2014年1月寒假班教师版讲义（五年级超常班）\n致全体教师的一封信各位老师：我们即将迎来寒假班的连续上课，提前向大家道一声：“大家辛苦了！”而且我们总部教研研发了寒假班五年级的全新课程，为了方便大家授课，现把课程的具体情况介绍给大家。寒假班五年级采用了全新的编写模式，由专业的设计师和教研员共同设计打造了把数学知识与故事、漫画巧妙结合起来的全新讲义因此强烈建议教师备课过程中一定要看学生版！寒假班五年级的每一讲课程整体上分为预习、学习、复习三个阶段。预习阶段包括知识GPS和图片引入两部分。一、知识GPS中包括本讲要内容、前铺知识（要学习本讲知识必须具备的相关知识点）、后续知识（学完本讲内容后才可继续学习的知识点）、课前测试（学习本讲前对自己的定位，希望老师要求学生课前做完）二、图片引入教师可以在学生版上看到相应的图片和相关的故事情节。学习阶段又从六道例题变为三个模块（A版第一、四、六讲只有两个模块）一、前两个模块在学生版中会以故事、漫画的形式将知识点讲解，方便学生自学。二、部分例题下配备相应的练一练方便学生练习。三、每讲一道本讲知识与其他板块知识相关的综合例题，方便学生体会知识点在板块间的联系。四、在学完前两个模块后，本讲知识基本学完，因此在模块二后有笔记整理的板块，方便学生对本讲知识的梳理，希望老师对本讲知识梳理后再继续下一个模块；模块三是杯赛提高和综合。让不同需求的学生能够及时找到适合自己难度的真题训练，并了解考点应用的状况。复习阶段包括本讲巩固、复习巩固、开放试题。一、本讲巩固：A、B版各5题，超常体系7题复习本讲所学内容。二、复习巩固各个版本都是3题，复习本讲前的三讲所学内容，第一、二、三讲就会有复习秋季班所学内容。希望老师再讲作业时不断复习所学内容。三、开放试题目的是激发学生解决实际问题的兴趣，同时达到家长和学生互动的效果。最后还有知识拼图和小故事，知识拼图环节，一是让学生体会板块内知识的前后联系，二是让学生在猜、收集板块过程中激发学生学习兴趣；小故事还是延续以前品格教育。寒假班五年级讲义故事内容大致是：艾迪、薇儿在给博士过生日时，博士突然生病，小伙伴为了救博士，踏上了积攒四种药材的征途，途中还认识了大宽。经过千辛万苦终于治好了博士，不过博士突然接到总部电话，大家又有新任务，即将在五年级春季班上演，同时春季班将有四、五两个年级开始全新的讲义编写，敬请期待！学而思总部教研\n\n第一讲第一讲长方体与正方体预习一、知识GPS:本讲内容初步认识长方体与正方体；计算相关长方体与正方体的表面积与体积；运用三视图法求堆积体的表面积，运用排水法求水高.前铺知识有趣的立体图形——一年级秋季第3讲（第1级下）长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）后续知识立体图形和空间想象——五年级春季第11讲（第10级下）圆柱与圆锥——六年级秋季第2讲（第11级下）课前测试难度一：观察一下爸爸妈妈的手机，看看它有几个面？每个面是什么图形？难度二：想一想商品的包装盒有几个面，每个面都是什么图形？难度三：想一想最少用几个正方形铁皮可以组成一个盛水的容器？二、引入1.在美丽的海底环境中，生活着一种五彩的鱼——海葵鱼，俗名叫做小丑鱼，因为他们喜欢和海葵一起居住从而得名海葵鱼。小丑鱼色泽五彩缤纷，非常活泼，泳姿左摇右摆，有天生的地盘倾向．已知1升水可以让1厘米长的小丑鱼生活的很愉快，成年海葵鱼会长到10厘米左右，那么一个长60厘米，宽40厘米，高50厘米的鱼缸可以养多少只海葵鱼？2.薇儿送给博士的长35厘米，宽40厘米，高55厘米的长方体的礼物用了精美的包装纸进行包装，那么薇儿到底用了多少包装纸呢？3.中央电视台总部大楼位于北京市朝阳区东三环中路，内含央视总部大楼、电视文化中心、服务楼、庆典广场。由荷兰人雷姆·库哈斯和德国人奥雷·舍人带领大都会建筑事务所（OMA）设计。那么它的表面积怎么计算呢？第10级上超常体系教师版1\n学习模块一：长方体与正方体的基本概念例1（1）请计算博士家的微波炉、电冰箱和电视机的表面积。看看谁的表面积最大。（电视机：长60厘米，宽30厘米，高40厘米；冰箱:长480毫米，宽500毫米，高1300毫米；微波炉：长5分米，宽3分米，高4分米）（2）科学研究表明，1千克的水在不同温度下的体积是不一样的，我们把1千克水放在长为200毫米，宽为100毫米的相同的鱼缸中，在不同的温度下，请计算它们的体积。（其中4℃时，水深为50毫米；20℃时，水深为50.1毫米；90℃时，水深为52.2毫米）（3）拿起你的尺子，测量一下你的数学课本的长宽高，计算它的表面积和体积。【分析】（1）电视机：2(603060403040)10800（平方厘米）；冰箱：2(48050048013005001300)3028000（平方毫米）30280（平方厘米）微波炉：2(535434)94（平方分米）9400（平方厘米）.因此冰箱的表面积最大.（2）4℃时水的体积为：200100501000000（立方毫米）20℃时水的体积为：20010050.11002000（立方毫米）90℃时水的体积为：20010052.21044000（立方毫米）.综合一个150324375的长方体由111的小正方体粘合在一起做成的，这长方体的一条体对角线穿过多少个小正方体的内部？【分析】本题可以理解为长方体的长为150、宽为324、高为375，长的方向有151个平行平面，宽的方向有325个平行平面，高的方向有376个平行平面，体对角线恰好穿过了这些平面，每穿过一个平面就穿过一个小正方体，但会出现一个小正方体被计算过3次、2次、1次的可能，因此可以运用容斥原理解答（根据植树问题，其中体对角线只计算一端即可），因此体对角线被分成了150324375(150,324)(150,375)(324,375)(150,324,375)768段，也就是体对角线穿过了768个小正方体例22第10级上超常体系教师版\n第一讲蛋糕是长方体的形状，长：50厘米，宽45厘米，高20厘米（1）如果我们把给博士的蛋糕沿竖直方向平均切成两个部分，分开后，表面积的和为多少？（2）如果我们把给博士的蛋糕沿竖直方向平均切成三个部分，分开后，表面积的和为多少？（3）如果我们把给博士的蛋糕沿三个方向各切成几个部分，分开后，表面积的和为多少？【分析】蛋糕表面积为2(504550202045)8300（平方厘米）（1）83002452010100（平方厘米）（2）83004452011900（平方厘米）（3）283002452018400（平方厘米）练一练一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．22【分析】设大长方体的宽(高)为a分米，则长为2a，右(左)面积为a，其余面的面积为2a，根据题2222意，22a8a62a600所以a25，a5．大长方体的体积2555250(立方分米)．例3如图，有一个棱长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的棱长是多少厘米？第10级上超常体系教师版3\n【分析】大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．练一练从一个棱长为10厘米的正方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1图2图3图4模块二：三视图法求表面积例4把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积．【分析】观察堆积体的三视图如下．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2个左面2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：104第10级上超常体系教师版\n第一讲平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254(平方厘米)．主视图俯视图左视图练一练有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成黄色．求被涂成黄色的表面积．【分析】44(1234)456(平方米)．例5(1)21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形(如中下图)，它的表面积是____平方厘米.(2)13个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形(如右下图)，它的表面积是____平方厘米.【分析】(1)左右面积为：12×2=24；上下面积为：7×2=14；前后面积为：9×2=18；还有一个凹槽，所以，其表面积为24+14+18+2=58平方厘米。(2)上下面积为8×2=16（平方厘米），前后面积为8×2=16（平方厘米），左右面积为6×2=12（平方厘米），注意此图也有凹槽，此立体图形的表面积共16+16+12+4=48平方厘米第10级上超常体系教师版5\n例6小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了_____块木块，最少用了______块木块。【分析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。312331002122002031230003因此最多有25块，最少有9块.笔记整理1.长方体与正方体长方体正方体(特殊的长方体)顶点88面6(对面全等)6(所有面都全等)棱12(4长4高4宽分别相等)12(所有棱长都相等)2表面积2(abbcac)6a3体积abca2.三视图法求表面积：先俯后正侧检验；面积乘2加凹槽.模块三：阿基米德原理例7博士的鱼缸长50厘米，宽50厘米，高40厘米，其中水面高35厘米，现有很多块0.0005立方米的海水石头沉没于水中，请问艾迪放多少块进去水会溢出？【分析】鱼缸中没有水的体积为5050512500（立方厘米）=0.0125（立方米），0.01250.000525（块）例8如图，一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三水池的水，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱体铁块竖直放入水池，水面的高度为多少分米？（2）如果再竖直放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？6第10级上超常体系教师版\n第一讲（3）如果再竖直放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？【分析】(1)若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为：301092700立方分米，而现在放入的圆柱的底面积为：3301130平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆柱即为有水部分，则水面高度为：27003003010分米。（2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底面积为：300302240平方分米，则水面高度为：270024011.25分米。由于在此种情况下，已超过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为270033023360立方分米。则高应为336030011.2分米；（3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过12，有水溢出，此时水面高度应为12分米。复习家庭作业一、本讲巩固1.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【分析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166（平方米），一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618（平方米）．2.图中是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？第10级上超常体系教师版7\n【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了4个平面。则该玩具的表面积为6×4×4+6×4×1=120平方厘米。如若挖空，则可先求最外面的面积为644690，而内部的表面积之和为32232232236，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为126平方厘米。3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方厘米？【分析】三视图法：从前往后看：7；从左往右看：7；从上往下看：9；则这个图形的表面积为：2(779)46（平方厘米）。4.下图是由11个棱长为1的小正方体构成的几何体，求这个图形的表面积。【分析】由三视图及凹槽可知表面积为（7+5+7+2）×2=425.如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体图形，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问:所堆的立体图形的体积至少是多少？正视图俯视图侧视图【分析】本题还原的技巧在于反用“切片法”:第一步，根据俯视图，最底层必有这么11个，这是不能再少的；第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块；第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求∶8第10级上超常体系教师版\n第一讲所堆的立体图形的体积至少是11+7=18。当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件。6.将一个底面积是16平方厘米，高为10厘米的长方体铁块竖放在一只底面积是80平方厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯中，玻璃杯里面装有水:①若水深变为10厘米时，放入铁块后水深是多少厘米？②若水深变为8厘米时，放入铁块后水深是多少厘米？【分析】空玻璃杯的容积为80×15=1200立方厘米，铁块体积16×12=192立方厘米。①当水深10厘米，80101929921200，则水未溢出玻璃杯，但还要判断是否没过铁块，8010801612.5，因为12.512，所以此时水已淹没过铁块，水深为801016128012.4，所以现在水深12.4厘米。②水深8厘米时，放入铁块一定不会有水溢出玻璃杯，808801610厘米，因为10<12，所以此时水没有淹没铁块，因此水深为10厘米。7.将一个底面积是16平方厘米，高为10厘米的长方体铁块竖放在一只底面积是80平方厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯中，玻璃杯里面装有水，若水深为13厘米时，放入铁块后水深是多少厘米?【分析】当水深13厘米时，801319212321200，水将溢出玻璃杯，此时水深15厘米。二、复习巩固1.如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？AANGGNMMBDEFCBDEFC【分析】连接CM、CN．根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，S:SBDCD:1:3，所以△ABM△CBM△ABM△ACM1SS；△ABM△ABC5再根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，所以S:SS:S4:3，△ABN△CBN△ABN△FBN△CBN△FBNS142△ANG所以ANNF:4:3，那么，所以S2437△AFC2515SFCGN1S△AFCS△ABCS△ABC．7742815根据题意，有SS7.2，可得S336(平方厘米)△ABC△ABC△ABC528第10级上超常体系教师版9\n2.已知x、y满足xy[]2009，{}yy20.09；其中[]x表示不大于x的最大整数，{}x表示x的小数部分，即{}xx[]x，那么x_______【分析】根据题意，[]y是整数，所以xy2009[]也是整数，那么{}xx[]0x，由此可得yx20.09{}20.09020.09，所以[]20y，xy2009[]2009201989。3.包包、涛涛两人从A地到B地，包包前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；涛涛前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。已知包包比涛涛早到30秒，A地到B地的路程是千米。1【分析】设A地到B地的路程是6x千米，30秒小时，列解方程：3x3x2x2x2x1()()5454.541203解得x236x692所以A地到B地的路程是9千米。开放试题找一找你家中的长方体，并说出它的名字，然后测量它的长、宽、高，如果测量有困难，可以向父母求助，一起测量，然后计算长方体的体积和表面积家长签字10第10级上超常体系教师版\n第二讲第二讲数表——从杨辉三角谈起预习一、知识GPS:本讲内容杨辉三角性质及结论，自然数数表问题，数表综合应用前铺知识等差数列初步——三年级春季（第6级下）等差数列进阶——四年级暑假（第7级上）数表-从日历谈起——四年级寒假（第7级下）后续知识数列数表总复习——六年级春季（第12级下）课前测试难度一：观察下边的两个数列，看看有什么规律？1,4,7,10,13,16……1,2,4,7,11,16……难度二：观察下边的几个数列，看看有什么规律？1,1,1,1,1,1,1……1,2,3,4,5,6,7……1,3,6,10,15,21,28……1,4,10,20,35,56,84……难度三：想一想上面的几个数列，试一试竖着看有什么规律？斜着看又有什么规律？第10级上超常体系教师版1\n学习模块一：杨辉三角例1下面是按规律排列的杨辉三角：1……第一行11……第二行.121.1331.1464115101051………………………图(1)图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n行的所有数之和是________.【分析】⑴根据题意：每一行第2个数是n1；所以第8行第2个数是7.(2)1+2+3++6=21．老师可拓展到第n行的第3个数．n1101(3)第n行的和是2，所以第10行所有数的和是2512.【练一练】杨辉三角中，第101行中左起第三个数是．【分析】考查学生对杨辉三角形特性的认识．第三行左起第三个数是11；第四行左起第三个数是312；第五行左起第三个数是6123；第六行左起第三个数是101234；……99100归纳可知，第101行左起第三个数是123994950.22或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足C，所以第101行的第三个数是n12210099CC4950.101110022第10级上超常体系教师版\n第二讲例2下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631（1）在方格中填上第五行的各个数．（2）求第10行各数的和．【分析】由数表可以得到如下的规律，(a)两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；n-1(b)每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n行数的和是3，由此解决．(1)1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；9(2)3=19683；综合（数表与数论中整除的综合运用）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，如下图所示的三角形数表，第一个三角形数表中有1个点，第二个三角形数表有3个点，第三个三角形数表有6个点，…将1、3、6、10…记为“三角形数”，那么第19个能被5整除的“三角形数”是___________。13610nn(1)nn(1)【分析】观察三角形数规律.123n，要想被5整除，即有5k，即存在22nn(1)10k，n和n1连续自然数，一奇一偶，所以只需考虑5的倍数，在任意连续5个自然数里面存在2个满足条件的，满足条件的有：n45910、、、等；第19个n49，此时4950三角形数是1225。2第10级上超常体系教师版3\n例3111111111如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有=+、=+、=+、……、则第111222363412行第2个数（从左往右数）为________。11112211136311114121241111152030205【分析】“莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每一行的第一数均为行数的倒数，且每11一个数等于下一行中“脚踩”的两个数的和，第10行第一个数是.第11行第一个数是，1011111则第11行第2个数是。1011110模块二：自然数表例4如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：（1）200排在第几行，第几列？（2）第18行第22列的数是多少？1247111635812176913101415【分析】（1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次增加1，每一列的相邻两个数的差依次增加1，所以12345678910111213141516171819190，得到190排第19行第1列，191排在第1行第20列.所以200排在10行第11列；（由原数表转化到下数表，原数表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中．）4第10级上超常体系教师版\n第二讲1326541098715141312111716（2）第18行的第1个数为：12318171.公差为18.所以第22列，为17118192038759例5如图所示，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数.“1”所处的位置为第1行；“2、3、4”所处的位置为第2行；……请问：13246857911131510121416182022241719212325.................(1)第15行正中间的数是多少？(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少？(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？【分析】（1）由于第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，……，则第n行有(2n-1)个数，根据题意，第15行有29个数.第15行的最后一个数为：13579..29225.由于第15行有29个数，则其中间数为：22514211；（2）根据题意，第11行中共有：21个数，则有第12行中最后一个数为144.观察可知，偶数行时，奇数部分为空白部分.由于第11行中的最后一个数为121.所以第12行中所有空白部分的数字为：123、125、…、143，他们的和为：123125143(123143)1121463；（3）根据题意，第1行阴影部分比空白部分多：1个；2第2行阴影部分比空白部分多：12；2第3行阴影部分比空白部分多：23；2第4行阴影部分比空白部分多：34；2第5行阴影部分比空白部分多：45；2第6行阴影部分比空白部分多：56；2第7行阴影部分比空白部分多：67；2第8行阴影部分比空白部分多：78；7815所以他们的和为：361766第10级上超常体系教师版5\n练一练：把奇数数列排成如下图所示的三角形数表，则表中的奇数2007是第_____行第____个数。135791113151719nn(1)【分析】上面数表每n行有n个数，所以前n行一共有123n个数，从小到大2排列。先计算2007是第(20071)21004个奇数；244(441)452025；前44行一共有990个数。2100499014，所以2007是第45行第14个数。例6如图的数表恰好有19行（5行以后的并未画出），那么：（1）共有__________个数；（2）第19行中间的数为___________；（3）第10行所有数的和为____________.124579101214161719212325………………【分析】首先找规律：第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n行有n个数；22第1行的第1个数是1，第2行的第1个数是211，第3行的第1个数是521……22第n行的第1个数是n11，第n个数是n；每行都是公差为2的等差数列;那么(1)19行共有12......19190个数2(2)19行的第1个数是1911325，19行的中间数是第10个数，那么它是3252101343.22(3)第10行第一个数是9182，第10个数是10100，一共有10个数，(82100)10910.26第10级上超常体系教师版\n第二讲笔记整理一、杨辉三角的特征：1.杨辉三角的数关系：每一个数都等于肩膀两个数之和.2.杨辉三角的数列关系：每个斜行都可以构成等差数列，从上到下公差依次递增.n3.杨辉三角的组合关系：若数在第m行，第n列，则数为C.m4.杨辉三角的对称关系：数表每行中的数左右对称.n5.杨辉三角的数和关系：数表每行的数和为2.二、其他数表的特征：1.莱布尼兹调和三角形：每一个数等于它脚踩两数的和.2.自然数表：每行数的个数为等差数列.3.阶梯数表：每行数的个数为等差数列，每列的数为等差数列或二级等差数列.模块三：数表综合应用例7如图所示数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右都是无限项，则这个数表中的第13行中第10个数是__________.123456735791113812162024【分析】研究这个数表，可以得到规律：某数是其上间隔一行，垂直位置的数的4倍．因此第13行2第10个数，是第11行第11个数的4倍、第9行第12个数的4倍，直至第1行第16个数661616“16”的4倍．因此这个数为16×4=2，故答案为2.4倍的关系可以用下图来证明：设四个数分别为ndnndn,,,,2dndnndn2d2-2ndnd2n3d44nn4d4(2nd)例8观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，…（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1）．如果表n中的各数之和等于15505，那么n等于________．第10级上超常体系教师版7\n3333322232223121232123…2223222333333表1表2表3【分析】每增加一层，增加的个数数列为4×2,4×4，4×6,4×8……。所以到表n的和为1242344446548nn42(1)18[2132435465nn(1)]118(n1)(nn1)312有：18(n1)(nn1)15505，即(n1)(nn1)5814231719，解得n=18。3复习家庭作业一、本讲巩固1.把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第200个数是多少？526137489【分析】观察规律.第n列有(21n)的数。以1开头的行中，第200个数也就是第200列第200个数，它们都是自然数列，所以135(21991)20039801。2.给出等腰梯形数表的前五行如图：则第n行中所有数之和是__________.8第10级上超常体系教师版\n第二讲0100111001232100136763100141016191610410【分析】根据题意，分析可得：第1行中所有数之和S1=0+1+0=1，第2行中所有数之和S2=0+1+1+1+0=3，2第3行中所有数之和S3=0+1+2+3+2+1+0=9=3，3第4行中所有数之和S4=27=3，…n-1第n行中所有数之和Sn=3，n-1故答案为3．3.把自然数按如下规律排成三角形数表：如4在从上到下数的第3行，从左往右数的第3个数，那么自然数2013在从上到下数的第________行，从左往右数的第________个数。123654789101211【分析】观察规律.第n行有n个数，奇数行是从大数到小数，偶数行是从小到大；nn(1)263(631)123n，654225，20162013，201620133，所22以2013是63行第4个数。4.把自然数依次排成以下数阵：1，2，4，7，…3，5，8，…6，9，…10，……如果规定横为行，纵为列.（如8排在第2行第3列）求：⑴第10行第5列排的是哪个数？⑵第5行第10列排的是哪个数？【分析】法1：这个问题可以从两个方面找规律．⑴第一行是：1，2，4，7，11，…；它们相邻两个数之差是1，2，3，4，5，…．第二行是：3，5，8，12，…；它们相邻两数之差是2，3，4，5…，列也有类似的规律.这样，第10行第一列的数应是：12341055．又因为第10行中，相邻两数的差依次是：10，11，12，13，…．所以，第10行第5列的数是：5510111213101.⑵第5行第10列的数是：(12345)(5678910111213)96.以上是先考虑行，再考虑列，也可以先考虑列，再考虑行.第10级上超常体系教师版9\n法2：同一斜线上的数的”行数+列数”是个固定数．第(5+10-1)＝14斜线上的最大数为(141)14105，第10行第5列的数为105-5+1＝101，第5行第10列的数为105-10+12＝965.自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............【分析】观察规律.第n行有(21n)个数，并且都是奇数。先算有135(2591)53486个奇数，所以60行第5个数是3486216971。6.如图，将1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？12131415上3行678上2行23上1行10行54下1行11109下2行19181716下3行2【分析】（1）下n行从左向右第(n1)个数（即最右数）为(n1)；故下5行从左向右第6个数为36，下5行从左向右第5个数为37；（2）上n行从左向右第1个数（即最左数）为nn(1)；故上6行最左数为42；（3）上44行从左向右第1个数为44451980，故2013为上44行从左向右第20131980134个数.7.给出一个“三角形”的数表如下：1第10级上超常体系教师版0\n第二讲01239969979989991351993199519974839883992127980此表构成的规则是：第一行0、1、2…999，以后下一行的数都是上一行相邻两数的和，问：第4行中能被999整除的数是_________.【分析】设四个数分别为n1,,nn1,n2n1nn1n22-12nn12n344nn44(2n1)因为999与4互质，所以第4行中999的倍数也是999×4＝3996的倍数．即2n1999，解得n499．因此3996符合条件；之后可试验3996的2倍，3倍及3倍以上的数n均不存在，说明第4行只有一个999的倍数．即3996二、复习巩固1.规定一种运算“※”：ab※表示求ab、两个数的差，即用ab、中较大的数减去较小的数，例如：5※4=5-4=1，1441366660※，※。那么，请按规定把下式化简。200620062006200620062006※1※2※3※4※5※6665665665665665665200620062006200620062006【分析】原式12345666566566566566566520062006200620062006200612345666566566566566566545612392.甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地：甲出发5分钟后，乙以每分钟80米的速度从B地出发去A地；结果他们在距两地中点100米的某处相遇，A、B两地相距米.【分析】设乙走了x分钟与甲相遇，根据题意知甲乙二人的路程差为200米，因此有60(xx5)80200或80xx60(5)200，解得x5或x25，因此A、B两地相距60108051000（米）或60(255)80253800（米）.3.用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是平方厘米。甲乙【分析】由图中可知，假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，那么假设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，那么宽就是3aa232，那么小长方体的体第10级上超常体系教师版11\n积就应该是3a2a3a6a，说明a的三次方是125，那么a=5，小长方体的长宽高分别是15、10、5，那么根据图形列出算式：30153015151522250平方厘米。开放试题下图为2014年1月份的日历，在日历中画出了一个最大的等腰三角形。按照这样的方法，观察你家中的日历。想一想数表中包含着什么规律？每行每列的数字相差多少？不同月份的三角形形状和顶点数字是否相同？1第10级上超常体系教师版2\n第三讲第三讲比例应用题预习一、知识GPS:本讲内容学习基本的按份数解比例应用题，化连比，寻找不变量的方法。前铺知识比和比例——五年级暑假第10讲（第9级上）分数应用题——五年级秋季第4讲（第9级下）后续知识浓度问题——五年级春季第6讲（第10级下）比例解行程——五年级春季第10讲（第10级下）课前测试难度一：a是b的2倍，是c的3倍，是d的4倍，是e的6倍．若a是1，那么bcde,,,分别为多少按大小顺序排列各数．难度二：按照排列顺序，试着将相邻的两个数写成比的形式，并化为最简比．难度三：试着用一个式子表示abcd,,,四个分数的比例关系，看看有什么规律？能不能把五个数写成连比的形式呢？并化简比。（连比即abcde::::）学习模块一：基本的比例应用题例122已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的，那么甲的、乙的2倍、丙的一半，33这三个数的比为多少？第10级上超常体系教师版1\n2【分析】甲的一半、乙的2倍、丙的这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为3121321:12:1即2::，化简为4:1:3，那么甲的、乙的2倍、丙的一半这三232232183个数的比为4:12:3即:2:，化简为16:12:9.3232例2学校把购进的图书的60%按2:3:4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？【分析】56÷4×（2+3+4）÷60%=210本【练一练】传说印度数学家花拉子密（al-khawarizmi，公元780─850）在他太太怀第一胎时，写了一份遗嘱，内容为：如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果生女儿，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。不幸地，在小孩出生前，花拉子密就去世了，遗下了168两黄金的遗产。而老天作弄人，他的妻子竟然生下一对双胞胎，一男一女。聪明的你，请帮他们依照符合花拉子密的遗愿的方式公平地分配这笔遗产吧！请问儿子可分得多少两黄金？【分析】根据题意妻子与儿子的分配比例是1:2，妻子与女儿的分配比例是2:1，所以妻子、儿子、4女儿的分配比例是2:4:1，所以儿子分得16896（两）124综合（比例与几何中平面图形的综合）41如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，5611圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积占圆C面积的．求圆A、圆B、圆C53的面积之比．ACB【分析】设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则根据题意有5BC5BCABC6xy，x，y，于是得到BC6，这个式子可化4534535简为BC15，所以ABC20C.最后得到ABC::20:15:1.42第10级上超常体系教师版\n第三讲例3加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?111【分析】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为::28:24:21，那么在相同的时间内，33.5428三人完成的工作量之比也是28:24:21，所以甲加工了36501400个零件，乙2824212421加工了36501200个零件，丙加工了36501050个零件。282421282421模块二：不变量应用题例41一个真分数，如果分子、分母同时都加上11，约分后等于；如果分子、分母同时都加上23，约411分后等于.那么，分子、分母都加上___________后，分数约分后等于.32【分析】由于分子、分母都加相同的数，所以约分前后分母与分子的差应相同，都差[2,3]6，因121316此，，，分子、分母都加上23(2311)(98)(129)59后，分数48392121约分后等于2.例5一件玩具售价3元．如果小明买了这件玩具，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买了这件玩具，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？55【分析】法1：由已知，小强的钱相当于小明、小强买玩具后所剩钱数和的，小明的钱相25788当于小明、小强买玩具后钱数和的，所以小明、小强的钱数的比值为8+132185:8:15，而小明买玩具后小明、小强的钱数之比为2:56:15，所以小明买玩具前后217431的钱数之比为8:64:3，所以玩具的售价等于小明原来钱数的，所以小明的钱数441为312元.4法2：小明买玩具和小强买玩具两种情况，两人剩余钱数之和相同，所以可以统一总份数为[(25),(813)]21份，2:56:15，所以可看出3元的玩具占两份，1份钱是321.5元，小明原来有1.5812元法3：设小明原有x元，小强原有y元．第10级上超常体系教师版3\n根据题意可列出如下方程：x32y52yx515x12，利用交叉相乘，化简此方程组得：，进而解得：x88yx2413y22.5y313【练一练】某学校六年级有原有三个班，现要将三班的同学分插到一班和二班，如果将三班的学生的一半分到一班，另一半分到二班，则新的两班的人数之比为7：8；如果将三班的学生53的分到一班，另外分到二班，则新的两班人数相等，那么原来一班、二班和三班的88人数之比为_________。【分析】方法一：由于三个班的人数和相同，所以插班后一班与二班的人数比为7:814:16，531:115:15，又因为三班人数也不变，所以三班分配比例是1:14:4，:5:3，所以88原来一班、二班和三班的人数之比为(144):(164):(44)5:6:4方法二：设一班原有x份人，二班原有y份人，三班原有8份人，可以列出方程组（x+4）:（y+4）=7:8（x+5）:（y+3）=1:1解出x=10，y=12，所以三者之比为5:6:4例6某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．1033311【分析】法1：设总人数为1，则甲组男会员为，女会员为，1087311010310851133乙组男会员为，女会员为；1087535552533112139丙组男会员为，女会员为；3+2105103+210255019所以，丙组中男、女会员人数之比为:5:9．1050法2：三组人数之比为10：8：7=20：16：14（扩倍是因为甲组人共4份），共20+16+14=50份。而总的男，女会员之比为3：2=30：20，可列出下表：甲20乙16丙14男30151030-15-10=5女205614-5=9因此丙组的男女会员之比为5：94第10级上超常体系教师版\n第三讲笔记整理定义两个或多个数量之间份数关系的数学表达式比基本含义性质前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变比例应用题基本问化连比找两个比中的相同量的最小公倍数题按比分配已知总量和总量的份数，求出分量的值比例应用题进阶问和不变在其他量发生变化中，两个量的和是一个定值题差不变在其他量发生变化中，两个量的差是一个定值模块三：综合的比例应用题例7一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是AB:1:2，BC:1:2．而在图⑵中相应的比例是AB':'1:3，BC':'1:3.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去D的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积．ACA'C'BDB'D'⑴⑵【分析】因为AB:1:2，BC:1:2，所以AC:1:4；因为AB':'1:3，BC':'1:3，所以AC':'1:9，设长方形的长为a,宽为b,得：32bb431．943aa105得ab:5:2．又ab56228所以a20，b8．所以长方形面积208160．例8A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【分析】法1：根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3．设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：第10级上超常体系教师版5\n2kx2ky13ky3kz2kz13kx2kx将(3)代入(2)，得ky4，32kx4将(4)代入(1)，得22kx，x，37k463将x代入(1)，得y．代入(3)，得z．7k7k7k463甲、乙、丙三队的工作效率的连比是::4:6:3．777kkk（注：也可以直接设甲、乙、丙完成的工作量分别为x、y、z，避免出现k）法2：把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3，设甲未完成的工作量是x，则甲完成的工作量是1x，丙完成的工作量也是x，未完成的工作1xxx量是3x，乙完成的工作量是(3x)1，乙未完成的工作量是2(1)1，得33331x3463到1x(1)，解得x，所以甲、乙、丙完成的工作量分别为、、，而时间237777463相同，所以工作效率的比就是工作量的比，为::4:6:3777复习家庭作业一、本讲巩固1.(1)ab:3:2,:ac3:5，则abc::________(2)ab:4:3,:bc2:1，则abc::________(3)ab:2:3,:bc2:3,:cd2:3，则abcd:::________111(4)若abc::1:2:3，则::_____abc123(5)::_____234【分析】(1)3：2：5；(2)8：6：3；(3)8：12：18：27；(4)6：3：2；(5)6：8：92.有一个长方形操场，周长280米，长和宽的比是4∶3，这个操场的长和宽各是多少？【分析】周长280，则长和宽的和是140，按比分配得长为140÷（4+3）×4=80米，宽为140-80=60米。3.加工某种机器零件,要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成8个，第二道工序每个人每小时可完成12个，第三道工序每个人每小时可完成16个，现在车间有130人，为了均衡生产，提高效率，三道工序各应安排多少工人？6第10级上超常体系教师版\n第三讲【分析】8、12和16的最小公倍数为4848÷8=6，48÷12=4，48÷16=3，因此三道工序要安排的人数之比为6：4：3.而6+4+3=13。130÷13=10，所以三道工序的人应各安排60，40和30人4.甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是7：8，获奖人数之比是2：3，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有人【分析】法1：设甲、乙两校参加希望杯的学生人数各有7x人，8x人。根据题意列方程得(7xx320)(8::320)23，解得x64。两校参加人数为7x8x15x960人。法2：因为725，835。所以设甲乙两校人数各是7份，8份，则320对应的就是5份，两校参加人数为3205(78)960（人）5.一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？【分析】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:110:5变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为4591050(枚)，白棋的个数为5021540(枚)．6.某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【分析】会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为50x人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：5224(50xx)56，解得x18．即丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可832得丙组男会员人数为1812人．37.六（1）班有一些同学周末去郊外登山．男生背蓝色旅行包，女生背红色旅行包，他们每人都只能看到别人背的旅行包，其中一位女生说“我看到的红色旅行包与蓝色旅行包个数的比是5∶3．”1另一位男生说：“我看到蓝色旅行包个数是红色旅行包的．如果这两位同学说的都对，那么参2加登山的男、女同学各有多少人？”【分析】由于每个人不能看到自己背的包，所以除了一个人外剩下的背包和是相同的，所以除一个背包外，红色旅行包与蓝色旅行包个数的比是5:315:9，2:116:8，所以共有蓝色旅行包1(1615)99（个），红色旅行包有1(1615)1616（个），因此男生有9人，女生有16人二、复习巩固1.AB两地相距12千米，巍巍从A地到B地，在B地停留半小时后，又从B地返回A地，涛涛从B地到A地，在A地停留40分钟后，又从A地返回B地，已知两人同时分别从A、B两地出发，经过4小时后，在他们各自返回的路上相遇．如果巍巍的速度比涛涛的速度每小时快1.5千米，求两人的速度【分析】设涛涛的速度为x千米/时，则巍巍的速度是(x1.5)千米/时，两人第二次相遇共走了三个全程，列方程得2xx(4)(1.5)(40.5)1233第10级上超常体系教师版7\n51236x64解得x4.5则x1.54.51.56所以巍巍的速度是6千米/时，涛涛的速度是4.5千米/时2.一个立方体的棱长增加20%，则这个立方体的表面积将增加____________.【分析】表面积增加的和每一个面增加的一样。为44%3.把自然数从1开始，排列成如图的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴。在以1开头的行中，如果我们把13视为“第1项”，则“第2009项”的数除以7的余数是。…5…26…137…48…9……22222【分析】方法一：1111，3221，7331，13441，…，有第n项为nn12第2012个数是2012201214016133，该数除以7的余数为0。方法二：以1开头的行中的数构成数列：1、3、7、13、21⋯⋯，不难发现规律是：这个数列相邻两个数的差构成首项是2、公差是2的等差数列。所以这个数列的第2012项是12462011122124640224046133，这个数除以7的余数是0。开放试题如果你有800万，可以有以下项目可以选择投放：（1）资助一名优秀的贫困大学生；（2）帮助一个村庄建一所小学；（3）资助国家的交通建设；（4）资助国家的体育建设；（5）其他：。你会选择其中的几项来完成，每一项投放的比是多少？计算具体是多少钱。为什么这样选择？8第10级上超常体系教师版\n第四讲第四讲时钟问题预习一、知识GPS:本讲内容简单的钟面角度问题；时针和分针重合问题，形成各种角度的问题；钟表中的相遇与追及问题；坏钟问题前铺知识相遇问题——四年级暑假第4讲（七级上）追及问题——四年级暑假第5讲（七级上）后续知识比例法解行程——五年级春季第9讲（十级下）多次相遇与追及——六年级暑假第11讲（十一级上）课前测试难度一：看看家里的钟表，想一想秒针走一圈要多久？分针走一圈要多久？难度二：想一想一小时秒针会走多少圈？会遇到时针多少次？难度三：想一想一小时分针和时针会遇到多少次？下一次相遇最少要多久？想一想一天会遇到多少次呢?学习模块一：钟表中的基本行程例1已知：钟表上共12个数字刻度，将钟面分成60个小格，开始时分针指向3，过了一段时间后，分针指向了8，这段时间里分针和时针各走了多少个小格？分针和时针各旋转了多少个度？第10级上超常体系教师版1\n25【分析】分针走了25个小格，时针走了个小格，分针走了256150度，时针走了1501212.512度例2(1)3：00时，分针落后时针____度，15分分针走___度，时针走___度，因此3：15时，时针与分针的夹角是___度．(2)16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是_____度.【分析】(1)90，15×6=90，15×0.5=7.5，90-90+7.5=7.5(2)16点的时候时针与分针的夹角为120度，每分分针转6度，时针转0.5度，16:16的时候夹角为1206160.51632(度).练一练：5：20时，钟表盘面上时针与分针的夹角是__度。【分析】5点时夹角是150度，每分分针转6度，时针转0.5度，5：20的时候夹角为150-6×20+0.5×20=40度。模块二：钟表中的追及和相遇问题例3小明看了看手表，此时是9点35，问小明的手表在9点分时，分针与时针重合在一起，再过多少时间分针和时针第二次重合？你能帮小明快速写出完整的12小时内分针和时针重合的各个时刻吗？由此我们推断出完整的12小时内，时针与分针共重合了次？两针共垂直了___次,成180度的情况共出现___次，在一条直线上的情况共出现____次.1【分析】9点时，分针和时针的路程差是270度，或45格，因此追及时间为270(60.5)49（分），11111或45(1)49（分），因此小明的手表在9点49分时，分针与时针重合在一起，121111515再过360(60.5)65分或（60(1)65分）分针和时针第二次重合.因此重合1112115的时刻应该是在前一个重合时刻，加1小时5分，完整的12小时内分针和时针重合时刻115104938分别为1点5分，2点10分，3点16分，4点21分，5点27分，6点32分，11111111111127167点38分，8点43分，9点49分，10点54分，12点，共计11个时刻，因此完11111111整的12小时内，时针与分针共重合了11次，时针与分针一般一小时内有2次垂直，但在2点到3点与8点到9点之间仅有一次，因此共有12×2-2=22次垂直。一小时内一般有一次成180度，但5点到6点之间没有180度，因此共有12-1=11次成180度。在一条直线包含两种情况：重合与成180度，12小时内有11次重合与11次成180度，因此在一条直线的情况共出现11+11=22次.例44时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针在一条直线上？【分析】法1：可以想象，这道题的答案应该有2个，4点的时候，时针在分针前120度，而到时针2第10级上超常体系教师版\n第四讲与分针重合或时钟的分针和时针成一直线时，分针应该比时针多运动120度或300度，而9一分内分针比时针多走5.5度，所以要构成符合条件的角度，要经过120÷5.5=21分，或11696300÷5.5=54分，所以在4点21分，或4点54分.1111111916法2：用格数算：重合时20(1)21分，反向180度时50(1)54分12111211例5在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央.请问：这一时刻是6点多少分？9【分析】法1：度，从六点开始，分针和时针共走了180度，所以分针走了1806.527分钟，139所以这一时刻是6点27分。1319法2：格，从六点开始，分针和时针共走了30格，所以分针走了30(1)27分钟，12139所以这一时刻是6点27分。13【练一练】小明在1点多钟时开始做数学题，当他做完题时，发现还没到2:30，但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置，你知道小明做题时用了多长时间吗？【分析】在不到1.5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈.5法1：用度数算：3606.555分.1315法2：用格数算：60155分.1213笔记整理钟面中的路程单位通常是“格”或“度”，且1格=6度格度(°)时钟一圈60格360度11时针速度格/分钟度/分钟122分针速度1格/分钟6度/分钟模块三：坏钟问题例6如图所示，某科学家设计了一只怪钟.这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟.当这只钟显示5点时，实际上是中午12点.问：当这只钟第一次显示6点75分时，实际上是什么时间？第10级上超常体系教师版3\n【分析】根据题意这个怪钟与标准钟的速度比为(10100):(2460)25:36，所以当这只钟第一次显示6点75分时，实际用时是1752536252分，252分=4小时12分，当这只钟第一次显示6点75分时，实际上是4时12分.例7（1）小明的闹钟比标准时间每小时快3分钟。一天晚上11点，小明把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点。试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）小明的手表比标准时间每小时慢4分钟。一天早上8点，小明将表校准。试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？【分析】（1）根据题意闹钟与标准时间的速度比为63:60，所以标准钟走了7606360400格，2走了400606时，即当闹铃响起时，标准时间是5点40分3（2）根据题意手表与标准时间的速度比为56:6014:15，所以标准钟走了7601415450格，走了450607.5时，即当这只表指向下午3点的时候，标准时间是3点30分综合（时钟与比例应用题的综合）赵叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒。在今天中午12点赵叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午12点时，赵叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？【分析】闹钟和手表的速度比为3600:3630120:121，闹钟和标准时间速度比为23570:3600119:120，所以闹钟、手表、标准钟的速度比为(120119):(121119):120，221因此手表每小时比标准钟慢3600120(120121119)秒，所以赵叔叔的手表24小4时会慢6秒，叔叔的手表显示的时间是23点59分54秒例8某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次.工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元.如果一个工人照此钟工作8小时，那么他实际上应得工资多少元？51【分析】时钟的一圈有60小格，分针每分钟走1格，时针每分钟走格.60124第10级上超常体系教师版\n第四讲时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间1720601（分钟）.1211720于是依题设可知，计时钟的分钟相当于标准时间的69分钟.11从而用此钟计时的8小时，标准时间应该是720138698（小时），1130那么工人实际上应得的工资为1384634.6元.30注：在钟面追及与相遇问题中，通常使用的单位有：圈数、角度、格数（一般用小格为单位）本题杂糅了其他应用题的数量关系（分段算工资），单就钟面问题，应该问到“实际时间用了多少小时”就结束；把一个综合应用题根据数量关系拆分开来看问题，这是一种高级的审题能力，也是一种很好的解题思路，这样才能保证思路清晰.复习家庭作业一、本讲巩固1.当分针走60度时，时针走了____度；当时针走了12度时，分针走了___度．【分析】60÷12=5；12×12=144.2.5：20时，钟表盘面上时针与分针的夹角是__度。【分析】5点时夹角是150度，每分分针转6度，时针转0.5度，5：20的时候夹角为150-6×20+0.5×20=40度。3.下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110。在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看了表，发现时针和分针的夹角仍是110。那么动画片一共放了多少分钟？【分析】分针比时针多走了220，所以动画片一共放了220(60.5)40（分钟）4.小明在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线.当小明解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合.请问：小明解这道题用了多少分钟？8【分析】法1：度，分针比时针多走了180度，1805.532分钟。11法2：格，由成一条直线到重合，分针比时针多走了30格，所以小明解这道题用了1830(1)32分钟。12115.在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央.请问：这时是6点几分？第10级上超常体系教师版5\n6【分析】法1：从六点开始，分针和时针共走了120度，所以分针走了1206.518分钟，所以这136一时刻是6点18分.1316法2：从六点开始，分针和时针共走了20格，所以分针走了20(1)18分钟，所以12136这一时刻是6点18分.136.图中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈.从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？1【分析】将特殊钟每大格再分成十个小格，则分针的速度为1格/分，时针速度为格/分，第一次成8直角分针比时针多走20格，后两次每次多走40格，所以到分针与时针第三次成直角需要12(204040)(1)114分钟.877.一只旧钟的时针与分针每隔66分钟(标准时间的66分钟)重合一次．如果早晨8点将钟调准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几点几分？15【分析】标准时间时针与分针每重合一次需要：60165(分钟)，而旧钟每重合一次需要121166分钟，路程相同的情况下速度与时间成反比，所以旧钟与标准钟的运行速度比为565:66120:121．11到第二天早上8点时，旧钟共走了24小时，那么标准钟比旧钟多走了24120(121120)0.2小时12分钟，所以实际时间是8点12分．二、复习巩固1.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高宽长【分析】长方体中6第10级上超常体系教师版\n第四讲高宽1(3655)180，⑴2高长1(4055)200，⑵2长宽1(4855)240，⑶2⑵⑴：长宽20，⑷⑷⑶：长130，从而宽110，代入⑴得高70．所以长方体体积为701101301001000(立方厘米)1.001(立方米)2.下面是按照一定规律排列的数字三角形，111121133114641110105116151561⑴请根据规律填上空缺的数⑵根据规律计算第31行所有数字的和是多少，第102行的左数第3个数是多少【分析】⑴（）处分别填上5、20．行数130⑵观察每行的和的规律即有和为2，所以第31行数字和为2107374182410.7亿．斜看第三列的数1、3、6、10、15，发现规律为每行第三个数都123(行数2)，所以第102行左数第三个数为1231005050，或用组合知识得到第102行左数2第三个数为C101100250501013.根据美学的观点及经验法则，一幅彩色的作品其红、黄、蓝三原色之配色比例为5:3:8时，其色彩强度达到平衡，可使作品看起来较柔和，不会有某种颜色特别突兀的感觉。我们都知道，橘色是由红色加黄色而成；紫色由是红色加蓝色而成；绿色是由黄色加蓝色而成。请问依此法则，橘、紫、绿这三种中间色之配色比例为多少时，其色彩强度可达到平衡？【分析】设红、黄、蓝三色分别为5份，3份，8份，所以橘、紫、绿这三种中间色之配色比例为(53):(58):(38)8:13:11开放试题太阳每天东升西落，手表时针每天转两圈，想一想如何用手表辨别东西南北呢？具体操作：手表平放，以当地地方时的一半指向太阳，12时所在方位为北方。例如：某日16时。将8时指向太阳，12时所在为北方。第10级上超常体系教师版7\n第五讲第五讲圆与扇形初步预习一、知识GPS:本讲内容学习圆的周长和面积公式的推导过程运用圆的周长和面积公式推导扇形的弧长和面积计算不规则的曲线型的面积前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）平行四边形和梯形——三年级春季第2讲（第6级下）后续知识圆与扇形进阶——五年级春季第8讲（第10级下）旋转与轨迹——六年级秋季第6讲（第11级下）课前测试难度一：平面上有三个点，任意两点距离相等，那么三点连线的图形是？难度二：平面上有四个点，任意两点距离的距离长度有两种，那么四点连线的图形是？难度三：平面上有n个点，恰好有一个点到其它点的距离均相等，那么其他点连线的图形是？学习模块一：圆与扇形公式的推导与应用例1求图中各图形的周长与面积。（单位：厘米）第10级上超常体系教师版1\n30r=745°r=103022302【分析】C2r23.1494.2（cm）Sr3.14()706.5(cm)。22222C2r23.14743.96（cm）。Sr3.147153.86（cm）。222r3.145r3.1452Cr2+25=17.85（cm）,S19.625（cm）。4244453.14452212C2r2r+2=27.85（cm）,Sr3.141039.25（cm）。36043608练一练：一只蚂蚁要从下图中的A点爬到B点，有两条路可以选择。问：哪条路近一些？长度是多少？（单位：米）64AB【分析】由于三个圆的圆心都在一条直线上，可以知道两个小圆的直径和等大圆的直径，从而可以利用这一隐藏条件，结合表达式的推导从而解决这个问题。11164(64)15.7（米），即两条路线的长度相同.222例2(1)一个圆的周长是18.84，它的直径是，半径是，面积是。(π取3.14)(2)一个圆的周长是12.56cm，它的面积是。(π取3.14)(3)一个大圆内有4个小圆，其直径的和等于大圆的直径.问:大圆周长与所有小圆周长之和哪个长？为什么？【分析】(1)6，3，28.262(2)先求出半径是2，进而求出面积是12.56cm(3)周长总是直径的π倍；大圆的直径正好是四个小圆的直径和，则周长也是周长之和；设Ddddd，则πDπdπdπdπd12341234【练一练】下图中，两个小圆的半径分别为3cm和2cm，求阴影部分的面积。（π取3.14）2第10级上超常体系教师版\n第五讲2222【分析】大圆半径为325，阴影部分的面积为π5π3π212π37.68cm模块二：不规则图形的面积：例3有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．小圆半径为1厘米，求所有阴影面积的和(π取3.14)【分析】通过拼接，阴影为1圆，S1π10225π78.5(cm2)44综合（圆与勾股定理的综合）如图，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的切线与小圆相切，其长度为10厘米。求阴影部分的面积。（π取3.14）10厘米10厘米rR22102【分析】如右图，设大圆半径为R,小圆半径为r，根据勾股定理知Rr()，所以22222SRr(Rr)3.142578.5（平方厘米）阴影第10级上超常体系教师版3\n例4图是小明用一些半径为1厘米、2厘米、4厘米和8厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为平方厘米。【分析】半径为1厘米的圆的面积为11；半径为2厘米的圆的面积为224；半径为4厘米的圆的面积为4416；半径为8厘米的圆的面积为8864，1所以阴影部分的面积为4（164）886464（平方厘米）。4例5如图，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是厘米．(π取3.14)16.48.2【分析】圆的半径为r，设长方形的长为a，则arπr2aπr，2ππ18.2阴影部分的周长为：22aπr2.5πr2.5π20.5(cm)4π例6如下图，图中的曲线是用半径长度的比为2∶1.5∶0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？4第10级上超常体系教师版\n第五讲【分析】不妨设1是最小的半圆的半径.于是其余两种半圆的半径便是3和4．分别用S1及S2表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积，由图可知2112222S111435，SS21411．即SS12:5:1122笔记整理一、圆1.圆的周长：Cπd2πr22.圆的面积：Srπ二、扇形nn1.弧长：圆心角为n，则扇形中的弧长部分=所在圆的周长，即弧长Lr2π3603602.周长：CL2r3.扇形的面积2nSrπ360三、圆环2222圆环面积：S环πRπrπ()Rr四、圆套圆、方套方模型：222如下图1，大圆面积与正方形与小圆面积之比为：2πrrr:4:π2π:4:π222如图2，小正方形与圆与大正方形面积比为：2:RπR:4R2:π:4。模块三：圆与扇形的综合应用例7一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm，请问阴影部分的面积为22多少平方厘米？（取）7第10级上超常体系教师版5\n【分析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是212222．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是(2222)42224．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216，所以外圈阴影部分的22面积是164848．所以阴影部分的面积是7147148（平方厘米）．7例8如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S，那么这两个12部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内222接正方形．设大圆半径为r，则Sr22，S1r2r，所以SS12:3.142:257:100．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．复习家庭作业一、本讲巩固6第10级上超常体系教师版\n第五讲1.从点A到点B沿着大圆周走和沿着中、小圆的圆周走的路程相同吗？（π取3.14）AB【分析】相同2.已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？（π取3.14）60260【分析】18.84πrr6，其周长为π12122π1218.28(cm)3603603.射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径．最里面的小圆叫做10环（如右图所示），半径为1；最外面的圆环叫做1环．问：1环的面积是10环面积的几倍？22π(109)【分析】192π14.（2011数学解题能力展示六年级初赛）右图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正2方形的边长分别为40mm,20mm，那么，阴影图形的面积是mm．(π取3.14)22222【分析】S(40π20)(20π10)1200300π2142(mm)5.如图圆的半径为r，点ABCDEF、、、、、将圆周六等分，则阴影部分面积为__________（结果保留）．第10级上超常体系教师版7\n12【分析】根据观察，可以看出阴影部分面积为整个圆形面积的一半，为r．26.如下图，长方形ABCD，长是8cm，则阴影部分的面积.(π取3.14)2482π22【分析】S甲164π3.44(cm)27.如图，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积.（答案用π表示）2【分析】大圆的面积为π416π，“圆方圆”的面积之比为2π:4:π，16π16π则正方形面积为432；小圆的面积为：π8π2π2π二、复习巩固1.根据某种规律列出如下算式：1+2=3．4+5+6=7+8．9+10+11+12=13+14+15．以上各式的计算结果是3，15，42……。请求出含有2003的算式的计算结果。【分析】每行的数字个数，构成一个等差数列3,5,7,9,11……。3+5+7+9+11++(2n1)=(nn1)(1)12003在44×44与45×45之间。每行第一个数构成nn的数列。可知第44行第一个数字是44×44=1936，这一行共有44×2+1=89个。在这行中有2003。8第10级上超常体系教师版\n第五讲此行的等式为1936+1937+1938++1980=1981+1982++2024=881102.一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？【分析】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由变为1:5，而其中白棋的2:110:5数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为4591050(枚)，白棋的个数为45951540(枚)．3.4点过多少分时，时针和分针离“4”的距离相等，并且在“4”的两边？【分析】4点时分针和时针夹角为180度，分针速度为6度/分，时针为0.5度/分，速度和为96+0.5=6.5度/分，经过时间为1806.527分13开放试题我们大家都买过饮料吧，你观察你的饮料瓶的瓶嘴和瓶底是什么形状的，只给你一条足够长的细线和一个米尺，你能知道瓶嘴和瓶底的面积比吗？第10级上超常体系教师版9\n第六讲第六讲因数与倍数进阶预习一、知识GPS:本讲内容运用短除模型解决因数倍数的相关问题灵活运用因数个数定理解决因数个数相关问题前铺知识整除特征初步——四年级暑期第9讲（第7级上）整除特征进阶——四年级秋季第13讲（第7级下）质数合数进阶——五年级暑期第12讲（第9级上）因数倍数初步——五年级秋季第1讲（第9级下后续知识完全平方数——五年级春季第8讲（第10级下）数论模块综合选讲（二）——六年级春季第4讲（第12级下）课前测试难度一看一看下列数所含有的公因数是多少？2,4,6,8,10；5,10,20,50,100难度二看一看下列数所含有的最大公因数是多少？12,28,36,44,8454,27,81,108,90难度三（1）计算5,7；5,7（2）如果a与b互质，那么ab,；ab,学习模块一：短除模型的应用例1计算：(1)(33，44)×[33，44]=___(2)(19,95)×[19,95]=_____第10级上超常体系教师版1\n(3)(8722,4625)×[8722,4625]=____×____(4)(,)[,]____abab【分析】老师可让孩子对比这类问题硬算与用短除模型的区别．根据短除模型可得：(1)33×44=1452；(2)19×95=1805；(3)8722×4625；(4)a×b【练一练】两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72.已知其中一个自然数是18，求另一个自然数.【分析】由两自然数的乘积等于其最大公因数与最小公倍数的乘积，另一个自然数是(672)1824.例2已知：ab45，[,]168ab，求ab、的值．dab【分析】ab11根据上面的短除，设（ab,）d，[,]abdab，则（ab,1）111123abadbdda（b）4535，[,]abdab168237111111所以d是45与168的公因数．由于（45,168）3，所以d1或3．3①当d1时，ab45，ab1682371111对168的因数配对：12346781216884564228242114此种情况下无解．3②当d3时，ab15，ab56271111对56的因数配对：12475628168其中互质的两对数（1，56）与（7，8）中只有（7，8）满足7815，所以：a3721，b3824．例3已知：ab60，（ab,）[,]84ab，求a、b的值．dab【分析】ab11根据上面的短除，设（ab,）d，[,]abdab，则（ab,1）11112abadbdda（b）60235，11112(,)[,]ababddabdab(1)842371111上式说明d是60与84的公因数．这提示我们要去考察60与84的最大公因数．由于（6084，）12，所以d1，2，3，4，6，12．不难验证当d1，2，3，4，6时，找不到满足条件的ab,．2第10级上超常体系教师版\n第六讲仅当d12时，ab5，ab61111利用分解质因数的知识求得：a2，b311综上所述，满足条件的ab、的值为：a21224．b31236例4[,]ab已知：ab667，120，求ab、的值．（ab,）dab【分析】ab11[,]ab根据上面的短除，设（ab,）d，[,]abdab，则（ab,1）．因为120，所以ab120111111（ab,）abadbdda（b）66723291111因为23与29都是质数，所以d1，23或29。所以ab667,29，或23113对120分解质因数：120235．对120的因数配对：12345681012060403024201512只有52429，81523满足条件，所以：a235115，b2324552或a829232，b1529435综上所述，满足条件的解有两组：a115a232，．b552b435综合（因数倍数与计数的综合）[,]210,[,]210;(,)2,(,)3;ABCDACBD这样的A,B,C,D有多少组？【分析】2102357，(,)2AC，(,)3BD，说明A,C都有质因数2，B，D都有质因数3，A,C中可以有3，也可以没有，但不能都有，共有3种选择．同理对于2来说B,D共有3种选择．如果A中有5，则C中一定没有5，D中一定有5,B中没有5;如果A中没有5,则B中一定有5,D中一定没有5,C中一定有5,共2种选择.同理对于7来说,也有2种选择,因此共有第10级上超常体系教师版3\n3×3×2×2=36组答案.模块二：因数个数定理例5180一共有___个因数；这些因数的和是_____；720有____个奇因数；这些奇因数的和是_____.22【分析】因为180=2×3×5180的因数个数为：（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）=18个。12121180的因数的和为：（1＋2＋2）×（1＋3＋3）×（1＋5）=54642因为720=2×3×5720的奇因数的个数为：（2＋1）×（1＋1）=6121720的奇因数的和为：（1＋3＋3）×（1＋5）=78例6有一个小于2000的四位数，它恰有14个因数(包括1和它本身)，其中有一个质因数的末位数字是1，求这个四位数．13【分析】因数个数1427114，由于281922000，所以这个四位数分解质因数的形式为66AB(A、B为质数)．如果A为末位为1的质因数，那么A最小为11，而112000，矛盾，所以B为末位为1的质因数，且A只能是2(若不为2，则至少为3，此时使得6666AB31180192000)．若B11则AB211704是三位数；若B31则66AB2311984正好是小于2000的四位数．66而B41时AB24126242000，所以这个四位数只能是1984．笔记整理1.求最大公因数和最小公倍数的常用方法：短除法、分解质因数法。2.短除模型：Ama，Bmb，(,)1abABmambmmab(,)[,]abab使用短除模型解题，得到ab的乘积后进行拆分时要注意“ab互质”。3.因数个数定理：若NPPaa12Paa3Pn（指数加一再连乘）dN()(a1)(a1)(a1)(a1)123n123n反用时要把情况想全4.因数和定理：SNpa1pa111p2p111pa2pa2p2p111112222aann121pnpnpnpn1模块三：因数个数的综合运用例74第10级上超常体系教师版\n第六讲一个数的完全平方有39个因数，求该数的因数个数是多少？【分析】设该数为ppaa12paa3pn123n那么它的平方就是p22aa12pp22aa3pn123n因此(2a1)(2a1)(2a1)(2a1)39123n由于39313139所以⑴2a13，2a11312a1，a6，故该数的因数个数为(11)(61)1412⑵或者：2a11，2a13912a0，a19，故该数的因数个数为19120个12综上所述该数的因数个数为14个或20个.例8如果一个自然数的2004倍恰有2004个因数，这个自然数自己最少有多少个因数？2xyzabc【分析】设这个自然数是a，200423167，将a分解质因数，设a23167ABC……，其中指数可以是0或正整数，则这个数的因数个数A(x1)(y1)(z1)(a1)(b1)(c1)．因为这个自然数的2004倍恰有2004个因数，所以2(x3)(y2)(z2)(a1)(b1)(c1)200423167．2004x(y3)(z2)(x2)y3z22可得，要想使A最小，需要使A(x1)(y1)(z1)xy1z11x3y2z2xx32yy2zz2最大，而33，22，22，x1y1z1xx11yy11zz112004所以32212，得到A167．A要想使等号成立，必须xyz0，a166，bc,,0，即此数为一个不是2，3，167的质数的166次方，此时这个数的因数有167个．故这个自然数最少有167个因数．复习家庭作业第10级上超常体系教师版5\n一、本讲巩固1.计算:(436,327)×[436,327]=____【分析】(436,327)×[436,327]=436×327=1425722.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77，求这两个自然数.【分析】法1：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30.这两个自然数的和是11，求这两个自然数.”改变以后的两个数的乘积是13030，和是11.3013021531056，由上式知，两个因数的和是11的只有56，且5与6互质.因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是7535和7642.ab11a5法2：设这两个数分别为7ab和7,ab且(,)1ab,则ab30b6所以这两个自然数是7535和76423.已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？【分析】设ab，有ab120，又设()ab,m，amp，bmq，(,)1pq，且pq，则[,]abpqm，有pqm105m，所以pq105357．因为abmpq()120，所以()pq是120的因数．①若p105，q1，则pq104，不符合；②若p35，q3，则pq32，不符合；③若p21，q5，则pq16，不符合；④若p15，q7，则pq8，符合条件．由mpq()8m120，得m15，从而a、b中较大的数amp1515225．4.已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a，b，c.【分析】因为12、15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15]60的倍数.再由[,,]120abc知，a只能是60或120.(,)15ac，说明c没有质因数2，又因为3[,,]1202abc35，所以c15.那么a是c的倍数，所以求a、b的问题可以简化为：“a是60或120，(,)12ab，[,]120ab，求a、b.”当a60时，b(,)[,]ababa121206024；当a120时，b(,)[,]ababa1212012012所以a、b、c为60、24、15或120、12、15.5.(1)数18的因数有多少个?这些因数的和是多少?(2)数360的因数有多少个?这些因数的和是多少?【分析】(1)老师可通过枚举验证因数个数定理．枚举法：1，18；2，9；3，6共6个．和为39；如22果用因数个数定理：1823，个数为(1+1)×(2+1)=6个．和为(12)(133)3932abc(2)360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；360的因数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,b为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只计算关于质因数3的因222yw数,可以是1,3,3,它们的和为(1+3+3),所以所有360因数的和为(1+3+3)×2×5；我们2323再来确定关于质因数2的因数,可以是1,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所有3606第10级上超常体系教师版\n第六讲因数的和为(1+3+223w；最后确定关于质因数5的因数,可以是1,5,它们的3)×(1+2+2+2)×5和为(1+5),所以所有360的因数的和为(1+3+2233)×(1+2+2+2)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有因数的和为1170．6.一个数有6个因数，那么这个数的四次方有多少个因数？248【分析】62316，对于第一种情况，这个数是AB形式的数，它的四次方是AB形式的数，那么它有(41)(81)45个因数。520对于第二种情况，这个数是A形式的数，它的四次方是A形式的数，那么它有20121个因数。因此这个数的四次方有45或21个因数.7.1001的倍数中，共有个数恰有1001个因数．【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于100171113，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的因数个数的计算公式，其因数的个数为a1a1a1a1a1，其中n4．如果这个数恰有10011234n个因数，则a1a1a1a1a1100171113，但是1001不能分解成1234n4个大于1的数的乘积，所以n4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那abc么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k71113，则abc1111001，a1、b1、c1分别为7，11，13，共有3!6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个因数．二、复习巩固1.圆珠笔和铅笔的价格比是4︰3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元。问：圆珠笔的单价是每支多少元？【分析】设圆珠笔价格为4份，铅笔价格为3份。则，20支圆珠笔，21支铅笔共204213143份。共花费71.5元，所以每份71.51430.5元。圆珠笔每支0.542元。2.艾迪晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同。请问：艾迪出来的时候是7点几分？11【分析】设艾迪出来时是7点x分，根据夹角相同列方程得xx35352424，解得12124444x52，艾迪出来的时候是7点52分钟，买东西一共花了522428分钟111111113.一个长方形的长为15厘米，宽为13厘米，一个半径为2厘米的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3.14)【分析】圆无法到达的地方是四个角，如果把四个角拼起来，则阴影如下图所示，则阴影面积为2443.1423.44（平方厘米）第10级上超常体系教师版7\n开放试题测量一下家中客厅的长与宽，若想全部铺上正方形的地砖，最少需要多少块？8第10级上超常体系教师版