+10相遇与追及综合预习本讲内容1.环形跑道上的相遇与追及2.火车问题中的相遇与追及3.流水行船中的相遇与追及前铺知识环形跑道——四年级秋季第5讲（第7级下）火车过桥——四年级秋季第11讲（第7级下）流水行船——四年级春季第5讲（第8级下）后续知识电梯与发车——五年级秋季第5讲（第9级下）方程法解行程——五年级秋季第14讲（第9级下）1.小明跑步的速度是5m/s，他绕400米的标准跑道跑一圈需要_________秒.2.一列长270米的火车以15m/s的速度完全经过路旁的一根电线杆需要_________秒.3.静水速度是15km/h的轮船在水速为3km/h的河里逆流而上5小时，走了________km.【分析】80；18；60.1第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）\n环形跑道知识剖析1.环形跑道中的相遇问题如果同地出发，则每相遇一次合走一圈.如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地相遇的问题.2.环形跑道中的追及问题如果同地出发，则每追上一次就多跑一圈.如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地追及问题了.佳佳和俊俊站在一圈400米长的环形跑道上，他们的位置（A点和B点）相距100米.两人同时出发沿跑道做竞走运动，速度已知：佳佳3米每秒，俊俊2米每秒，但是两人的行走方向未知.请问两人第一次碰面是在几秒钟之后？AB【分析】若A顺时针B逆时针，则两人做相遇运动，时间为100(32)20秒；若A逆时针B顺时针，则两人做相遇运动，时间为300(32)60秒；若A、B都顺时针，则则两人做追及运动，时间为100(32)100秒；若A、B都逆时针，则则两人做追及运动，时间为300(32)300秒.学校操场一圈是480米，佳佳和俊俊站在起点处，同时出发跑步.若两人反向起跑，则60秒后两人第一次碰面；若两人同向起跑，则240秒后佳佳第一次追上俊俊.请求出两人的跑步速度.【分析】无论是相遇还是追及，同时同地出发的话，路程和或路程差都是一圈长度，故两人的速度和为480608米每秒，两人的速度差为4802402米每秒.故较快的佳佳的速度是(82)25第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）2\n米每秒，俊俊的速度是853米每秒.在一圈长度300米的环形跑道上，甲乙两人同时同地同向出发，匀速跑步.当甲跑了1整圈，回到起点时，他还从未在跑道上与乙碰面，并且此时乙与甲的距离是100米.当甲又跑了1整圈，回到起点时，他仍未在跑道上与乙碰面过，并且此时乙与甲的距离也是100米.请问：乙跑多远时，会与甲第一次碰面？【分析】此题分两种情况：若甲比乙快，则甲跑300米时，乙跑了100米或200米；若乙只跑了100米，则当甲跑2圈600米时，乙跑了200米，可见甲已经比乙多跑了1圈以上，故甲一定超越过乙，与条件矛盾，故知甲跑300米时，乙跑了200米.当甲、乙第一次碰面时，乙跑了300(300200)200600米，即此时乙跑了2圈，甲跑了3圈；若甲比乙慢，则甲跑300米时，乙跑了400米或500米；若乙跑了500米，则当甲跑2圈600米时，乙跑了1000米，可见乙已经比甲多跑了1圈以上，故乙一定超越过甲，与条件矛盾,故知甲跑300米时，乙跑了400米.当甲、乙第一次碰面时，乙跑了300(400300)4001200米，即此时乙跑了4圈，甲跑了3圈.综上，本题有两个答案：若甲比乙快，则答案是600米；若甲比乙慢，则答案是1200米.在周长为600米的圆形场地的一条直径的两端，艾迪从A点，薇儿从B点同时骑车出发，相向而行.两人第二次恰于A点相遇，求两人第一次相遇的地点.AB【分析】两人第二次相遇时，应共走了一圈半；其中艾迪走了一整圈回到A，薇儿走了半圈，这说明艾迪的速度是薇儿的2倍，故第一次相遇时，路程和为半圈300米，其中艾迪走了30032200米，薇儿走了300200100米.故第一次相遇地点在距离A点200米，距离B点100米的位置.第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）3\n火车问题知识剖析铁路旁的人与火车问题1．人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长．2．人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长．3．人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长．4．人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程这个过程实质还是人和火车的相遇、追及问题．此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的速度，长度为零的桥．一列从西向东行驶的火车车速为每秒17米，车身长288米.7点整它追上了在铁路旁从西向东散步的艾迪，并于18秒后离开了他.又过了3分钟，它与从东向西散步的薇儿相遇，16秒后离开了她.请问艾迪和薇儿步行的速度分别是多少？【分析】火车与艾迪的速度差是2881816米每秒，故艾迪的速度是17161米每秒；火车与薇儿的速度和是2881618米每秒，故薇儿的速度是18171米每秒.艾迪和薇儿沿着铁轨旁的小路散步，迎面而来一列长98米的火车.若两人速度为1米/秒，火车从车头到车尾经过他们身边共用了14秒，求火车速度.【分析】他们与火车共同走了一个车身的长度，故速度和是98147米／秒，所以火车的速度是716米／秒薇儿以5米/秒的速度在铁路旁骑车，一列火车迎面开来，与她从相遇到离开共用了15秒，而它追上在铁路旁以3米/秒的速度跑步的艾迪并刚好超过他共用了25秒，求火车的长度和行驶的速度.第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）4\n(a5)15ba15【分析】设火车速度为a米每秒，长度为b米，则有方程组，解得.(a3)25bb300两列火车同向行驶，某一时刻两车车头平齐.若已知较慢的车车长200米，车速20米每秒；较快的车车长150米，车速30米每秒，请问从车头平齐的时刻直到快车完全超越慢车的时刻，共用了几秒？【分析】本题并不是完全超车过程，只是其中的一部分，故不可以用完全通过的公式，需具体分析两列车的路程差.如图，实线是初始时两车的相对状态，虚线是结束时两车的相对状态.可见两列车的路程差是一个快车的车长（慢车车长是无用条件）.快车(开始)快车(结束)慢车故所用时间为路程差速度差150(3020)15秒.两列火车同向行驶，某一时刻两车车尾平齐.若已知较慢的车车长200米，车速20米每秒；较快的车车长150米，车速30米每秒，请问从车尾平齐的时刻直到快车完全超越慢车的时刻，共用了几秒？【分析】两列车的路程差是一个慢车的车长（快车车长是无用条件）.所用时间为200(3020)20秒.马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为5米每秒．马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？【分析】甲速为51562.5米每秒，乙速为15252.5米每秒.汽车刚离开甲时，两人相距(52.5)3015240米，跑了32秒，还相距240(2.52.5)3280米，再过80(2.52.5)16秒两人相遇.第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）5\n笔记整理一：环形跑道中的相遇与追及1.环形跑道中的相遇问题如果同地出发，则每相遇一次合走一圈.如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地相遇的问题.2.环形跑道中的追及问题如果同地出发，则每追上一次就多跑一圈.如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地追及问题了.二：火车过桥：（火车与人的运动）1、人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长．2、人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长．三：流水行船问题有以下两个基本公式：⑴顺水速度船速水速，VVV；顺船水⑵逆水速度船速水速，VVV(其中V为船在静水中的速度，V为水流的速度)．逆船水船水由上可得：船速(顺水速度逆水速度)2；水速(顺水速度逆水速度)2．流水行船问题中的相遇与追及：两船在流水中的相遇与追及所需的时间与在静水中或是两车在陆地上的相遇和追及问题一样，与水速没有关系．流水行船知识剖析流水行船问题有以下两个基本公式：⑴顺水速度船速水速，VVV；顺船水⑵逆水速度船速水速，VVV(其中V为船在静水中的速度，V为水流的速度)．逆船水船水由上可得：船速(顺水速度逆水速度)2；水速(顺水速度逆水速度)2．流水行船问题中的相遇与追及：两船在流水中的相遇与追及所需的时间与在静水中或是两车在陆地上的相遇和追及问题一样，与水速没有关系．第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）6\n某河上下两港相距80千米，每天定时有甲乙两艘船速相等的客轮从两港相向而行，甲船顺水而行每小时行12千米，乙船逆水每小时行8千米，这天甲船在出发时，从船上掉下一物，此物顺水漂流而下，当甲乙两船相遇时，此物距相遇地点有多远？【分析】方法一：水速为(128)22千米每时，两船相遇时间为80(128)4小时，故答案为(122)440千米.方法二：若无水速，则两船必在中点处相遇，答案为40千米；若有水速，则两物体之间的距离不会随水速改变，故答案还是40千米.某河上下游两港相距300千米，每天有甲乙两艘船分别从上游和下游同时相向而行，它们在静水中的速度分别为12千米/时和18千米/时.平时它们相遇于距上游港140千米处.某日突下暴雨，水速变为原来的2倍，这一天甲乙两船相遇地点距上游港多远？【分析】方法一：无论水速如何改变，相遇时间不会变，相遇时间为300(1218)10小时.甲船的顺水速度为1401014千米每时，故知水速为14122千米每时；水速加倍后，变为224千米每时，甲速变为12416千米每时，答案为1610160千米.方法二：无论水速如何改变，相遇时间不会变，故相遇地点的改变可以看做水速推动相遇地点走了固定的时间.原本相遇地点应与上游相距300(1218)12120千米，但现在是140千米，说明水推动相遇地点变化了20千米；水速加倍，相遇地点的变化程度也加倍，是40千米，故答案是12040160千米.一艘游艇装满油，能够航行80个小时，已知游艇在静水中的速度为每小时20千米，水速为每小时5千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且路途没有油料补给，请问：这艘游艇最多能够开出多远？【分析】顺水速度为20525千米每时，逆水速度为20515千米每时.若要开得最远，必然用时80个小时，且顺水路程等于逆水路程，故可根据此等量关系列方程.设顺水行驶x个小时，则逆水行驶(80x)个小时，有方程：25x15(80x)，解得x30，故最远行驶距离为2530750千米.某军舰接到任务要在A、B两港之间往返一次，限时24小时，根据水速为5千米每时这个条件，舰长计算出此军舰的静水航行速度保持在30千米每时，恰好能完成任务.请求出A、B两港间的距离.【分析】设顺水航行x小时，则逆水航行(24x)小时，根据顺水路程等于逆水路程，有方程35x25(24x)，解得x10，故距离为3510350千米.第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）7\n1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行.东东每分钟走63米，明明每分钟走62米.经过几分钟才能相遇？【分析】500(6362)4分钟.2.在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【分析】速度和是16004400米每分，速差是16002080米每分，故较快的人速度是(40080)2240米每分，较慢的人速度是400240160米每分.3.一列从西向东行驶的火车车速为每秒15米，车身长300米，8点整它追上在铁路旁从西向东跑步的艾迪，并于25秒后离开了他.请问艾迪跑步的速度是多少？【分析】速度差是3002512米每秒，艾迪的速度是15123米每秒.4.艾迪沿着铁轨旁的小路散步，迎面而来一列长198米的火车.若艾迪速度为1米/秒，火车从车头到车尾经过他身边共用了9秒，求火车速度.【分析】速度和是198922米每秒，艾迪的速度是22121米每秒.5.艾迪在河里逆流而上游泳的时候在A处丢失一只水壶，他向前又游了10分钟后，才发现丢了水壶，随后立即返回追寻，再过多久才能追回水壶？【分析】方法一：差距为10(vvv)10v，故追及时间为10v(vvv)10分钟.人水水人人人水水方法二：水中两个物体相遇、追及的时间与水速无关，故游走10分钟，游回来也是10分钟.6.甲乙两船分别从相距150千米的A、B两港同时出发，相向而行.A是上游港口，B是下游港口.甲船的静水速度是20千米每时，乙船的静水速度是10千米每时，两船在C点相遇.之后两船都到达了各自的目的地.第二天甲从B港回到A港，乙从A港回到B港，两船在D点相遇.请求出C、D两点间的距离.【分析】方法一：相遇时间不变，都是150(2010)5小时，第一次距A(20v)51005v千米，水水第二次距A(10v)5505v，故答案是(1005v)(505v)50千米.水水水水方法二：水速的大小、方向没有改变，故水速对两次相遇地点的影响是相同的，无水速时，距离是两者路程差：150(2010)(2010)50千米，有水速时照样是50千米.7.一艘轮船在两港之间航行，水速为6千米每时，已知此船顺流而下需4小时，逆流而上需7小时，请根第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）8\n据条件求出两港距离.【分析】设船静水速度是x千米每时，则有方程4(x6)7(x6)，解得x22，故答案是4(226)112千米.1.一次10道题的测验，甲乙丙分别对了5、7、9道题，那么他们三人都对的题目最少有多少道？【分析】三人共对了57921道题，若要三人都对的题目最少，则须只有2人做对的题目最多，213129，故本题理论上最小值是1道.构造例子：甲对1、2、3、4、5，乙对1、2、6、7、8、9、10，丙对1、3、4、5、6、7、8、9、10.2.解下列方程组：2xy52xy5（1）（2）xy13x4y6【分析】（1）两式相加得3x18，故x6，代回原式知y7；（2）下式乘以2减去上式，得7y7，故y1，代回原式知x2.3.把(10201)3改写成十进制数.420【分析】(10201)(132313)(81181)(100)3101010你坐过火车吗？如果只给你一块秒表，你有办法测出火车行驶的速度吗？2第10讲相遇与追及综合（优秀C教师版）9