第6讲第六讲神奇的9知识站牌五年级春季五年级寒假带余除法因数与倍数进阶五年级秋季神奇的9五年级秋季因数与倍数初步五年级暑假质数与合数进阶综合数字谜和数论的弃九法漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？教学目标1、掌握加减法数字和与9的关系2、掌握多位数的计算中数字和与9的关系3、了解9在余数与数字谜中的应用知识点回顾9的整除特征：一个数各数位数字和能被9整除，这个数就能被9整除.1.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数.2.一个数字互不相同的四位数乘以9后，得到它的反序数，则原数为多少？【分析】1089×9=98013.计算：12345679×9【分析】12345679×9=111111111例题思路模块1：例1-2：加减法中数字和的关系模块2：例3：乘法中的数字和的关系2第9级下优秀A版教师版\n第6讲模块3：例4-5：同余的简单应用.例1通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A的数字之和为5,B的数字之和为3,则A+B的和的数字之和为____.(2)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A+B进位1次,则A+B的和的数字之和为____.(3)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B没有借位,则A-B的差的数字之和为____.(4)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B借了1次位,则A-B的差的数字之和为____.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：学案1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,…可发现结果为15+13-9=19(3)555-535=20,5127-4126=11,…可发现结果为15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,…可发现结果为15-13+9=11结论:(1)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A+B进位k次,则和的数字之和为x+y-9k(2)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A-B借位k次,则差的数字之和为x-y+9k原因:求和时,会将低位的10当成高位的1用,因此数字和会减少9;求差时,会将高位的1当成低位的10用,因此差的数字之和会增加9.想想练练：A的数字之和为46,B的数字之和为54,A+B进位9次,则A+B的和的数字之和为____.【分析】46+54-9×9=19【拓展】A的数字之和为46,B的数字之和为54,A与B作差（大减小）时，有3次借位.那么差的各位数字之和可能为多少？【分析】当A大时，数字之和为46-54+9×3=19；当B大时，数字之和为54-46+9×3=35例2如下式,从1-9中选出6个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的6个数字之和为_____1209（学案对应：学案2）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位2次，由例1的结论可知：原来六个数字之和为1+2+9+9×2=30.构造如下：235+974=1209.（仅需构造一组即可）此题为例1的逆用.想想练练：如下式,在方框中填入6个数字（可重复）,使竖式成立,则方框中的6个数字之和为_____1489【分析】个位没有进位，百位进位1次，十位可能进位（9+9），也可能不进位，因此有2种可能.（1）当十位进位时，整个式子共进位2次，六个数字之和为1+4+8+9+9×2=40.构造如下：第9级下优秀A版教师版3\n694+795=1489；（2）当十位不进位时，整个式子共进位1次，六个数字之和为1+4+8+9+9×1=31.构造如下：614+875=1489.【拓展】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_______．第十一届+华杯赛2006【分析】法1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是2另一个是4，那么“一”“杯”中有一个小于5的数必然是3，另一个是7，这样的话就不存在不重复的“十”和“华”使它们的和是9，所以“届”“赛”必定出现进位．由于“届”“赛”出现进位，那么“一”“杯”=9，“届”“赛”=16，所以7个汉字代表的7个数字之和等于1991635．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是3、6、4、5、7、9时可满足条件(答案不止一种)．法2：本题也可采用弃九法．由于第十一届华杯赛2006，所以第+十+一++届华+杯+赛除以9的余数等于2006除以9的余数，为8．由于“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设1～9中的另外两个数为a和b，那么第+十+一++届华+杯+赛45ab，故45ab除以9的余数为8，则ab除以9的余数为1．由题意可以看出“第”1，所以a、b不能为1，则202ab8917，其中满足除以9余1的只有10，所以ab10，第+十+一++届华+杯+赛45ab451035．4第9级下优秀A版教师版\n第6讲神奇的九九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”；将地划为“九州”、“九域”；将宗庙称为“九庙”；道路谓之“九陌”；山有“九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九级”；官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照"阴阳"来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为"极阳数"。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“弃九”法验算学生的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。例3（1）111111×999999乘积的各位数字之和为______.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_____.（3）1993×123×999999乘积的各位数字之和为______.（4）M999...9(其中M为自然数，且M≤999...9)乘积的各位数字之和为_______．k个9k个9（5）111...11111...11乘积的各位数字之和为_______.1989个11989个1（学案对应：学案3）【分析】（1）法1：观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999999很接近1000000,于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111=111110888889数字之和为9654法2：原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111两式相减，借位6次，所以差的数字之和为6-6+9×6=54（2）法1：本题可用找规律方法：3×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……第9级下优秀A版教师版5\n所以：33....366....622...2177...78，则原式数字之和26176863n个3n个6(n-1)个2(n-1)个7法2：原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法3：原式99999992222222(100000001)2222222222222200000002222222两式相减，借位7次，所以差的数字之和为6-6+9×7=63（3）我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．设1993×123=M，则(1000×123=)123000<M<(2000×123=)246000，所以M为6位数，并且末位不是0；令M=abcdef则M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M=abcdef000000-abcdef相减时借位6次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54M999...91000MM（4）相减时借位k次，因此差的数字之和为：M的数字之和k个9k个0-M的数字之和+9k=9k1（5）111...11111...11999...99111...11999...99N，其中N＜999...9991989个11989个11989个91989个11989个91989个9所以111...11111...11的各个位数字之和为：9×1989=179011989个11989个1例4（学生版中仅有1，2，3题）根据整除的特征，我们知道一个数能否被9整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除以9的余数，也可以用其各个数字之和除以9计算.例如712÷9的余数与（7+1+2）÷9的余数是一样的.通过以上文字，判断以下（1）（2）（3）题各数除以9的余数分别是多少？（整除时，余数认为是0）（1）57，359，687，2457，35698，123456789（2）12345678910…99（3）135791113…99（4）12345678910…20122013的数字之和为A，A的数字之和为B，……，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是______.【分析】（1）除以9的余数可以在数中将和为9的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分别为：3，8，0，0，4，0（2）任意连续9个自然数之和必定是9的倍数，因此在连续数求除以9的余数时，可以连接9个数直接划去.99可以分成11组连续9个数.因此余数为0.（3）等差数列中9个连续的也可以直接划去.1到99中的奇数共50个.50÷9余数为5，最终剩下5个数，设剩下前5个，而13579÷9余7，因此余数为7.（4）实际是求除以9的余数.2013÷9余6，剩下前6个数.而123456÷9余3，因此最后6第9级下优秀A版教师版\n第6讲剩下的一位数为3.【拓展】1234567891011…19992000÷9的余数是_____.【分析】任意连续9个自然数之和必定是9的倍数，因此在连续数求除以9的余数时，可以9个数直接划去.2000÷9余2，剩下前2个数1，2，因此余数为3【拓展】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=13579111315171921……9799101103.则数a共有_____位，数a除以9的余数是___.【分析】法1：一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加2个三位奇数，所以a是一个5+2×45+3×2=101（位）数.从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4.法2：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a=13579111315171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103的数字和被9除的余数是6.所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4.例5（1）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2010（2）将0-9放入下面的10个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_____.□□□□+□□□+□□－□=2010（3）下面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_______.（学案对应：学案4）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由于2010的各位数字之和为3，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉6．（2）设减数为x，则左边等于□□□□+□□□+□□+x-2x，除以9的余数与45-2x除以9的余数相同.右边的余数是3，当x=3时，左右余数会相等.所以减数处的数字是3.（3）9个数字选8个，即有一个数字未选.设未选的数字为x，则45-x除以9的余数与2010除以9的余数相同.当x=6时成立，即未选中的数字为6.这样加数的数字之和为45-6=39，而和的数字之和为3，差为36，即进位4次.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位向百位进2时，“数学”最小.其他的个位向十位进1，百位向千位进1.之后构造出一种答案.184295732010于是差最小为1842-95=1757.第9级下优秀A版教师版7\n注：最大值时，十位向百位进1，其他的个位向十位进2，百位向千位进1.之后构造出一种答案.194825372010差最大为1948-25=1923想想练练：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2013【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由于2013的各位数字之和为6，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉3．数字谜有人写了一个横式：ABCDEFF=999999,不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么六位数ABCDEF是多少？答：ABCDEF=142857杯赛提高把0，1，2，…，8，9这10个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？2007【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10．由于三位数的百位上不能为1和0，所以要使三位数最小，它的百位应该为2，十位应该为0．那么十位向百位的进位为1，所以四位数的百位为7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为10．又剩下的数字3，4，5，6，8，9中除3+4+5+6=18只向十位进1外，其余任选四数字的和都大于20，由于3456的尾数不为7，所以个位上四个数字不能是3，4，5，6，所以个位向十位进位为2，也就是十位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为0)，而剩下的3，4，5，6，8，9中只有3+5=8，所以个位上8第9级下优秀A版教师版\n第6讲的四个方框中的数为4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为204.知识点总结结论1：(1)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A+B进位k次,则和的数字之和为x+y-9k(2)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A-B借位k次,则差的数字之和为x-y+9k结论2：M999...9(其中M为自然数，且M≤999...9)乘积的各位数字之和为9k.k个9k个9家庭作业1.A的数字之和为100,B的数字之和为50,A-B借了5次位,则A-B的差的数字之和为____.【分析】100-50+5×9=952.下边的加法算式中，每个“□”内有1个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到．【分析】法1：末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60法2：三个数字相加，最高可进2位.上式中均可进2位，因此方框内的数字之和最大为2+4+9×6=603.555333乘积的各位数字之和为_____.9个59个35559个5【分析】555333999N99939个59个39个99个9，N为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为9×9=81.4.将1至20这20个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：123456789101112131920，试求这个多位数除以9的余数.【分析】20÷9余2，留下前2个数.12÷9余3.因此最终的余数为35.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=3102第9级下优秀A版教师版9\n【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由于3102的各位数字之和为6，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉3．6.将数字1至9分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？12008【分析】9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．A版学案【学案1】甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有2次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是____.【分析】9-10+2×9=17【学案2】如下式,从1-9中选出6个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的6个数字之和为可能为多少？1087【分析】百位相加进位1次，（1）若个位相加不进位，则十位也不可能进位（18=9+9，数字重复）此时整个式子相加仅有一次进位，因此加数的数字之和为1+8+7+9×1=25.构造如下：123+964=1087.（2）若个位相加进位，必是9+8=17，十位不可能再相加为17了，因此十位向百位没有进位，此时整个式子相加有2次进位，因此加数的数字之和为1+8+7+9×2=34.构造如下：429+658=1087【学案3】6666666×234234乘积的各位数字之和为_______.【分析】6666666×234234=3333333×468468=9999999×156156，根据结论，数字之和为7×9=63.【学案4】在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是.10第9级下优秀A版教师版\n第6讲兔年十六届华杯初赛2011【分析】显然华=1.总共有9个数字，也就是说0到9中有一个不能用，根据弃九法，5不能用.每进一位数字和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36，所以共进4位.所以个位和十位之一需要进两位，有两种可能：(1)个位数字之和为11，十位数字之和为20，百位数字之和为8；(2)个位数字之和为21，十位数字之和为9，百位数字之和为9.为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小.“十”最少为2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于7.剩余数字0，3，4，6，8，9，个位和为21的显然是4+8+9，十位和为9的剩下0+3+6，所以最大为1769.不必再考虑(1)了.第9级下优秀A版教师版11