2014年1月寒假班教师版讲义（五年级尖子班）\n致全体教师的一封信各位老师：我们即将迎来寒假班的连续上课，提前向大家道一声：“大家辛苦了！”而且我们总部教研研发了寒假班五年级的全新课程，为了方便大家授课，现把课程的具体情况介绍给大家。寒假班五年级采用了全新的编写模式，由专业的设计师和教研员共同设计打造了把数学知识与故事、漫画巧妙结合起来的全新讲义因此强烈建议教师备课过程中一定要看学生版！寒假班五年级的每一讲课程整体上分为预习、学习、复习三个阶段。预习阶段包括知识GPS和图片引入两部分。一、知识GPS中包括本讲要内容、前铺知识（要学习本讲知识必须具备的相关知识点）、后续知识（学完本讲内容后才可继续学习的知识点）、课前测试（学习本讲前对自己的定位，希望老师要求学生课前做完）二、图片引入教师可以在学生版上看到相应的图片和相关的故事情节。学习阶段又从六道例题变为三个模块（A版第一、四、六讲只有两个模块）一、前两个模块在学生版中会以故事、漫画的形式将知识点讲解，方便学生自学。二、部分例题下配备相应的练一练方便学生练习。三、每讲一道本讲知识与其他板块知识相关的综合例题，方便学生体会知识点在板块间的联系。四、在学完前两个模块后，本讲知识基本学完，因此在模块二后有笔记整理的板块，方便学生对本讲知识的梳理，希望老师对本讲知识梳理后再继续下一个模块；模块三是杯赛提高和综合。让不同需求的学生能够及时找到适合自己难度的真题训练，并了解考点应用的状况。复习阶段包括本讲巩固、复习巩固、开放试题。一、本讲巩固：A、B版各5题，超常体系7题复习本讲所学内容。二、复习巩固各个版本都是3题，复习本讲前的三讲所学内容，第一、二、三讲就会有复习秋季班所学内容。希望老师再讲作业时不断复习所学内容。三、开放试题目的是激发学生解决实际问题的兴趣，同时达到家长和学生互动的效果。最后还有知识拼图和小故事，知识拼图环节，一是让学生体会板块内知识的前后联系，二是让学生在猜、收集板块过程中激发学生学习兴趣；小故事还是延续以前品格教育。寒假班五年级讲义故事内容大致是：艾迪、薇儿在给博士过生日时，博士突然生病，小伙伴为了救博士，踏上了积攒四种药材的征途，途中还认识了大宽。经过千辛万苦终于治好了博士，不过博士突然接到总部电话，大家又有新任务，即将在五年级春季班上演，同时春季班将有四、五两个年级开始全新的讲义编写，敬请期待！学而思总部教研\n\n第一讲第一讲长方体与正方体预习一、知识GPS:本讲内容初步认识长方体与正方体；计算相关长方体与正方体的表面积与体积；运用三视图法求堆积体的表面积，运用排水法求水高.前铺知识有趣的立体图形——一年级秋季第3讲（第1级下）长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）后续知识立体图形和空间想象——五年级春季第11讲（第10级下）圆柱与圆锥——六年级秋季第2讲（第11级下）课前测试难度一：观察一下爸爸妈妈的手机，看看它有几个面？每个面是什么图形？难度二：想一想商品的包装盒有几个面，每个面都是什么图形？难度三：想一想最少用几个正方形铁皮可以组成一个盛水的容器？二、引入1.在美丽的海底环境中，生活着一种五彩的鱼——海葵鱼，俗名叫做小丑鱼，因为他们喜欢和海葵一起居住从而得名海葵鱼。小丑鱼色泽五彩缤纷，非常活泼，泳姿左摇右摆，有天生的地盘倾向．已知1升水可以让1厘米长的小丑鱼生活的很愉快，成年海葵鱼会长到10厘米左右，那么一个长60厘米，宽40厘米，高50厘米的鱼缸可以养多少只海葵鱼？2.薇儿送给博士的长35厘米，宽40厘米，高55厘米的长方体的礼物用了精美的包装纸进行包装，那么薇儿到底用了多少包装纸呢？3.中央电视台总部大楼位于北京市朝阳区东三环中路，内含央视总部大楼、电视文化中心、服务楼、庆典广场。由荷兰人雷姆·库哈斯和德国人奥雷·舍人带领大都会建筑事务所（OMA）设计。那么它的表面积怎么计算呢？第10级上优秀A版教师版1\n学习模块一：长方体与正方体的基本概念例1(1)一眼最多可以看到长方体的____个面。(2)棱长为2的正方体的表面积为______，体积为____。(3)两个棱长为2的正方体拼成一个大的长方体，则此长方体的表面积为___，体积为____.(4)一个正方体的棱长为3厘米，则表面积为_____平方厘米，体积为____立方厘米。【分析】(1)3(2)24，8(3)40，16(4)54，27例2（1）请计算博士家的微波炉、电冰箱和电视机的表面积。看看谁的表面积最大。（电视机：长60厘米，宽30厘米，高40厘米；冰箱:长480毫米，宽500毫米，高1300毫米；微波炉：长5分米，宽3分米，高4分米）（2）科学研究表明，1千克的水在不同温度下的体积是不一样的，我们把1千克水放在长为200毫米，宽为100毫米的相同的鱼缸中，在不同的温度下，请计算它们的体积。（其中4℃时，水深为50毫米；20℃时，水深为50.1毫米；90℃时，水深为52.2毫米）（3）拿起你的尺子，测量一下你的数学课本的长宽高，计算它的表面积和体积。【分析】（1）电视机：2(603060403040)10800（平方厘米）；冰箱：2(48050048013005001300)3028000（平方毫米）30280（平方厘米）微波炉：2(535434)94（平方分米）9400（平方厘米）.因此冰箱的表面积最大.（2）4℃时水的体积为：200100501000000（立方毫米）20℃时水的体积为：20010050.11002000（立方毫米）90℃时水的体积为：20010052.21044000（立方毫米）.综合有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?bac【分析】如右图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为acab209．2第10级上优秀A版教师版\n第一讲acaba(cb)209，而2091119．当a11时，cb19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则cb217；当a19时，cb11，则cb29，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11217374．例3奶酪是长方体的形状，长：50厘米，宽45厘米，高20厘米（1）如果我们把给博士的奶酪沿竖直方向平均切成两个部分，分开后，表面积的和为多少？（2）如果我们把给博士的奶酪沿竖直方向平均切成三个部分，分开后，表面积的和为多少？（3）如果我们把给博士的奶酪沿三个方向各切成几个部分，分开后，表面积的和为多少？【分析】奶酪表面积为2(504550202045)8300（平方厘米）（1）83002452010100（平方厘米）（2）83004452011900（平方厘米）（3）283002452018400（平方厘米）练一练如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条再锯成4小块，共得到大大小小的长方体48块．那么，这48块长方体表面积的和是多少平方米?第10级上优秀A版教师版3\n【分析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(31)(41)(41)8刀，而原正方体一个面的面积11=1(平方米)，所以表面积增加了82116(平方米)．原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表面积之和为616=22(平方米)．模块二：三视图法求表面积例4把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积．【分析】观察堆积体的三视图如下．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2个左面2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254(平方厘米)．主视图俯视图左视图练一练有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成黄色．求被涂成黄色的表面积．【分析】44(1234)456(平方米)．4第10级上优秀A版教师版\n第一讲笔记整理1.长方体与正方体长方体正方体(特殊的长方体)顶点88面6(对面全等)6(所有面都全等)棱12(4长4高4宽分别相等)12(所有棱长都相等)2表面积2(abbcac)6a3体积abca2.三视图法求表面积：先俯后正侧检验；面积乘2加凹槽.例5博士的鱼缸长50厘米，宽50厘米，高40厘米，其中水面高35厘米，现有很多块0.0005立方米的海水石头沉没于水中，请问艾迪放多少块进去水会溢出？【分析】鱼缸中没有水的体积为5050512500（立方厘米）=0.0125（立方米），0.01250.000525（块）复习家庭作业一、本讲巩固1.右图中共有多少个面？多少条棱？后面上面左面右面前面下面【分析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618(条)．第10级上优秀A版教师版5\n2.一个长方体的长，宽，高分别是5，4，3，则此长方体的表面积为____，体积为____。【分析】94，603.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【分析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166（平方米），一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618（平方米）．4.六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体图形，它的表面积是．【分析】三视图法：表面积为：4542265.有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们的内棱长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【分析】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．因此，沉入中水池中的碎石的体积是3330.060.54(m)，3而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16(m)．3这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7(m)．3把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7m．而大水池的底面2积是6636(m)．所以水面升高了0.770170.736(m)(cm)1(cm)．36361817故大水池的水面升高了1厘米．18二、复习巩固1.如图，E在AC上，D在BC上，且AEEC:2:3,BDDC:1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC2的面积等于22cm，则三角形ABC的面积．6第10级上优秀A版教师版\n第一讲AAA1.6EEEF2FF2.4BBB12DCDCDCS△ABFBD1S△ABFAE2【分析】连接CF,根据燕尾模型，，,S△ACFDC2S△CBFEC32设S1份，则S2份，S2份，S4份，S41.6△BDF△DCF△ABF△AFC△AEF233份,S42.4份,如图所标,所以S22.44.4份,S2349份△EFCEFDC△ABC232所以S224.4945(cm)△ABCmab2.对于非零自然数a和b，规定符号※的含义是：a※b（m是一个确定的整数）．如果2ab1※4=2※3，那么3※4等于________．mm142363411【分析】根据1※4=2※3，得到，解出m6．所以，3※4．214223234123.两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过2.5小时相遇。已知甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度是b千米/小时。⑴两地间的距离是多少千米？（用含a、b的式子表示）⑵当a45，b60时，求两地间的距离。【分析】⑴解：用字母表示数ab2.5。⑵解：将ab，分别代入数值，求出结果，即45602.5262.5km。开放试题找一找你家中的长方体，并说出它的名字，然后测量它的长、宽、高，如果测量有困难，可以向父母求助，一起测量，然后计算长方体的体积和表面积家长签字第10级上优秀A版教师版7\n第二讲第二讲数表——从杨辉三角谈起预习一、知识GPS:本讲内容杨辉三角性质及结论，自然数数表问题，数表综合应用前铺知识等差数列初步——三年级春季（第6级下）等差数列进阶——四年级暑假（第7级上）数表-从日历谈起——四年级寒假（第7级下）后续知识数列数表总复习——六年级春季（第12级下）课前测试难度一：观察下边的两个数列，看看有什么规律？1,4,7,10,13,16……1,2,4,7,11,16……难度二：观察下边的几个数列，看看有什么规律？1,1,1,1,1,1,1……1,2,3,4,5,6,7……1,3,6,10,15,21,28……1,4,10,20,35,56,84……难度三：想一想上面的几个数列，试一试竖着看有什么规律？斜着看又有什么规律？第10级上超常体系教师版1\n学习模块一：杨辉三角例1下面是按规律排列的杨辉三角：1……第一行11……第二行.121.1331.1464115101051………………………图(1)图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n行的所有数之和是________.【分析】⑴根据题意：每一行第2个数是n1；所以第8行第2个数是7.(2)1+2+3++6=21．老师可拓展到第n行的第3个数．n1101(3)第n行的和是2，所以第10行所有数的和是2512.【练一练】杨辉三角中，第101行中左起第三个数是．【分析】考查学生对杨辉三角形特性的认识．第三行左起第三个数是11；第四行左起第三个数是312；第五行左起第三个数是6123；第六行左起第三个数是101234；……99100归纳可知，第101行左起第三个数是123994950.22或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足C，所以第101行的第三个数是n12210099CC4950.101110022第10级上超常体系教师版\n第二讲例2下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631（1）在方格中填上第五行的各个数．（2）求第10行各数的和．【分析】由数表可以得到如下的规律，(a)两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；n-1(b)每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n行数的和是3，由此解决．(1)1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；9(2)3=19683；综合（数表与数论中整除的综合运用）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，如下图所示的三角形数表，第一个三角形数表中有1个点，第二个三角形数表有3个点，第三个三角形数表有6个点，…将1、3、6、10…记为“三角形数”，那么第19个能被5整除的“三角形数”是___________。13610nn(1)nn(1)【分析】观察三角形数规律.123n，要想被5整除，即有5k，即存在22nn(1)10k，n和n1连续自然数，一奇一偶，所以只需考虑5的倍数，在任意连续5个自然数里面存在2个满足条件的，满足条件的有：n45910、、、等；第19个n49，此时4950三角形数是1225。2第10级上超常体系教师版3\n例3111111111如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有=+、=+、=+、……、则第111222363412行第2个数（从左往右数）为________。11112211136311114121241111152030205【分析】“莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每一行的第一数均为行数的倒数，且每11一个数等于下一行中“脚踩”的两个数的和，第10行第一个数是.第11行第一个数是，1011111则第11行第2个数是。1011110模块二：自然数表例4如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：（1）200排在第几行，第几列？（2）第18行第22列的数是多少？1247111635812176913101415【分析】（1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次增加1，每一列的相邻两个数的差依次增加1，所以12345678910111213141516171819190，得到190排第19行第1列，191排在第1行第20列.所以200排在10行第11列；（由原数表转化到下数表，原数表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中．）4第10级上超常体系教师版\n第二讲1326541098715141312111716（2）第18行的第1个数为：12318171.公差为18.所以第22列，为17118192038759例5如图所示，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数.“1”所处的位置为第1行；“2、3、4”所处的位置为第2行；……请问：13246857911131510121416182022241719212325.................(1)第15行正中间的数是多少？(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少？(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？【分析】（1）由于第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，……，则第n行有(2n-1)个数，根据题意，第15行有29个数.第15行的最后一个数为：13579..29225.由于第15行有29个数，则其中间数为：22514211；（2）根据题意，第11行中共有：21个数，则有第12行中最后一个数为144.观察可知，偶数行时，奇数部分为空白部分.由于第11行中的最后一个数为121.所以第12行中所有空白部分的数字为：123、125、…、143，他们的和为：123125143(123143)1121463；（3）根据题意，第1行阴影部分比空白部分多：1个；2第2行阴影部分比空白部分多：12；2第3行阴影部分比空白部分多：23；2第4行阴影部分比空白部分多：34；2第5行阴影部分比空白部分多：45；2第6行阴影部分比空白部分多：56；2第7行阴影部分比空白部分多：67；2第8行阴影部分比空白部分多：78；7815所以他们的和为：361766第10级上超常体系教师版5\n练一练：把奇数数列排成如下图所示的三角形数表，则表中的奇数2007是第_____行第____个数。135791113151719nn(1)【分析】上面数表每n行有n个数，所以前n行一共有123n个数，从小到大2排列。先计算2007是第(20071)21004个奇数；244(441)452025；前44行一共有990个数。2100499014，所以2007是第45行第14个数。例6如图的数表恰好有19行（5行以后的并未画出），那么：（1）共有__________个数；（2）第19行中间的数为___________；（3）第10行所有数的和为____________.124579101214161719212325………………【分析】首先找规律：第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n行有n个数；22第1行的第1个数是1，第2行的第1个数是211，第3行的第1个数是521……22第n行的第1个数是n11，第n个数是n；每行都是公差为2的等差数列;那么(1)19行共有12......19190个数2(2)19行的第1个数是1911325，19行的中间数是第10个数，那么它是3252101343.22(3)第10行第一个数是9182，第10个数是10100，一共有10个数，(82100)10910.26第10级上超常体系教师版\n第二讲笔记整理一、杨辉三角的特征：1.杨辉三角的数关系：每一个数都等于肩膀两个数之和.2.杨辉三角的数列关系：每个斜行都可以构成等差数列，从上到下公差依次递增.n3.杨辉三角的组合关系：若数在第m行，第n列，则数为C.m4.杨辉三角的对称关系：数表每行中的数左右对称.n5.杨辉三角的数和关系：数表每行的数和为2.二、其他数表的特征：1.莱布尼兹调和三角形：每一个数等于它脚踩两数的和.2.自然数表：每行数的个数为等差数列.3.阶梯数表：每行数的个数为等差数列，每列的数为等差数列或二级等差数列.模块三：数表综合应用例7如图所示数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右都是无限项，则这个数表中的第13行中第10个数是__________.123456735791113812162024【分析】研究这个数表，可以得到规律：某数是其上间隔一行，垂直位置的数的4倍．因此第13行2第10个数，是第11行第11个数的4倍、第9行第12个数的4倍，直至第1行第16个数661616“16”的4倍．因此这个数为16×4=2，故答案为2.4倍的关系可以用下图来证明：设四个数分别为ndnndn,,,,2dndnndn2d2-2ndnd2n3d44nn4d4(2nd)例8观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，…（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1）．如果表n中的各数之和等于15505，那么n等于________．第10级上超常体系教师版7\n3333322232223121232123…2223222333333表1表2表3【分析】每增加一层，增加的个数数列为4×2,4×4，4×6,4×8……。所以到表n的和为1242344446548nn42(1)18[2132435465nn(1)]118(n1)(nn1)312有：18(n1)(nn1)15505，即(n1)(nn1)5814231719，解得n=18。3复习家庭作业一、本讲巩固1.把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第200个数是多少？526137489【分析】观察规律.第n列有(21n)的数。以1开头的行中，第200个数也就是第200列第200个数，它们都是自然数列，所以135(21991)20039801。2.给出等腰梯形数表的前五行如图：则第n行中所有数之和是__________.8第10级上超常体系教师版\n第二讲0100111001232100136763100141016191610410【分析】根据题意，分析可得：第1行中所有数之和S1=0+1+0=1，第2行中所有数之和S2=0+1+1+1+0=3，2第3行中所有数之和S3=0+1+2+3+2+1+0=9=3，3第4行中所有数之和S4=27=3，…n-1第n行中所有数之和Sn=3，n-1故答案为3．3.把自然数按如下规律排成三角形数表：如4在从上到下数的第3行，从左往右数的第3个数，那么自然数2013在从上到下数的第________行，从左往右数的第________个数。123654789101211【分析】观察规律.第n行有n个数，奇数行是从大数到小数，偶数行是从小到大；nn(1)263(631)123n，654225，20162013，201620133，所22以2013是63行第4个数。4.把自然数依次排成以下数阵：1，2，4，7，…3，5，8，…6，9，…10，……如果规定横为行，纵为列.（如8排在第2行第3列）求：⑴第10行第5列排的是哪个数？⑵第5行第10列排的是哪个数？【分析】法1：这个问题可以从两个方面找规律．⑴第一行是：1，2，4，7，11，…；它们相邻两个数之差是1，2，3，4，5，…．第二行是：3，5，8，12，…；它们相邻两数之差是2，3，4，5…，列也有类似的规律.这样，第10行第一列的数应是：12341055．又因为第10行中，相邻两数的差依次是：10，11，12，13，…．所以，第10行第5列的数是：5510111213101.⑵第5行第10列的数是：(12345)(5678910111213)96.以上是先考虑行，再考虑列，也可以先考虑列，再考虑行.第10级上超常体系教师版9\n法2：同一斜线上的数的”行数+列数”是个固定数．第(5+10-1)＝14斜线上的最大数为(141)14105，第10行第5列的数为105-5+1＝101，第5行第10列的数为105-10+12＝965.自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............【分析】观察规律.第n行有(21n)个数，并且都是奇数。先算有135(2591)53486个奇数，所以60行第5个数是3486216971。6.如图，将1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？12131415上3行678上2行23上1行10行54下1行11109下2行19181716下3行2【分析】（1）下n行从左向右第(n1)个数（即最右数）为(n1)；故下5行从左向右第6个数为36，下5行从左向右第5个数为37；（2）上n行从左向右第1个数（即最左数）为nn(1)；故上6行最左数为42；（3）上44行从左向右第1个数为44451980，故2013为上44行从左向右第20131980134个数.7.给出一个“三角形”的数表如下：1第10级上超常体系教师版0\n第二讲01239969979989991351993199519974839883992127980此表构成的规则是：第一行0、1、2…999，以后下一行的数都是上一行相邻两数的和，问：第4行中能被999整除的数是_________.【分析】设四个数分别为n1,,nn1,n2n1nn1n22-12nn12n344nn44(2n1)因为999与4互质，所以第4行中999的倍数也是999×4＝3996的倍数．即2n1999，解得n499．因此3996符合条件；之后可试验3996的2倍，3倍及3倍以上的数n均不存在，说明第4行只有一个999的倍数．即3996二、复习巩固1.规定一种运算“※”：ab※表示求ab、两个数的差，即用ab、中较大的数减去较小的数，例如：5※4=5-4=1，1441366660※，※。那么，请按规定把下式化简。200620062006200620062006※1※2※3※4※5※6665665665665665665200620062006200620062006【分析】原式12345666566566566566566520062006200620062006200612345666566566566566566545612392.甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地：甲出发5分钟后，乙以每分钟80米的速度从B地出发去A地；结果他们在距两地中点100米的某处相遇，A、B两地相距米.【分析】设乙走了x分钟与甲相遇，根据题意知甲乙二人的路程差为200米，因此有60(xx5)80200或80xx60(5)200，解得x5或x25，因此A、B两地相距60108051000（米）或60(255)80253800（米）.3.用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是平方厘米。甲乙【分析】由图中可知，假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，那么假设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，那么宽就是3aa232，那么小长方体的体第10级上超常体系教师版11\n积就应该是3a2a3a6a，说明a的三次方是125，那么a=5，小长方体的长宽高分别是15、10、5，那么根据图形列出算式：30153015151522250平方厘米。开放试题下图为2014年1月份的日历，在日历中画出了一个最大的等腰三角形。按照这样的方法，观察你家中的日历。想一想数表中包含着什么规律？每行每列的数字相差多少？不同月份的三角形形状和顶点数字是否相同？1第10级上超常体系教师版2\n第三讲第三讲比例应用题预习一、知识GPS:本讲内容学习基本的按份数解比例应用题，化连比，寻找不变量的方法。前铺知识比和比例——五年级暑假第10讲（第9级上）分数应用题——五年级秋季第4讲（第9级下）后续知识浓度问题——五年级春季第6讲（第10级下）比例解行程——五年级春季第10讲（第10级下）课前测试难度一：a是b的2倍，是c的3倍，是d的4倍，是e的6倍．若a是1，那么bcde,,,分别为多少按大小顺序排列各数．难度二：按照排列顺序，试着将相邻的两个数写成比的形式，并化为最简比．难度三：试着用一个式子表示abcd,,,四个分数的比例关系，看看有什么规律？能不能把五个数写成连比的形式呢？并化简比。（连比即abcde::::）学习模块一：基本的比例应用题例1(1)ab:3:2,:ac3:5，则abc::________(2)ab:4:3,:bc2:1，则abc::________(3)ab:2:3,:bc2:3,:cd2:3，则abcd:::________【分析】(1)3：2：5；(2)8：6：3；(3)8：12：18：27；第10级上优秀A版教师版1\n【练一练】化简比：31144:63____:=_____26:30:40________5:15:50___________42【分析】16:73:213:15:201:3:10例2学校把购进的图书按2:3:4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？【分析】56÷4×（2+3+4）=126本综合（比例与几何中平面图形的综合应用）2下图中长方形的面积是21平方厘米，S1与S2的面积都是阴影部分的，阴影部分的面积是3平方厘米。S2S1【分析】根据题意SS::S2:2:312阴影所以阴影面积为21(223)39（平方厘米）例3参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【分析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800人，四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．3六年级：800300人；3232五年级：800200人；323四年级：30080220人．（“借”的80人别忘了“还”）【练一练】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【分析】一共有1613111311192个苹果.模块二：不变量应用题2第10级上优秀A版教师版\n第三讲例415今年儿子的年龄是父亲年龄的,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的。今年儿子______岁。411【分析】今年儿子和父亲的年龄比为1:42:8，15年后儿子和父亲的年龄比为5:11，所以儿子今年15(52)210（岁）【练一练】A和B两个数的比是8：5，每个数都减少34后，大数是小数的2倍，试求这两个数．【分析】法1：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34)=2(5x-34)，x=17，所以A为136，B为85．法2：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始AB:8:5，之后AB:2:16:3，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．笔记整理定义两个或多个数量之间份数关系的数学表达式比基本含义性质前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变比例应用题基本问化连比找两个比中的相同量的最小公倍数题按比分配已知总量和总量的份数，求出分量的值比例应用题进阶问和不变在其他量发生变化中，两个量的和是一个定值题差不变在其他量发生变化中，两个量的差是一个定值模块三：综合的比例应用题例5将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比是5∶4∶3，实际上，甲、乙、丙人所得糖果数的比为7∶6∶5，其中一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为块。543【分析】方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的12，12，12；实际甲、乙、丙765三人所得糖果数分别占总数的18，18，18，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小53515540540150朋友是丙。糖果总数为1812（块），丙实际所得的糖果数为18（块）。方法二：统一份数为：甲乙丙总数为原计分配为5∶4∶312份实际分配为7∶6∶518份统一份数为15∶12∶936份14∶12∶1036份对比分析甲15→14，乙12→12，丙9→10，发现多得糖果的是丙所以1510910150（块）第10级上优秀A版教师版3\n复习家庭作业一、本讲巩固5131.化整数比：::_____232【分析】15：2：92.ab:5:4,:bc3:2，则ac:___【分析】利用b将a,c统一．abc::15:12:8，因此ac:15:83.小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.34【分析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的、、34634663，所以小新拥有的藏书数量为5212本，小志拥有的藏书数量为346346465216本，小刚拥有的藏书数量为5224本.346346214.某分数约分后为，若分子，分母都增加9后，分数约分后变成，则这个分数的分子与分母72的和为多少？2x2x91【分析】法1：设这个分数为，根据题意可得，解得x3，因此和为2x7x9x277x7x92法2：差不变，分子分母之前差5份，之后差1份，统一成5份，则9就是5-2=3份，每6份是3，这个分数是，分子分母和为2721A2AB7A6法3：设这个分数为，可列出方程组，AB27BAB9121B925.一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．88【分析】法1：原来一班的人数为两班总人数的，调班后一班的人数是两班人数的87154484，调班前后一班人数的比值为:6:5，所以一班原来的人数为459159865648人，二班原来的人数为488742人.4第10级上优秀A版教师版\n第三讲法2：调班前后两班总人数不变，统一为[15,9]45份，则调班前人数比为24:21，调班后人数比为20:25，则每一份为842人，所以一班原有24248人，二班原有21242人二、复习巩固1．菜农李爷爷每天都和王老板在市场进行交易。李爷爷骑车从菜园出发，每分钟行200米，王老板从市区同时出发，每小时行60千米，两人同时到达位于菜园和市区之间的市场。一日，李爷爷提前半小时从菜园出发，但速度不变，王老板同时从市区出发，每小时行90千米，两人仍同时到达市场。求李爷爷家的菜园到市区的距离。【分析】60千米／时=1000米／分，90千米／时=1500米／分。设平时李爷爷和王老板出发t分钟后到达市场。根据题意．列方程得(2001000)tt20030(2001500)(30).解得t90,所以李爷爷家的菜园到市区的距离是(2001000)9010800（米）。2．如图，一个正方体被切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积之和是原长方体表面积的_______倍。【分析】本来的大长方体前后各有一个面，被切了两下之后相当于多了4个面，前后面的面积变为原来的3倍，同理，左右上下也变为原来3倍。总面积也变为3倍。3．杨辉三角的第10行第3个数是_________。1……第一行11……第二行.121.1331.1464115101051【分析】123………………………836开放试题如果你有800万，可以有以下项目可以选择投放：（1）资助一名优秀的贫困大学生；（2）帮助一个村庄建一所小学；（3）资助国家的交通建设；（4）资助国家的体育建设；（5）其他：。你会选择其中的几项来完成，每一项投放的比是多少？计算具体是多少钱。为什么这样选择？第10级上优秀A版教师版5\n第四讲第四讲时钟问题预习一、知识GPS:本讲内容简单的钟面角度问题；时针和分针重合问题，形成各种角度的问题；钟表中的相遇与追及问题；坏钟问题前铺知识相遇问题——四年级暑假第4讲（七级上）追及问题——四年级暑假第5讲（七级上）后续知识比例法解行程——五年级春季第9讲（十级下）多次相遇与追及——六年级暑假第11讲（十一级上）课前测试难度一：看看家里的钟表，想一想秒针走一圈要多久？分针走一圈要多久？难度二：想一想一小时秒针会走多少圈？会遇到时针多少次？难度三：想一想一小时分针和时针会遇到多少次？下一次相遇最少要多久？想一想一天会遇到多少次呢?学习模块一：钟表中的基本行程例1已知：钟表上共12个数字刻度，将钟面分成60个小格，开始时分针指向3，过了一段时间后，分第10级上优秀A版教师版1\n针指向了8，这段时间里分针和时针各走了多少个小格？分针和时针各旋转了多少个度？25【分析】分针走了25个小格，时针走了个小格，分针走了256150度，时针走了1501212.512度例23：00时，分针落后时针____度，15分分针走___度，时针走___度，因此3：15时，时针与分针的夹角是___度．【分析】90，15×6=90，15×0.5=7.5，90-90+7.5=7.5练一练：5：20时，钟表盘面上时针与分针的夹角是__度。【分析】5点时夹角是150度，每分分针转6度，时针转0.5度，5：20的时候夹角为150-6×20+0.5×20=40度。模块二：钟表中的追及和相遇问题例3一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：多少分钟后，时针与分针第一次重合？再过多少时间分针和时针第二次重合？4【分析】法1：用度数算：905.516分1114法2：3点时分针落后时针15格，所以15(1)16分钟后，时针与分针第一次重合．1211515再过360(60.5)65分或（60(1)65分）分针和时针第二次重合.111211综合（时钟与计数的综合）观察一下钟表，完整的12小时内，时针与分针共重合了次,那么你观察一下，两针共垂直了___次,成180度的情况共出现___次，在一条直线上的情况共出现____次.【分析】观察一下钟表，你会发现基本上时针与分针每小时都会有一次重合，但11点到12点之间是没有重合的．因此完整的12小时内，时针与分针共重合了11次，时针与分针一般一小时内有2次垂直，但在2点到3点与8点到9点之间仅有一次，因此共有12×2-2=22次垂直。一小时内一般有一次成180度，但5点到6点之间没有180度，因此共有12-1=11次成180度。在一条直线包含两种情况：重合与成180度，12小时内有11次重合与11次成180度，因此在一条直线的情况共出现11+11=22次.例47点到8点之间的什么时刻，钟面上时针与分针时成30度角？8【分析】7点时分针与时针夹角为210度，第一次成30度时经过(21030)5.532分112第10级上优秀A版教师版\n第四讲7第二次成30度经过(21030)5.543分11练一练：1点到2点之间的什么时刻，分针与时针垂直？【分析】法1：可以想象，这道题的答案应该有2个，一个是分针超过时针90度，另一个是分针超96过时针270度．答案为：(3090)5.521分或(30270)5.55411111916法2：用格，分针要多走20或50格，20(1)21分或50(1)54分12111211例5小明在1点多钟时开始做数学题，当他做完题时，发现还没到2:30，但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置，你知道小明做题时用了多长时间吗？【分析】在不到1.5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈.5法1：用度数算：3606.555分.1315法2：用格数算：60155分.1213笔记整理钟面中的路程单位通常是“格”或“度”，且1格=6度格度(°)时钟一圈60格360度11时针速度格/分钟度/分钟122分针速度1格/分钟6度/分钟复习家庭作业一、本讲巩固1.当分针走60度时，时针走了____度；当时针走了12度时，分针走了___度．【分析】60÷12=5；12×12=144.第10级上优秀A版教师版3\n2.12：12时，时针与分针的夹角是___度。【分析】12（6-0.5）66度。3.有一座时钟现在显示10时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合?6【分析】法1：度，分针要追300度，3005.554分11法2：格，现在是10时整，分针在时针后50格处，则追及时间为：1650(1)54分钟．12114.8点____分的时候，分针与时针第一次形成75角.1【分析】法1：用角度算：(24075)(6)30(分钟)275252555法2：分针时针成75角时，中间相差60(格)，需要追赶40(格).需要时360222551间为(1)30(分钟).2125.在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？【分析】此题有两种情况：成180度，和重合。法1：度①当分针与时针的夹角为180°角时：4(930180)(60.5)16分11②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时：1930(60.5)49分.111411法2：格，成180度时：(4530)(1)16分；重合时：45(1)49分.12111211二、复习巩固1.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【分析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000（平方厘米）．2.将数列：1，1，2，3，5，8，……按顺序写在下表中，则233在第___行第____个数．11,23,5,813,【分析】兔子数列的前几个数分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……233是第13项，而1+2+3+4=10，13-10=3，因此233在第5行第3个数．3.小红帮妈妈包韭菜鸡蛋饺子，韭菜与鸡蛋的质量比是3:2，450克的料中，韭菜、鸡蛋各有多少克？4第10级上优秀A版教师版\n第四讲【分析】4503290（克）903270（克）……韭菜902180（克）……鸡蛋开放试题太阳每天东升西落，手表时针每天转两圈，想一想如何用手表辨别东西南北呢？具体操作：手表平放，以当地地方时的一半指向太阳，12时所在方位为北方。例如：某日16时。将8时指向太阳，12时所在为北方。第10级上优秀A版教师版5\n第五讲第五讲圆与扇形初步预习一、知识GPS:本讲内容学习圆的周长和面积公式的推导过程运用圆的周长和面积公式推导扇形的弧长和面积计算不规则的曲线型的面积前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）平行四边形和梯形——三年级春季第2讲（第6级下）后续知识圆与扇形进阶——五年级春季第8讲（第10级下）旋转与轨迹——六年级秋季第6讲（第11级下）课前测试难度一：平面上有三个点，任意两点距离相等，那么三点连线的图形是？难度二：平面上有四个点，任意两点距离的距离长度有两种，那么四点连线的图形是？难度三：平面上有n个点，恰好有一个点到其它点的距离均相等，那么其他点连线的图形是？学习模块一：圆与扇形公式的推导与应用例1求图中各图形的周长与面积。（单位：厘米）第10级上优秀A版教师版1\n30r=73022302【分析】C2r23.1494.2（cm）Sr3.14()706.5(cm)。22222C2r23.14743.96（cm）。Sr3.147153.86（cm）。练一练：一只蚂蚁要从下图中的A点爬到B点，有两条路可以选择。问：哪条路近一些？长度是多少？（单位：米）64AB【分析】由于三个圆的圆心都在一条直线上，可以知道两个小圆的直径和等大圆的直径，从而可以利用这一隐藏条件，结合表达式的推导从而解决这个问题。11164(64)15.7（米），即两条路线的长度相同.222例2求图中各图形的周长与面积。（单位：厘米）45°r=10222r3.145r3.1452【分析】Cr2+25=17.85（cm）,S19.625（cm）。4244453.14452212C2r2r+2=27.85（cm）,Sr3.141039.25（cm）。36043608综合2第10级上优秀A版教师版\n第五讲（圆与差不变原理的综合）如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长.(π取3.14)A甲乙BC12【分析】利用差不变原理可以得到S甲S乙S半圆SΔABC7，所以SΔABCπ107150，2BC15022015模块二：不规则图形的面积：例3下图中的两个同心圆半径分别为12和10，画出的两条大圆直径相互垂直，求阴影部分面积。（π取3.14）122【分析】阴影部分的面积就是半个圆环的面积，Sπ(1210)69.082例4如下图，四边形ABCD是梯形，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米。（图中单位是厘米）11222【分析】阴影部分的面积是：3.1483.144=25.12（cm）42练一练：求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)第10级上优秀A版教师版3\n12【分析】阴影部分的面积=(410)423.14415.42(平方厘米)4笔记整理一、圆1.圆的周长：Cπd2πr22.圆的面积：Srπ二、扇形nn1.弧长：圆心角为n，则扇形中的弧长部分=所在圆的周长，即弧长Lr2π3603602.周长：CL2r3.扇形的面积2nSrπ360三、圆环2222圆环面积：S环πRπrπ()Rr四、圆套圆、方套方模型：222如下图1，大圆面积与正方形与小圆面积之比为：2πrrr:4:π2π:4:π222如图2，小正方形与圆与大正方形面积比为：2:RπR:4R2:π:4。模块三：圆与扇形的综合应用例5如图，这是一个“圆中有方，方中有圆”的奇妙图案，已知外面大圆的半径是4cm，求正方形以及里面小圆的面积.（π取3.14）4第10级上优秀A版教师版\n第五讲【分析】大圆的面积为2π416π，“圆方圆”的面积之比为2π:4:π，16π216π2则正方形面积为432cm；小圆的面积为：π8π25.12cm；2π2π复习家庭作业一、本讲巩固21.一个圆的半径是10cm，它的直径是cm，周长是cm，面积是cm;【分析】20，62.8，3142.如图，最大的大圆的周长和它内部所有圆周长之和哪个更大呢？为什么？【分析】一样大，设三个小圆的半径分别为r、r、r，则大圆的半径为rrr，大圆周长为1231232π()rrr，小圆周长的和为2πr2πr2πr，二者相等。1231233.下图是由一个长方形和一个扇形构成的，已知这个长方形的长是8cm，宽是4cm，求阴影部分的面积。（π取3.14）122【分析】S84π419.44cm424.学而思花园的一种地砖形状如图所示，已知一块这种地砖的占地面积是3600cm，那么1000块地砖铺成的地面上，有多少平方米的面积是深色的？（π取3.14）【分析】本题所给的数字较大，可以先把单位化为分米或者米进行计算。第10级上优秀A版教师版5\n22Sm(0.36π0.3)100077.45.下图是由四个同心圆组成的，且图中由各个圆分割出的四部分面积是相等的。已知从小到大的2第二个圆的面积是25.12cm，求最大的圆与最小的圆的直径的差。（π取3.14）【分析】每一份的面积都是12.56，即4π，所以小圆的半径是2，大圆的半径是4，直径的差是(42)24cm二、复习巩固1.下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：公元历200519851910希伯莱历5746伊斯兰历1332印度历1927【分析】无论哪个历法，都是一个等差数列，根据这个规律和对应关系，可以填出下表：公元历200519851910希伯莱历576657465671伊斯兰历142714071332印度历1927190718322.某小学共有70名老师，男女教师的比例不可以是（）。A、3:4B、3:2C、1:2D、2:8【答案】C3.钟面上5点整，时针与分针夹角是多少度？【分析】5点整时，时针与分针之间间隔5大格，每大格是30度，5大格是150度．开放试题我们大家都买过饮料吧，你观察你的饮料瓶的瓶嘴和瓶底是什么形状的，只给你一条足够长的细线和一个米尺，你能知道瓶嘴和瓶底的面积比吗？6第10级上优秀A版教师版\n第六讲第六讲因数与倍数进阶预习一、知识GPS:本讲内容运用短除模型解决因数倍数的相关问题灵活运用因数个数定理解决因数个数相关问题前铺知识整除特征初步——四年级暑期第9讲（第7级上）整除特征进阶——四年级秋季第13讲（第7级下）质数合数进阶——五年级暑期第12讲（第9级上）因数倍数初步——五年级秋季第1讲（第9级下后续知识完全平方数——五年级春季第8讲（第10级下）数论模块综合选讲（二）——六年级春季第4讲（第12级下）课前测试难度一看一看下列数所含有的公因数是多少？2,4,6,8,10；5,10,20,50,100难度二看一看下列数所含有的最大公因数是多少？12,28,36,44,8454,27,81,108,90难度三（1）计算5,7；5,7（2）如果a与b互质，那么ab,；ab,学习模块一：短除模型的应用例1ab,表示ab、的最大公因数，(,)ab表示ab、的最小公倍数，下面我们通过特例来研究ab、、ab,、第10级上优秀A版教师版1\n(,)ab这四个数之间的关系（1）计算：812,__4________，(,)812____24______，812,(,)812_____96_____，812__96________。（2）计算：915,,（915）_______135___，915______135____。请你不妨再举几个例子试试，最后你发现ab、、ab,、(,)ab这四个数之间的等量关系式为________a×b=_ab,(,)ab___________。【练一练】两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72.已知其中一个自然数是18，求另一个自然数.【分析】由两自然数的乘积等于其最大公因数与最小公倍数的乘积，另一个自然数是(672)1824.例2已知两个自然数的最大公因数为13，最小公倍数为78，求这两个数．13AB【分析】,假设这两个数是13a和13b，且(,)1ab，易得13ab78，所以ab6，由aab和b互质，那么就有61623两种情况．所以这两个数为：13113，13678或13226，13339例3已知：xy432，(,)36xy．求xy、的值．【分析】如果直接通过枚举法由xy432入手求xy、，由于432数据较大，我们将无法顺利求出满足(,)xy36的xy、的值．36xyab设xa36，yb36，则(,)1ab．那么：36ab36432即：ab12．这样一来，枚举的范围就小得多！a1a5a11a7将12拆分为两个互质自然数的和：，，，．b11b7b1b5x36x180x396x252相应的xy、值为：，，，．y396y252y36y180综合（因数倍数与组合计数的综合）现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？并写出符合条件的所有的三个自然数.2第10级上优秀A版教师版\n第六讲【分析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公因数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公因数一定是1111的因数．因为111111101，它的因数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公因数，而101是可能的，所以所求数是101．因为111111101，设这三个自然数分别为A,B,C,且(,,)101ABC,ABC1111.101ABC,101(abc)1111，abc11满足条件的abc,,有abc(1,1,9),(1,2,8),(1,3,7)，(1,4,6)，(1,5,5),(2,2,7),(2,3,6),(2,4,5),(3,3,5),(3,4,4)共10种，对应的ABC,,分别为101,101,909；101,202,808；101,303,707；101,404,606；101,505,505；202,202,707；202,303,606；202,404,505；303,303,505；303,404,404模块二：因数个数定理例4求以下数分别有多少个因数。44781002009201120122222【分析】分解质因数得：44211，782313，10025，2009741，2011是质数，220122503，根据因数个数定理可求得因数个数分别为：6，8，9，6，2，6例5在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【分析】6只能表示为51或1121，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：222222222325272112132172192238种22223235373114种2252532种2721种所以符合条件的自然数一共有1842116（种）．笔记整理1.求最大公因数和最小公倍数的常用方法：短除法、分解质因数法。2.短除模型：Ama，Bmb，(,)1abABmambmmab(,)[,]abab使用短除模型解题，得到ab的乘积后进行拆分时要注意“ab互质”。3.因数个数定理：若NPPaa12Paa3Pn（指数加一再连乘）dN()(a1)(a1)(a1)(a1)123n123n反用时要把情况想全第10级上优秀A版教师版3\n4.因数和定理：SNpa1pa111p2p111pa2pa2p2p111112222aann121pnpnpnpn1复习家庭作业一、本讲巩固1.(45,27)×[45,27]=_____.【分析】(45,27)×[45,27]=12152.甲数是36，甲、乙两数最大公因数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？【分析】法1：根据两个自然数的积两数的最大公因数两数的最小公倍数，有：甲数乙数4288，所以，乙数42883632；法2：因为甲、乙两数的最大公因数为4，则甲数49，设乙数4b，则(,9)1b．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则28849b，得b8．所以，乙数4832．3.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，试求这两个数的差．【分析】设这两个自然数为：5,5ab，其中a与b互质，5ab550，ab10，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45-5=40，35-15=20．所以，所求这两个数的差是40或者20．4.450有多少个因数？22【分析】450235，因数个数为(11)(21)(21)185.在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【分析】由于91933，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，8或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有2256符合条件，后者中符合条222222222222件有25100、27196、211484、213676、35225、37441，所以符合条件的数有7个．二、复习巩固1.甲、乙两包糖的重量比是5︰3，如果甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7︰5。请问：这两包糖重量的总和是多少克？【分析】糖的总数不变5:315:9，7:514:10，这两包糖重量的总和是10(1514)(1410)240（克）2.有一座时钟现在显示上午10点整。问：多少分钟后，分针与时针第一次重合？116【分析】上午10点整，分针落后时针50格，所以50(1)50(1)54分钟后分针与时121111针第一次重合4第10级上优秀A版教师版\n第六讲3.如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积.【分析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4428.开放试题测量一下家中客厅的长与宽，若想全部铺上正方形的地砖，最少需要多少块？第10级上优秀A版教师版5