第3讲第三讲鸟头模型知识站牌五年级秋季五年级秋季燕尾模型蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型五年级暑假比例模型四年级春季一半模型简单鸟头模型漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入大家都知道下围棋有“定式”，“定式”都是高手们长期实践的经验结果，一个围棋高手能够灵活运用各种定式，只需寥寥几子就知道对方的路数，就能推测以后的各种演化.一个数学解题的高手也可以灵活运用数学中的各种思维模式，从而快速解题.在数学中，将一类不断重复出现的、类似的问题以及该类问题的解决方法总结出来，并抽象成一定的描述及规范，即模型，这样在遇到此类问题时无需再作过多的考虑，直接使用总结好的方法,迅速解决问题，这种方法相当于数学中的“定式”.今天我们将学习的鸟头模型就是小学直线型几何面积计算中提炼出来的一个行之有效的“定式”.教学目标1、能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法2、能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题3、能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题经典精讲鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点如图(1)，或D在BA的延长线上，E在AC上如图(2），或D在BA的延长线上，E在CA延长线上如图（3），或两个角相加为180如图（4），则ABACS:S(ABAC):(ADAE)△ABC△ADEADAEDDAEADEADEEABCBCBCBC图⑴图⑵图⑶图⑷2第9级下优秀A版教师版\n第3讲例题思路模块1：例1-2，鸟头模型的证明模块2：例3-4，鸟头模型的简单应用模块3：例5，鸟头模型的多次运用知识点回顾1.（1）等底等高的两个三角形面积.（2）两个三角形高相等，面积比等于之比.（3）两个三角形底相等，面积比等于之比.【分析】（1）相等（2）底（3）高222.（1）如图1，D为BC的中点，S12cm，则S：S__:__，S____cm△ABCABDACDABD22（2）如图2，BC=4BD，S△ABC12cm，则SABD：SACD__:__，SABD____cm图1图2【分析】（1）1:1，6（2）1:3,3223.如图，已知在三角形ABC中，BD：CD=2：3，且S20cm，则S____cm，△ABCABDS：S__:__，S__SABDACDACDABC3【分析】8，2：3，5例1第9级下优秀A版教师版3\n22（1）如图1，已知在三角形ABC中，BD：AD=7：5，且S△ABC144cm，则SACD____cm，2S__S.之后在AC边上选一点E，使得AE：EC=5：7，如图2所示，则S___cm，ACDABCADES__SADEABC图1图2（2）如图,在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点，且ADAB:3:7,AEAC:4:7,如果S6△ADE平方厘米，求△ABC的面积.AADDEEBCBC（3）如图,在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点，试说明S:S(ADAE):(ABAC).△ADE△ABCAADDEEBCBC（4）如图，DE,分别是BA,CA延长线上的点，试说明：S△ADE:S△ABC(ADAE):(ABAC)EEDDAAD'E'BCBC525【分析】（1）60，，25，12144（2）连接BE,S△ADE:S△ABEADAB:3:7(34):(74)12:28,S:SAEAC:4:7(47):(77)28:49，所以S:S12:49,△ABE△ABC△ADE△ABC设S12份，则S49份,S6平方厘米,所以1份是0.5平方厘米，49份就是△ADE△ABC△ADE24.5平方厘米，△ABC的面积是24.5平方厘米．（3）连接BE,S△ADE:S△ABEADAB:,S△ABE:S△ABCAEAC:，两个等式相乘得：S:S(ADAE):(ABAC)△ADE△ABC4第9级下优秀A版教师版\n第3讲（4）将三角形ADE旋转180度，得到三角形AD’E’,然后证明同上.想想练练：如图，三角形ABC中，ADDB:2:3，AEEC:3:2，如果三角形ADE的面积等于12，那么三角形ABC的面积是多少？ADEBC【分析】直接用共角定理：S△ADE:S△ABC(23):(55)6:25，设S6份，则S25份,S6平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50△ADE△ABC△ADE平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．例2(1)如图,在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，你能否说明S:S(ADAE):(ABAC).已知ABAD:5:2，AEEC:3:2,S12平方厘米，求△ADE△ABC△ADE△ABC的面积.DDAAEEBCBC（2）如图，S△ADE与S△ABC的比和AD、AE、AB、AC之间有什么样的关系？试着证明你的结论.DEABC(学案对应:学案1)【分析】（1）连接BE,S△ADE:S△ABEADAB:,S△ABE:S△ABCAEAC:,两个等式相乘得：S:S(ADAE):(ABAC)△ADE△ABC所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25,设S△ADE6份，则S△ABC25份,S△ADE12平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．（2）S:S(ADAE):(ABAC)，将三角形ADE顺时针旋转90度，得到和（1）△ADE△ABC类似的图形，然后证明同上综合例1和例2，我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或第9级下优秀A版教师版5\n互补角)两夹边的乘积之比(建议老师一定要把共角定理的推理过程讲透，防止学生只记结果，而不知为什么)几何中的思维方法在几何中有两种思维方法：一种分析法，从结论出发，考虑满足结论成立所必须具备的条件，逐步追溯到题目所给的已知条件，从而打通条件与结论之间的联系。另一种方法叫综合法，其思维方向与分析方法相反，是由条件推倒出新的结论，然后把新的结论当作已知条件进行推导，逐步推导出题目中的结论。例3如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AE乙甲BCD(学案对应:学案2)【分析】S:S(43):(89)1:6，所以S5S△BDE△ABC乙甲想想练练：三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分，问：三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几?【分析】根据鸟头模型有S:SS△BDE323，S△BDE33．△BDE△ABCS△ABC342628S四边形ACDE28325例4如图,以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知△ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？(学案对应:学案3)6第9级下优秀A版教师版\n第3讲【分析】因为∠BAC∠HAG180,所以S:S(ABAC):(AHAG)1:1,所以△ABC△HAGS10(平方厘米)，同理另外两个三角形的面积也是10平方厘米，所以另外三个三角△HAG形的面积和是30平方厘米例5如图,在△ABC中，DEF,,分别是ABACBC,,边上的点，且BDAD:5:2,BFFC:3:5,CEAE:2:3，△DEF的面积为43.5平方厘米，则△ABC的面积是平方厘米.(学案对应:学案4)【分析】根据鸟头定理分别求△BDF,△CEF,△ADF的面积与△ABC的面积的关系，S:S(53):(78)15:5675:280,△BDF△ABCS:S(25):(58)1:470:280,△CEF△ABCS:S(23):(75)6:3548:280,△ADE△ABC设S△ABC280份，则S△DEF28075704887份，恰是43.5平方厘米，所以△ABC的面积是140平方厘米111想想练练：如图，已知:AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么S:S的比值等于多少?△DEF△ABC546【分析】根据鸟头定理分别求△AEF,△CED,△BDF的面积与△ABC的面积的关系，S△AEF:S△ABC(51):(65)1:620:120,S:S(14):(54)1:524:120,△CED△ABCS:S(13):(46)1:815:120,△ADE△ABC61设S△ABC120份，则S△DEF12020241561份，S△DEF:S△ABC120第9级下优秀A版教师版7\n有一块如图的蛋糕，DE分别是AB的三等分点，小明按图切成3块，求空白部分是阴影部分的几倍？答：2倍，将两个一模一样的蛋糕拼成如图所示，可以看出空白部分是阴影部分面积的2倍。杯赛提高如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积．FACEBD【分析】用共角定理∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，SACBC111△ABC∴．SFCCE428△FCE又S△ABC1，所以S△FCE8．同理可得S6，S3．△ADF△BDE所以SSSSS186318．△DEF△ABC△FCE△ADF△BDE8第9级下优秀A版教师版\n第3讲知识点总结鸟头模型:DDAEADEADEEABCBCBCBCABAC结论:S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)ADAE附加题1.如图所示，延长三角形ABC的三条边分别使得AB=BD，BC=CE，AC=AF，则三角形DEF的面积是三角形ABC面积的_____倍.【分析】三角形BDE是三角形ABC的2倍，同时三角形CEF与ADF也分别是三角形ABC面积的2倍，因此三角形DEF是三角形ABC面积的7倍.2.如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HHABEABEGCGCDDFF【分析】连接AC、BD．根据共角定理∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，第9级下优秀A版教师版9\nS△ABCABBC111∴．SBEBF133△FBE又S1，所以S3．△ABC△FBE同理可得S△GCF8，S△DHG15，S△AEH8．所以SSSSSS8815+3+236.EFGH△AEH△CFG△DHG△BEFABCDSABCD21所以.S3618EFGH家庭作业1．如图，三角形ABC中，AB是AD的4倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？AADDEEBBCC【分析】S:S(11):(34)1:12，所以S12.△ADE△ABC△ABC2．如图,已知点B，C，D在一条线上，E在AC上，且BC=2CD，AC=2CE，三角形ABC的面积为100平方厘米，则三角形CDE的面积是______．AEDBC【分析】由鸟头模型可知，三角形ABC的面积是三角形CDE面积的4倍，因此三角形CDE的面积为25平方厘米．3．如图，AD7，AE6，AB4，AC9，求三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍？DEABC7【分析】S:S(76):(94)7:6，所以三角形ADE的面积是三角形ABC面积的.△ADE△ABC64．如下图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且△ABC的面积是54，求△BDE和△CDE的面积.10第9级下优秀A版教师版\n第3讲AEBDC4【分析】S:S(22):(33)4:9，所以S5424，S24212△BDE△ABC△BDE△DEC95．如图,以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知AB3厘米，AC4厘米，BC5厘米，求六边形DEFGHI的面积.HGAIFBCDE【分析】因为∠BAC∠HAG180,所以S:S(ABAC):(AHAG)1:1,S3426(平方厘米)，所以图中四个△ABC△HAG△ABC222三角形的面积和是6424（平方厘米），三个正方形的面积和是34550平方厘米，因此六边形的面积是502474（平方厘米）6．已知△DEF的面积为6平方厘米，ADDB:BEFC:CEAE:1:2，求△ABC的面积．ADEBFC【分析】根据S△ADE:S△ABC(12):(33)2:9，同理S△BDF:S△ABC2:9，S△CEF:S△ABC2:9，设S9份，则S2份，S2份，S2份，S92223份，△ABC△ADE△BDF△CEF△DEF恰好是6平方厘米，每份的面积是632平方厘米，S18平方厘米△ABCA版学案【学案1】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中ABBE:2:5，BCCD:3:2，三角形BDE的面积是多少？第9级下优秀A版教师版11\nABECD【分析】由于ABCDBE180,所以可以用共角定理，设AB2份,BC3份,则BE5份,BD325份，由共角定理S:S(ABBC):(BEBD)(23):(55)6:25，△ABC△BDE设S6份,恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方△ABC厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米【学案2】如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是______平方厘米．BDAEFC【分析】S△ADES△DEF,S△ADE:S△ABC(AEAD):(ACAB)(11):(23)1:6,所以S5630（平方厘米）△ABC【学案3】园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青（外）、红（内）两色的三角形石板铺成.问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.HIGFABC【分析】因为∠BAC∠HAG180,所以S△ABC:S△HAG(ABAC):(AHAG)1:1因此，图中每一个红色三角形和对应的青色三角形面积都相等.所以内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大.【学案4】已知△DEF的面积为7平方厘米，BECEAD,2BDCF,3AF，求△ABC的面积．AFDBEC【分析】S:S(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，△BDE△ABCS△CEF:S△ABC(CECF):(CBCA)(13):(24)3:812第9级下优秀A版教师版\n第3讲S:S(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6△ADF△ABC设S24份，则S4份，S4份，S9份，S244497份，△ABC△BDE△ADF△CEF△DEF恰好是7平方厘米，所以S△ABC24平方厘米第9级下优秀A版教师版13