第5讲第五讲电梯与发车知识站牌五年级寒假五年级秋季时钟问题列方程解行程五年级秋季、电梯与发车四年级春季流水行船四年级春季相遇与追及综合简单的电梯与发车问题漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入我们学过流水行船问题，我们知道船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或阻碍.同样，人在电梯上行走时也会受到电梯的推送与阻碍：顺着电梯走的话，上楼或下楼的时间会比较少，而逆着电梯走的话，上楼和下楼的时间会比较多.但电梯和人共同行走的路程和或差不变，都为电梯的可见部分.对于发车问题，车与人每次迎面相遇和车每次追上人的时间不同，但是车与人共同行走的路程和或路程差不变，都为两车之间的距离.在解决这电梯与发车问题中，我们一定要抓住电梯的可见部分和两车之间的距离.教学目标1.了解电梯问题与流水行船,牛吃草问题的联系与区别;2.把握发车问题与相遇追及问题的联系与区别;3.能根据发车问题中的不变量找等量关系.经典精讲一、扶梯问题与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，扶梯运行的速度相当于水流速度，人在扶梯行走的速度相当于船在静水中的速度自动扶梯的速度有以下两条关系式：顺行速度正常行走速度扶梯运行速度逆行速度正常行走速度扶梯运行速度与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行船问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行船问题中的“船只顺(逆)水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．二、发车问题与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向(反向)行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：汽车间距（汽车速度行人速度)相遇时间间隔同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：汽车间距（汽车速度-行人速度)追及时间间隔三、扶梯与发车的联系:2第9级下优秀A版教师版\n第5讲在扶梯问题中,扶梯速度与扶梯长度均是固定的.在发车问题中,车的速度与两车间隔均是固定的.在代数解法中,一般都是设速度,再利用扶梯长度(或两车间隔)相等列等量关系.知识点回顾我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题．行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(s)这三个基本量，它们之间的关系如下：⑴路程速度时间，可简记为：svt；⑵时间路程速度，可简记为：tsv；⑶速度路程时间，可简记为：vst．显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量．1.一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行42千米，货车每小时行48千米.3小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是____千米.【分析】甲乙两地路程为：（42+48）×3=90×3=270（千米）．2.甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过___小时快车可以追上慢车.（火车长度忽略不计）【分析】追及路程即为两地距离240千米，速度差906030（千米），所以追及时间240308（小时）3.甲、乙两人分别以每小时6千米和每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是10千米时，他们走了___________小时．【分析】本题有两种情况，一种是甲、乙两人还未相遇过，此时两人一共走了301020(千米)，另一种是甲、乙两人相遇过后继续向前走到相距10千米，一共走了301040(千米)，所以有两种答案：(3010)(64)2(小时)；或(3010)(64)4(小时)．例题思路模块1：例1-3，电梯问题模块2：例4-5，发车问题例1(1)商场一二层之间有一个扶梯，当扶梯没电时，小明每秒能上3级，他从一层走到二层共用了20秒，则扶梯共____级.(2)商场的一二层之间有60级扶梯，扶梯每秒向上走2级，小明从一层到二层，上扶梯后站着不动，则小明从一层到二层共需要____秒.(3)商场的一二层之间有60级扶梯，扶梯每秒向上走3级，着急的小明从一层到二层，上扶梯后他以每秒2级的速度向上走，则小明从一层到二层共需要____秒.在这过程中，小明走了___级扶梯，第9级下优秀A版教师版3\n扶梯上行了____级.(4)商场的一二层之间有60级扶梯，小明站着不动乘扶梯上楼需30秒，如果在乘扶梯的同时小明继续匀速向上走需12秒上楼，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需____秒.(5)小明站着不动乘扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需12秒，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需____秒.【分析】(1)20×3=60(2)60÷2=30(3)60÷(3+2)=12.小明走了12×2=24级，扶梯上行了60-24=36级6060(4)电梯的速度为2(级/秒),小明乘扶梯的速度为5(级/秒).则小明徒步的速度301260为5-2=3(级/秒).因此小明徒步走需要20(秒).3(5)法1：设扶梯静止时共有[30,12]60级，电梯每秒升60302（级），电梯与小明每秒上升60125（级），小明每秒上升523（级），所以小明徒步上楼需60320(秒).11法2：电梯每秒完成，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每秒完成30121111，所以小明徒步上楼需120(秒).12302020法3:设扶梯速度为x级/秒.小明速度为y级/秒,扶梯长度为L级.则:30xLy1.5x,解得:12(xy)LL30xL30x小明徒步上楼需要20(秒).y1.5x【想想练练】小明站着不动乘扶梯上楼需10秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需8秒，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需____秒.【分析】设扶梯共[10,8]=40级,则扶梯速度为4级/秒,小明与扶梯的速度和为5级/秒.小明速度为5-4=1级/秒.所需时间为40÷1=40秒.例2一架自动扶梯，小明沿着扶梯运行方向行走发现，如果自己每秒迈1级台阶30秒从一楼到二楼；如果自己每秒迈2级台阶，20秒从一楼到达二楼；那么小明如果每秒迈3级台阶，他多长时间能从一楼到二楼?(学案对应:学案1)【分析】每秒迈1级台阶时，小明走了30级台阶；每秒迈2级台阶时，小明走了40级；前一种情况小明少走了10级台阶，那么扶梯就多走了10级台阶，那是因为前一种情况扶梯多走了30-20=10秒，那么扶梯的速度=10÷10=1级/秒，静止时扶梯的台阶数为30+30=60级.当小明每秒迈3级台阶时，到二楼所用时间为60÷(3+1)=15秒.此题类似于”牛吃草”4第9级下优秀A版教师版\n第5讲电梯的历史电梯进入人们的生活已经159年了。1854年，在纽约水晶宫举行的世界博览会上，美国人伊莱沙·格雷夫斯·奥的斯第一次向世人展示了他的发明。他站在装满货物的升降梯平台上，命令助手将平台拉升到观众都能看得到的高度，然后发出信号，令助手用利斧砍断了升降梯的提拉缆绳。令人惊讶的是，升降梯并没有坠毁，而是牢牢地固定在半空中——奥的斯先生发明的升降梯安全装置发挥了作用。“一切安全，先生们。”站在升降梯平台上的奥的斯先生向周围观看的人们挥手致意。谁也不会想到，这就是人类历史上第一部安全升降梯。奥的斯先生的发明彻底改写了人类使用升降工具的历史。从那以后，搭乘升降梯不再是“勇敢者的游戏”了，升降梯在世界范围内得到广泛应用。1889年12月，美国奥的斯电梯公司制造出了名副其实的电梯，它采用直流电动机为动力，通过蜗轮减速器带动卷筒上缠绕的绳索，悬挂并升降轿厢。1892年，美国奥的斯公司开始采用按钮操纵装置，取代传统的轿厢内拉动绳索的操纵方式，为操纵方式现代化开了先河。例3在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈1级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈2级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．(学案对应:学案2)【分析】小强每秒走1级，需要20120秒；每秒走2级，需要30215秒．电梯20155秒内所走的级数等于小强多走的级数：302010级，所以电梯的速度为1052级/秒，扶梯长度为20(12)60（级）．【想想练练】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈1级台阶，那么他走过40级台阶后到达地面；如果每秒向上迈3级台阶，那么走过60级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【分析】小强每秒走1级，需要40140秒；每秒走3级，需要60320秒．电梯402020秒内所走的级数等于小强多走的级数：604020级，所以电梯的速度为20201级/秒，扶梯长度为40(11)80（级）．例4(1)从A到B的公交车站每隔5分钟发一趟公交车,甲在某车站看到一辆公交车经过,那么再过____分钟,他会看到下一辆同向的公交车经过.(2)从A到B的公交车站每隔5分钟发一趟公交车,每辆公交车的速度均为1000米/分,则任何时刻,途中同向运行的两辆车之间的距离为______米.(3)两辆公交车同向运行，公交车的速度为15米/秒，小明骑车的速度为5米/秒；小明迎面遇到第一辆公交车后，又过了5分钟遇到第二辆公交车，则两辆公交车之间的距离为_____千米.(4)两辆相距6千米的公交车与小华同向运行，公交车的速度为15米/秒，小华的骑车速度为5米/秒，则两辆公交车追上小华的时间相差____分钟.(学案对应:学案3)【分析】(1)5第9级下优秀A版教师版5\n(2)5×1000=5000(米)(3)(15+5)×5×60=6000(米)=6(千米)(4)6000÷(15-5)=600(秒)=10(分)例5小明沿着电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．(学案对应:学案4)【分析】法1：每12分钟有一辆电车从后面追上是追及问题，每4分钟有一辆电车迎面开来是相遇问题，可以采用相遇问题与追及问题的基本公式来解．假设电车的速度为V，人的速度为V，每相邻两辆电车之间的距离为S．车人后面的电车追上此人，追及的路程是相邻两车间的间隔，则有S(VV)12．车人前面的电车迎面开来，相遇的路程仍为相邻两车间的间隔，则有S(VV)4．车人可知，(VV)4(VV)12，整理得V2V，带入上述方程得S12V，车人车人车人人那么发车间隔为SV12V2V6分钟．车人人11法2：设两车间隔距离为单位“1”，因此电车与小明的速度和为，速度差为，所以电车4121111的速度为()2，所以发车间隔为16（分钟）41266法3：假设小明被某辆电车追上后向前走12分钟又立即反向走12分钟回到原地，那么在这24分钟内，他向前走时有1辆车追上他，反向走时又迎面遇上1243辆电车，所以在这24分钟内恰有同一方向开来的4辆电车通过，所以电车的发车间隔为2446分钟．法4：12电车44电车12小明图中实线代表电车所走路线，虚线代表小明所走路线．由图可知从迎面相遇地点到追上相遇地点之间的路程电车所用时间为1248（分钟）小明所用时间为12416（分钟）所以行相同路程小明用的时间是电车的2倍，因此小明4分钟的路程相当于电车2分钟的路程，由图可知发车间隔为426（分钟）【想想练练】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行.每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车.问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？【分析】法1：假设小明被某辆公共汽车超过后，向前行走20,3060（20、30的最小公倍数）分钟，又立即回头再走60分钟回到原地．那么在前60分钟有60302辆车追上他，后60分钟迎面遇到60203辆车.那么在两个60分钟里恰有同一方向开来的5辆车通过，所以发车的时间间隔为602(32)24分钟．法2：由于电车追及小明，比小明多走了一个发车间隔，迎面相遇共走了一个发车间隔，11设两车间隔距离为单位“1”，则电车与小明的速度和为，速度差为，所以电车的速度20306第9级下优秀A版教师版\n第5讲1111为()2，所以发车间隔为124（分钟）．20302424乘电梯拿钻石一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，但手里只能拿一颗钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答：先拿下第一楼的钻石,然后在每一楼把手中的钻石与那一楼的钻石相比较,如果那一楼的钻石比手中的钻石大的话,那就把手中的钻石换成那一层的钻石。杯赛提高某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【分析】法1：设发车后两辆电车间的距离是[7.2,12]36，人与电车的速度和是367.25，人与电车的速度差是36123，电车之间的时间间隔是36[(53)2]9(分钟)，电车的速度是人的速度的(53)(53)4倍，所以电车速度是每小时18千米．法2：设电车的速度为每分钟x米．人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米．根据题意可列方程如下：x757.2x7512，解得x300，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的距离为：30075122700(米)，所以电车之间的时间间隔为：27003009(分钟)．附加题1.小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【分析】设电梯运行速度为x级/秒，电梯可见部分级数:2287x3205x解得：电梯运行速度=0.5（级/秒）．所以电梯可见部分级数为：228280.570（级），所以，小志攀登静止的电梯分别需第9级下优秀A版教师版7\n要用时70235（秒）．2.一条街上一个骑自行车的人和一个步行的人同向而行，骑车人的速度是步行人的速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过步行的人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车的人，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么这个间隔时间为__________.VV1/10V1/8车步车【分析】法1：设发车间隔距离为1，根据题意列方程组得VV1/20，V1/40，所以这车骑步V3VV3/40骑步骑1个间隔时间为18（分钟）8法2：若把人在10分钟内走的路程作为1个单位，那么骑车人20分钟内走了6个单位，那么汽车在20分钟内比在10分钟内多走了615，即汽车在10分钟内走了5个单位，所以汽车速度是步行人的速度的5倍，从而人走10分钟，汽车只要花2分钟，1028（分钟），这个8分钟就是汽车始发站的间隔时间.3.某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【分析】法1：设发车后两辆电车间的距离是[7.2,12]36，人与电车的速度和是367.25，人与电车的速度差是36123，电车之间的时间间隔是36[(53)2]9(分钟)，电车的速度是人的速度的(53)(53)4倍，所以电车速度是每小时18千米．法2：设电车的速度为每分钟x米．人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米．根据题意可列方程如下：x757.2x7512，解得x300，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的距离为：30075122700(米)，所以电车之间的时间间隔为：27003009(分钟)．知识点总结一、扶梯问题(1)扶梯的速度有以下两条关系式：顺行速度正常行走速度扶梯运行速度逆行速度正常行走速度扶梯运行速度(2)扶梯问题中的不变量:扶梯的速度不变;扶梯的总长度固定.二、发车问题(1)发车问题的基本公式:汽车间距（汽车速度行人速度)相遇时间间隔汽车间距（汽车速度-行人速度)追及时间间隔(2)发车问题中的不变量:汽车的发车间隔不变;汽车速度不变;汽车间距固定.8第9级下优秀A版教师版\n第5讲家庭作业1.小明站着不动乘电动扶梯上楼需15秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需10秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【分析】设扶梯静止时共有[15,10]30级，电梯每秒升30152（级），电梯与小明每秒上升30103（级），小明每秒上升321（级），所以小明徒步上楼需30130(秒).2.某商场一小偷偷了东西被保安发现,小偷情急之下,从正在上行的扶梯逆行而下,而保安也一直追下去.已知小偷每秒下2个阶梯,40秒后下到底部;而保安每秒下3个阶梯,20秒后也下到底部.那么,这部扶梯共有多少级?240320【分析】法1:类似于“牛吃草”.扶梯速度为:1(级/秒).扶梯级数为:4020(3-1)×20=40(级)法2:设扶梯速度为x级/秒,扶梯长度为L级.则:(2x)40Lx1,解得:(3x)20LL403.某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上运行的自动扶梯.着急的小明在上扶梯时,自己也在向上走.如果每秒向上迈2级台阶，那么他走过80级台阶后到达大厅；如果每秒向上迈3级台阶，那么走过90级台阶到达大厅.那么自动扶梯有多少级台阶?【分析】小明每秒迈2级台阶，需要80240秒到达大厅，每秒迈3级台阶，需要90330秒到达大厅．电梯运行速度为(9080)(4030)1（级/秒），那么扶梯长度为80401120（级）．4.公交车站每隔6分钟发一趟车,汽车速度为1000米/分.正在行走的小明每隔5分钟遇到迎面开来的一辆公交车.则小明的速度为____米/分.【分析】汽车间距为6×1000=6000(米).小明和汽车的速度和为6000÷5=1200(米/分).小明的速度为1200-1000=200(米/分)5.小明沿着电车线路匀速跑步，每6分钟有一辆电车从后面追上，每3分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．【分析】设间距为6,则车与人的速度差为1,速度和为2,由和差公式可知,车速为1.5,所以发车间隔是6÷1.5=4分.6.小明沿着电车线路骑车，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．若小明的速度为每小时18千米，求电车的速度．【分析】设两车的间隔为[12,4]=12,则速度和为12÷4=3,速度差为12÷12=1.由和差问题可知车速为2份,人速为1份.车速为人速的2倍.因此电车的速度为18×2=36.A版学案第9级下优秀A版教师版9\n【学案1】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？【分析】法1：电梯的运行速度是(205156)(65)10（级/分），所以自动扶梯露在外面的部分共有105205150（级）111法2：男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的，相差20155级，因此自动56301扶梯露在外面的部分共有5150级．30【学案2】某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯.小志想逆行从上到下，如果每秒向下迈2级台阶，那么他走过80级台阶后到达站台；如果每秒向下迈3级台阶，那么走过60级台阶到达站台.自动扶梯有多少级台阶?【分析】小志每秒迈2级台阶，需要80240秒到达站台，每秒迈3级台阶，需要60320秒到达站台．电梯运行速度为(8060)(4020)1（级/秒），那么扶梯长度为8040140（级）．【学案3】公交车站每隔10分钟发一趟车,每辆车的速度均为1200米/分.已知同向的两辆车追上匀速行走的小明的时间间隔为12分钟,则小明的速度为____米/分.【分析】两辆车间距为1200×10=12000(米).车与小明的速度差为12000÷12=1000(米/分).因此小明的速度为1200-1000=200(米/分).【学案4】某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔15分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔10分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车？【分析】法1：设两车之间相距S，根据公式得S(VV)10min(VV)15min．人车车人S(VV)10(V5V)10人车人人解得V5V，所以发车间隔T12．车人VV5V车车人法2：假设此人被某辆公共汽车追上后，向前行走15,1030分钟，又立即回头再走30分钟回到原地．那么在前30分钟有30152辆车追上他，后30分钟有30103辆车和他迎面相遇．那么在两个30分钟里恰有同一方向开来的235辆车通过，所以发车的时间间隔为302(32)12分钟10第9级下优秀A版教师版