（）=500例3计算：（1）13467910246247249250（2）1000999998997996995106105104103102101．【分析】1、方法一:此题不是一个直接的等差数列，缺某些项，所以我们可以把它看成等差数列：123456724724824925025811248=3137510375=21000方法二:把这个数列拆分为两个数列1471013247250和36912246249，对它们分别求和：原式（1250）842（3249）8321054210458=21000．2、本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：10001997110611031．这是1000997106103和1111的组合，分别计算结果即可：原式（1000103）30021300165750【想想练练】计算1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70的和是多少？【分析】方法一：此题不是一个直接的等差数列，我们观察可知，缺某些项，所以我们可以把此数列变成等差数列：1234566667686970(25868)那么，123470(170)702248525868(268)232805所以原式=24858051680方法二：把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669，对它们分别求和：原式（170）242（369）23216804第7级上优秀A版教师版\n第3讲公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出。那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10、…等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做“三角形数”。如图所示：不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为a（i=1、2、i3、…、n）则：a11a1232a31236a4123410a100123451005050就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从1开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数，而且正好是第n个三角形数。nn(1)∴1234n2例4在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧克力．那么，第__________个雕塑恰好由2013个巧克力组成．【分析】雕塑由3n块巧克力构成，故由2013块巧克力构成的是第20133671个雕塑.【想想练练】一个影剧院共有28排座位，从第1排起，以后每排都比前一排多2个座位，第28排第7级上优秀A版教师版5\n有78个座位，这个影剧院共有多少个座位？【分析】第28排有78个座位，那么第一排有78(281)224，那么一共有座位(2478)2821428个。例5如图所示，白色和黑色的三角形按如下顺序排列．已知第一个图形有1个黑色三角形，第二个图形有3个黑色三角和1个白色三角形，……(1)(2)(3)(4)（1）第七个图形里有多少个白色三角形？（2）第七个图形里有多少个黑色三角形？（3）从第一个图形到第七个图形一共有多少个小三角形？（4）第几个图形黑色三角形与白色三角形相差12个，其中白色三角形有多少个？（5）如果我们用若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成上图的形状，照这样摆下去，到第十个图形，一共需要多少根火柴棒？【分析】（1）根据图形规律，第七个等边三角形里白色有1+2+3+4+5+6=21。（2）第七个等边三角形里黑色有1+2+3+4+5+6+7=28（3）14916253649=140（4）由前面的规律发现：黑色与白色的个数差几就是第几个图形。所以此题就是问第12个图形里有多少个白色三角形。即：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。（5）如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，310．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10．求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930（330）102335165(根)所以，一共要放165根火柴6第7级上优秀A版教师版\n第3讲火车站的钟声小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床．车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下．假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？分析与解：从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”，共计（3+1）×5=20秒．当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点．因此，答案应是：（3＋1）×6=24（秒）．杯赛提高电子跳蚤在一条标有刻度(单位:毫米)的尺上某点K,向右跳所显示的刻度越来越大,第一步从K向左跳1毫米,第二步再向右跳2毫米,第三步再向左跳3毫米,第四步再向右跳4毫米,,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在尺子上的刻度所表示的数恰好是205毫米,则电子跳蚤开始时落在尺上的点K的刻度是________毫米.【分析】由题意可知，K12345699100205K155知识点总结基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用sn表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n－1)×d项数公式：n=(an－a1)÷d+1公差：d=（an－a1）÷(n－1)数列和公式：Sn=(a1+an)×n÷2基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可第7级上优秀A版教师版7\n求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求第四个.家庭作业1.已知数列2，4，6，8，，问这个数列中第2000个数是多少？【分析】第2000个数是：2(20001)240002.计算：9＋18＋27＋…＋180＋189的和.【分析】此数列是一个公差是1899的等差数列，项数是(1899)9121项，总和是：(9189)2122079。3.有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【分析】末项是：9（201）366，和是：（966）2027504.一个五层书架共放了555本书，上层书比下层少5本。问：最上层放几本书？【分析】方法1：根据已知条件可知：Sn=555；d=5；n=5；末项比首项多(51)520本，根据求和公式可以得首项和末项的和是：55525222，根据和差问题得：首项是(22220)2101本。方法2：数列的中间数（第三层）：5555111本；最上层比第三层多：2510本，最上层的书数：11110101本.5.点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？【分析】每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70，要求这本书一共多少页，应该先求出点点总共看了多少天．天数(项数)(末项首项)公差1（7030）4111总页数（3070）112100112550，所以，这本书一共有550页．6.如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？【分析】这列数第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。8第7级上优秀A版教师版\n第3讲A版学案【A版学案1】已知等差数列4、7、10、13、……、40、43、46问：这个数列共有多少项？【分析】方法一：利用项数公式得(464)3115（项）方法二：利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意每两项的差是3，那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145项，每组3个数，所以共45315组，原数列有15项．当然，我们还可以有其他的配组方法．【A版学案2】1994－5－8－11―…―80－83【分析】仔细观察可以发现，减的部分是一个公差是3的等差数列，一共有(835)3127项，和是(583)2721188，所以原式等于19941188806【A版学案3】建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层有2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【分析】如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道这是一个等差数列．2106是第（21062）41527层，中间一层是第（5271）2264层，那么中间一层有：2（2641）41054块，这堆砖共有：1054527555458(块)．【A版学案4】节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装6盏，那么最上面一层安装多少盏灯？【分析】已知条件：Sn888；d=6；n=8；a8a1(81)6a142，末项与首项差：42盏；根据等差数列求和公式可以得首项和末项的和是88828222盏，首项：（222-42）÷2=90盏第7级上优秀A版教师版9