第1讲第一讲因数与倍数初步知识站牌五年级寒假五年级秋季因数与倍数进阶神奇的9五年级秋季因数与倍数初步五年级暑假质数与合数进阶五年级暑假质数与合数初步因数倍数的定义；互质概念；最大公因数与最小公倍数定义及求法；最大公因数和最小公倍数的应用漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事，他说“我有一个学生，研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》。《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？书上印的是1080年。苏东坡生于1037年，活了66岁。《赤壁赋》开头几句就是：壬戍之秋，七月既望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戍年。我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1082年，就知道一定是错的。”你知道苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？你能推算出苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》吗？教学目标1.掌握最大公因数,最小公倍数的求法.2.会利用最大公因,最小公倍解决相应的应用题.经典精讲一、基本概念：因数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的因数（或约数）．因数的找法：因数一般都是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身.若自然数abc,,满足：abc，那么，bc,都是a的因数.如60包含因数：1和60；2和30；3和20；4和15；5和12；6和10.（特殊情况，完全平方数，如25有因数5，不成对.）最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．例如：(8,12)4，(6,9,15)3．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：8,1224，6,9,1590．二、关于最大公因数：1.求最大公因数的方法：①枚举法.②分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．22例如：2313711，252237，所以(231,252)3721；3222又如：2423，3623，所以(24,36)2312；③短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．2第9级下优秀A版教师版\n第1讲21812例如：396，所以(12,18)236；32④辗转相除法（选讲）：用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公因数是15．2.求一组分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公b82(8,2)2因数b；即为所求．例如：(,)a915[9,15]45三、关于最小公倍数：1.求最小公倍数的方法：①枚举法.②分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次.2222例如：2313711，252237，所以231,252237112772；32232又如：2423，3623，所以[24,36]2372；③短除法：先找所有包含的因数，然后相乘.21812例如：396，所以18,12233236；32特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质.212184036920例如：，所以12,18,402321310360；223201310④公式法:先求出最大公因数,再利用公式ab,(,)abab求最小公倍数.2.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b；a35[3,5]15即为所求．例如：[,]b412(4,12)4知识点回顾1.若abc,其中b0,且a,b,c均为整数,则a是b的_____;b是a的_____;a能被b____;b能_____a.第9级下优秀A版教师版3\n2.举出一个例子,再用上面的四句话叙述一下．3.一个数除了1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做_____.一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫做_____.要特别记住：0和1既不是质数,也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计______个.4.分解质因数,并写成标准式．(1)6______(2)12_____(3)18_____(4)36_____(5)111____(6)999____(7)1001_____(8)2013____【分析】1.倍数,因数,整除,整除2.略3.质数,合数,25222234.623;1223;1823;3623;111337;999337;100171113;201331161例题思路模块1：例1,因数与倍数的基础模块2：例2-4,最大公因数与最小公倍的求法模块3：例5,因数与倍数的应用例1(1)12=1×()=2×()=3×()，所以12的因数有：_______________________.(2)18的因数有：_______________________.(3)12和18公共的因数有：_______________，其中最大的是___，最小的是___，想一想，最大公因数与所有的公因数有什么样的关系．(4)枚举一下12和18的倍数，并找出其中公共的倍数，其中最小的是多少？是否有最大的？想一想，最小公倍数与所有的公倍数有什么样的关系．【分析】(1)12，6，4；1，12，2，6，3，4(最好让孩子成对的写出来)(2)1，18，2，9，3，6(3)1，2，3，6；6；1.规律：若a,b的最大公因数为c，则c的因数即为a,b的公因数．(4)36；无最大的；规律：若a,b的最小公倍数为c，则c的倍数即为a,b的公倍数.想想练练：10和15的公因数有哪些，请列举出来．【分析】可用枚举的方法，也可用先求出最大公因数5，再求5的因数．答案为1和5.例2计算下列各组数的最大公因数：(4,5)____(7,97)____(6,37)___(5,10)____(9,99)____28,35____108,360____24,36,90_____3553,1411____（选学）4第9级下优秀A版教师版\n第1讲(学案对应:学案1)【分析】求最大公因数，一般有枚举法，分解质因数法，短除法，辗转相除法4种方法.枚举法，分解质因数法与短除法，一般用于易分解质因数或公因子显而易见的情况.但如果数字较大，一般采用辗转相除法.本题中可以总结以下知识点：(1)相邻2数必互质；(2)2个质数必互质；(3)大质小合必互质；(4)2数有倍数关系，则小数为最大公因数；(5)2数的最大公因数不超过2数的差，同时也是差的因数．答案如下：(4,5)1；(7,97)1；(6,37)1；(5,10)5；(9,99)9；28,357；108,36036；24,36,906；3553,141117下面是分解质因数法，短除法，辗转相除法的例子．分解质因数法：28,35____28227，28,3573557短除法：24,36,90_____3243690281230，24,36,903264615辗转相除法：3553,1411____355314112......73114117311......6807316801......51因此，3553,1411176805113......1751173......0【补充】(1)(25,45)____(2)(30,20)____(3)(51,68)___(4)(24,30)____(5)(14,21)_____(6)(39,1001)____(7)(32,64)____(8)(44,79)____(9)(65,75)____(10)(30,40,60)____(11)(91,140,147)____(12)(180,135,45)____【分析】(1)5；(2)10；(3)17；(4)6；(5)7；(6)13；(7)32；(8)1；(9)5；(10)10；(11)7；(12)45【拓展】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？【分析】本题中，要求的数去除30、60、75都能整除，所以要求的数是30、60、75的公因数.要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公因数.5306075361215245即(30,60,75)5315，这个数最大是15.例3计算下列各组数的最小公倍数：第9级下优秀A版教师版5\n[3,4]____[4,5]____[5,15]____[8,32]____[6,9]____28,35____；；；；；；108,360____(学案对应:学案2)【分析】求最小公倍数，常用的方法有：分解质因数法，短除法.本题中涉及到的知识点有：(1)互质的2数的最小公倍数为2数的乘积；(2)2数成倍数，则最小公倍数为较大数；答案如下：[3,4]12[4,5]20[5,15]15[8,32]32[6,9]1828,35140108,3601080如下是分解质因数与短除法的例子：分解质因数：28,35____28227，28,3522751403557短除法：108,360____21083602541802332790108,36023101080，3930310【补充】(1)[25,45]____(2)[30,20]____(3)[51,68]___(4)[24,30]____(5)[14,21]_____(6)[39,1001]____(7)[32,64]____(8)[44,79]____(9)[65,75]____【分析】(1)225(2)60(3)204(4)120(5)42(6)3003(7)64(8)3476(9)975想想练练：[11,15]___[16,10]___[27,18]___【分析】165，80，546第9级下优秀A版教师版\n第1讲亲和数人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系。据说有人问毕达哥拉斯：“朋友是什么？”他回答：“朋友就是你中有我，我中有你，如同220和284一样。”用数学语言来说，其意义是：220的真因数1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和是284；而284的真因数1、2、4、71、142之和正好是220。你看，220和284是不是你中有我，我中有你。毕达哥拉斯将具有这种性质的数称为亲和数。在中世纪，宗教学者往往利用亲和数的特征来为宗教披上神秘主义色彩。例如在《圣经·创世纪》中，耶各的礼物200只母山羊20只公山羊，就被《圣经》的一位注释者说成是一种有意的秘密安排，因为220是亲和数对220、284中的一个。然而，俗话说的好：知音难觅。亲和数的工作比想象的要难得多，毕达哥拉斯首先发现220与284是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽然经过一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到1636年法国数学家费马(P．deFermat，1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。例4计算下列各组数的最小公倍数：[3,4,5]_____[6,8,10]____[4,5,6]____[4,6,9]_____24,36,90_____(学案对应:学案3)【分析】三数或多数求最小公倍数，用短除法必须除到任意2数都互质．答案如下：[3,4,5]60[6,8,10]120[4,5,6]60[4,6,9]3624,36,9036032436902812303224615，24,36,9023536032315215例5(1)有3根铁丝，长度分别是18厘米、24厘米、30厘米.现在要把它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每一小段最长是多少厘米？一共可以截成多少小段？(2)一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟时又同时发车？(学案对应:学案4)第9级下优秀A版教师版7\n【分析】(1)要截成相等的小段，且无剩余，所以每段长度必须是18、24、30的公因数.又因为每段尽可能长，所以要求每段长度必须是18、24、30的最大公因数.318243026810345即每一小段长(18,24,30)326（厘米），共可以截成34512（段）(2)依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发车.想想练练：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公因数，要求最多的人数，即是18和27的最大公因数9了．【拓展】张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没有分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？【分析】苹果：225-9=216（个）,梨：350-26=324（个）,桔：150-6=144（个）（216、324、144）=36，每个小朋友分了：216÷36=6（个）苹果。【拓展】幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有多少人？【分析】从题中不难看出，这个大班小朋友的人数是1157108，1484144，74272的公因数．而(108,144,72)36，所以，这个大班的小朋友最多有36人．8第9级下优秀A版教师版\n第1讲数字黑洞一个31位数的自然数，如果把这个自然数每相邻的两个数码组成的整数作为两位数来考虑的话，任何一个这样的两位数都是17的倍数或23的倍数。另外，这个31位的自然数的数码中只有一个7，请求出这个31位数的所有数码之和。答：17的两位倍数有：17,34,51,68,85；23的两位倍数有：23,46,69,92.因为这个31位数的数码中只有1个7，而17或23的倍数中只有17含有数字7，所以我们倒着想，数码从右向左依次为：7-1-5-8-6-4-3-2-9-6-4-……，如图：你可以发现，从8以后，总是6、4、3、2、9每5个数一循环，像个“黑洞”一样。由于共有31位数，且（31－4）÷5=5……2.所以这个31位数的和为：（8+5+1+7）+（9+2+3+4+6）×5+6+4=151.杯赛提高加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析】为了使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有a、b、c个工人,有6a10b15ck,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即6,10,1530．所以a5,b3,c2,则三道工序最少共需要53210名工人．附加题1.求(68,142)；[68,142]；(160,2180,3524)；[160,2180,3524]。【分析】(68,142)=2，[68,142]=4828(160,2180,3524)=4[160,2180,3524]=15364640第9级下优秀A版教师版9\n2.（1）(28,72)___[28,72]___；（2）(28,44,260)___[28,44,260]___。【分析】（1）（28，72）=4，[28，72]=504；（2）（28，44，260）=4，[28，44，260]=20020。3.（1）(391,357)___[391,357]____；（2）(18,24,36)____[18,24,36]____。【分析】（1）（391，357）=17[391，357]=8211（2）（18，24，36）=6[18，24，36]=72。1114.一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满743100人，那么得差的学生有多少人？111【分析】由题意“参加的学生中有得优，得良，得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3743的倍数，因为7，4，3的最小公倍数为84(小于100人)，所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823人．5.图书馆每天都开门，甲，乙，丙三人都在图书馆借书．甲每隔2天去一次；乙每隔3天去一次；丙每隔4天去一次．某天(设为第1天)，三人同时去了一次图书馆，那么第几天三人会再次都去图书馆？【分析】甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次．因此三人在第[3,4,5]60天会再次同天去图书馆．6.一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【分析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公因数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公因数．450和330的最大公因数是30．4503015，3303011，共需1511165(块).7.一块长方形草地，长120米，宽90米。现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？【分析】120÷2=60，90÷2=45，每两棵树之间的距离是它们的最大公因数。（120，60，90，45）=15，一共要：（120+90）×2÷15=28（棵）。知识点总结1.最大公因数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,辗转相除法.2.最小公倍数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,公式法.10第9级下优秀A版教师版\n第1讲家庭作业1.45与75的公因数有哪些，请列举出来．【分析】(45,75)15，15的因数有1，15，3，5.2.(10,11)___(45,90)___(15,35)___【分析】1，45，53.[10,11]___[45,90]___[15,35]___【分析】110，90，1054.[10,12,15]___[9,15,20]___【分析】60，1805.教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工。请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？【分析】（320,240,200）=40（份）苹果：320÷4=8（个）,桔子：240÷4=6（个）,香蕉：200÷4=5（个）。6.冥王星有三颗卫星，卫星一绕冥王星一周需要6天，卫星二需要10天，卫星三需要15天。从图中所示位置开始，最少需要()天才能回复到原来的位置。A.30B.60C.90D.150【分析】[6,10,15]=30,选AA版学案【学案1】(36,37)____(24,47)___(17,34)___(42,24)___【分析】1，1，17，6【学案2】[6,7]___[10,40]___[18,20]___[35,14]____【分析】42，40，180，70【学案3】[2,8,10]____[8,12,16]____第9级下优秀A版教师版11\n【分析】40，48【学案4】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【分析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公因数，有(336,252,210)42,即可以分42份，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个．12第9级下优秀A版教师版