第7讲第七讲蝴蝶模型知识站牌五年级寒假五年级秋季长方体和正方体燕尾模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型五年级暑假比例模型四边形蝴蝶；梯形蝴蝶；共边定理漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入解数学题不能没有联想，通过联想把眼前的问题、图形与熟悉的问题、图形进行类比，将该类问题通过化归成一个模型，在以后的解决类似的题目时直接利用结论，缩短思维量，从而快速解决复杂问题。蝴蝶模型是小学直线型几何常见模型之一，该模型也是小升初考试和杯赛考试的常考知识点。知识点回顾比例模型:(1)AEFBDCSABCAD同底,面积比等于高之比．SBCEEF(2)ABDCSBDABD同高,面积比等于底之比．．SDCACD1.如图,三角形ABC中BC的高AD长7厘米,三角形BCE中BC的高EF长3厘米．并且已知SABC70平方厘米,则SBCE____2第9级下优秀A版教师版\n第7讲AEBDFC2【分析】同底,面积比等于高之比．高之比AD:EF=7:3=70:30,所以S30cmBCE2.如图,在直角三角形ABC中,AD:AC=2:3,S60,则S____ABCBCDADBC【分析】同底,面积比等于高之比．高之比AC:CD=AC:(AC-AD)=3:1=60:20,所以S20BCD3.如图,B,C,D,E在一条直线上,且BC:CD:DE=4:3:2,已知SABC20,则SABE___ABCDE【分析】同高,面积比等于底之比．S204(432)45.ABE4.如图,四边形土地的总面积是48平方米,三条线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米.79【分析】在同底的情况下,右边两个三角形的高之比为7:9,因此左边两个三角形的高之比也为7:9.9同底,高之比为面积比．因此最大的三角形的面积为(4879)18(平方米)97第9级下优秀A版教师版3\n教学目标1、掌握蝴蝶模型的结论.2、能从图形中抽离或构造出蝴蝶模型解题.经典精讲一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶模型”)：DAS1S4S2OS3BC①SS:S:S或者SSSS②AOOC:SS:SS124313241243蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：aABS1S2S4OS3DCb①SS24②S:SS:S或者SSSS；12431324222③SS::S:S:Sa:b:ababa::(b)1324梯形例题思路4第9级下优秀A版教师版\n第7讲模块1：例1:任意四边形的蝴蝶模型;模块2：例2-4，梯形蝴蝶模型的应用;模块3：例5，梯形蝴蝶模型的构造例1SODSODSODS1414如图,因为,,所以,可得到SSSS.根据此结论,1324SOBSOBSOBS2323试回答下列问题：(1)若S110,S220,S340,则S4___AO2(2)若,S110,则S4___OC5AO4(3)若,S20,则S___ABDBCDOC9SSABDACD__________(4)若AO=1,BO=2,CO=3,DO=2,则S,SBCDABCDAS1S4S2OS3BC(学案对应:学案1)SAO1SBOABDACD【分析】（1）20（2）25（3）45(4),1SOC3SODBCDABC例2如图（1）,梯形ABCD中,AB平行于CD,O为对角线的交点.因为SS,所以ACDBCDSSSS,进而可得：SS.根据以上内容回答下列问题：ACDCODBCDCODAODBOC（1）如图（2）,两个正方形并在一起,已知阴影部分的面积为6,则S___ABC（2）如图（3）,两个正方形并在一起,已知阴影部分的面积为6,则S___ABC图（1）图（2）图（3）【分析】（1）6（2）6想想练练:（1）如图（4）,两个正方形并在一起,已知大正方形的面积是100,则S___ABC（2）如图（5）,两个正方形并在一起,已知小正方形的面积是100,则S___ABC第9级下优秀A版教师版5\n图（4）图（5）【分析】过程如上题.（1）50（2）50《几何原本》欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了几何史上早期的巨著——《几何原本》。《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设出发、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术的理论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中小学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。例3如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米．AB2535ODC(学案对应:学案2)6第9级下优秀A版教师版\n第7讲2【分析】根据梯形蝴蝶模型,SAOB:SBOCa:ab25:35,可得ab:5:7,再根据梯形蝴蝶模2222型,S:Sa:b5:725:49,所以S49(平方厘米)．那么梯形ABCDAOBDOCDOC的面积为25353549144(平方厘米)．或者根据梯形蝴蝶模型的性质,22Sab57144(平方厘米)．【铺垫】如图,证明梯形蝴蝶模型的结论.aaABASBS11xS2S4S2S4OOyS3S3DCDCbb①SS24②S:SS:S或者SSSS；12431324222③SS::S:S:Sa:b:ababa::(b)1324梯形【分析】证明:(1)因为AB∥CD,所以SACDSBCD(同底等高的两三角形面积相等),所以SACDSCODSBCDSCOD,即S2S4S1xS4(2)如右图,设BO=x,DO=y.由比例模型可知:,所以S:SS:S或者1243S2yS3SSSS1324SSxSSxSah2axaAOa1414ABC(3),所以,所以.同理可得:.由SSySSySbh2bybOCb2323ACD2SAOxaaa1鸟头模型可知:,再由比例模型可知2SOCybbb3222SS::S:S:Sa:b:ababa::(b).1324梯形(注:任意四边形的蝴蝶模型的证明和(2)的证明类似;沙漏的证明与(3)题的证明类似.)想想练练:梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等2于三角形BOC面积的,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．3ADOBC2【分析】根据梯形蝴蝶模型,S:Sabb:2:3,可以求出ab:2:3,AOBBOC2222再根据梯形蝴蝶模型,S:Sa:b2:34:9．AODBOC例4第9级下优秀A版教师版7\n如图,面积为12平方厘米的正方形ABCD中,EF,是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.ABODCEF(学案对应:学案3)【分析】因为EF,是DC边上的三等分点,所以EFAB:1:3,设S1份,根据梯形蝴蝶模△OEF型可以知道SS3份,S9份,SS(13)份,因此正方形的面△AOE△OFB△AOB△ADE△BCF2积为44(13)24份,S6份,所以S:S6:241:4,所以S3平方阴影阴影正方形阴影厘米.例5如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米．AEFBAEFB225O?5O?88DCDC(学案对应:学案4)【分析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形,所以SS,又根据蝴蝶定理,EODFOCSSSS,所以SSSS2816,所以EODFOCEOFCODEODFOCEOFCODSEOD4(平方厘米),SECD4812(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米,四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．想想练练:如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为________．123123【分析】做辅助线如下：利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形41和三角形3,所以1的面积就是3616．458第9级下优秀A版教师版\n第7讲你能否在10秒之内，算出小正三角形面积是大正三角形面积的几分之几吗？1答：，把小正三角形旋转180度，就可以看出来。4杯赛提高如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9,BCF的面积是27．那么阴影AEC面积是多少？ADEFBC【分析】根据梯形蝴蝶模型，可以得到SAFBSDFCSAFDSBFC，而SAFBSDFC(等积变换)，所SAFBSCDF99以可得SAFD3，并且SAEFSADFSAED31.81.2,而SBFC27S:SAFFC:9:271:3,所以阴影AEC的面积是：AFBBFCSS41.244.8．AECAEF第9级下优秀A版教师版9\n知识点总结一、任意四边形中的比例关系：DAS1S4S2OS3BC①SS:S:S或者SSSS12431324②AOOC:SS:SS1243二、梯形中比例关系：aADS1S2S4OS3BCb①SS24②SS:S:S或者SSSS12431324222③SS::S:S:Sa:b:abab::(ab)1324梯形附加题1.如图，梯形ABCD中，AOD、COB的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．ADOBC22【分析】根据梯形蝴蝶模型，S:Sa:b1.2:2.74:9，所以ab:2:3，AODCOB23S:Sa:abab:2:3，SS1.21.8，AODAOBAOBCOD2S1.21.81.82.77.5．梯形ABCD10第9级下优秀A版教师版\n第7讲2.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？AFDAFD44E6E6BCBC【分析】法1:连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶模型，三角形BCE的面积为6649(平方厘米)，所以长方形的面积为96230(平方厘米)．四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)．EF42EDEF2法2:由题意可知，，根据相似三角形性质，，所以三角形BCE的EC63EBEC32面积为：69(平方厘米)．则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为315230(平方厘米)．四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)．3.如图,ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．ADAD992121O44BECBEC【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SS．OCDOAE2根据蝴蝶模型，SOCDSOAESOCESOAD4936，故SOCD36，所以S6(平方厘米)．OCD4.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．BCGAMD【分析】因为M是AD边上的中点，所以AMBC:1:2，根据梯形蝴蝶模型可以知道22S:S:S:S1:12:12:2（）（）1:2:2:4，设S1份，则△AMG△ABG△MCG△BCG△AGMS123份，所以正方形的面积为1224312份，S224份，所以△MCD阴影S:S1:3,所以S1平方厘米阴影正方形阴影第9级下优秀A版教师版11\n家庭作业1.如图:四边形ABCD中,对角线AC,BD将图形分成四个部分,其中三部分的面积已经标出,则四边形ABCD的面积为多少?A6DO34BC48【分析】,所以原图形的面积为6+8+4+3=21.362.如图,两个正方形并排放在一起,已知阴影三角形的面积为18,那么正方形ABCD的面积为多少?ABCD【分析】阴影部分为正方形ABCD面积的一半,因此正方形ABCD的面积为18×2=363.如图,S22,S34,求梯形的面积．S1S2S4S3222【分析】法1：设S为a份,S为b份,根据梯形蝴蝶模型,S4b,所以b2；又因为1332S2ab,所以a1；那么Sa1,Sab2,所以梯形面积214SSSSS12429,或者根据梯形蝴蝶模型,123422Sab129．法2：S4S22,S1S2S4S32241,因此总面积为9.4.如图,正方形ABCD中,E为BC的中点.已知阴影部分的面积为9,则正方形ABCD的面积为多少?12第9级下优秀A版教师版\n第7讲ADFBCE1【分析】四边形ABED是梯形,BE:AD=1:2,由蝴蝶模型可知S(12)927,而SS,ABEABEABCD4所以S427108ABCD5.右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米),阴影部分的面积是多少平方厘米？ADAD881616O22BECBEC【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SOCDSOAE．2根据梯形蝴蝶模型,SSSS2816,故S16,所以OCDOAEOCEOADOCDSOCD4(平方厘米)．11另解：在平行四边形ABED中,SS16812(平方厘米),ADEABED22所以SSS1284(平方厘米),AOEADEAOD根据梯形蝴蝶模型,阴影部分的面积为8244(平方厘米)．6.如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是多少平方厘米.【分析】根据梯形蝴蝶模型，在梯形ABCE中，224431SSSSS48平方厘米.AOB2ABCEABCEABCDABCD(12)9943A版学案第9级下优秀A版教师版13\nSABD3【学案1】如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO1,并且,那么SCBD5OC的长是多少？BACODSSSAOAO35ABDABOADO【分析】,所以,又AO1,所以CO．SSSOCCO53CBDBCOCDO【学案2】如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O.已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积.DCOAB【分析】根据题意,AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,22则根据蝴蝶模型,SDOC:SAOD:SAOB:SCOBa:abb::ab9:15:25:15,令SAOB=25份,则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份.1所以1份为：4÷64=,16125则三角形OAB的面积为×25=.1616【学案3】如图,面积为144的正方形ABCD中,BE=4,求阴影部分的面积.ADFBEC2124SBEFEFBE41【分析】14412,所以AB=12,S24,因为,所以ABE2SAFAD123ABE3S2418.ABF1314第9级下优秀A版教师版\n第7讲【学案4】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是12,求四边形EGFH的面积．AFAFBBGGHHDCDCEE【分析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是111223．第9级下优秀A版教师版15