第8讲第八讲排列组合进阶知识站牌五年级春季五年级秋季概率初识几何计数进阶五年级秋季排列组合进阶五年级暑假枚举法进阶四年级春季排列组合初步介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.漫画释义1第9级下优秀A版教师版\n课堂引入有10个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们10个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种3628800/365≈9942年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多9942年.所以根本吃不到免费午餐.教学目标1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.经典精讲排列组合公式：m1.排列数公式：Ann(1)(n2)(nm1)nn2.全排列公式：An!n(n1)(n2)21nmnn(1)(n2)(nm1)3.组合数公式：Cnm!4.关于组合数的几个重要结论：0nmnm012nnCnCn1CnCnCnCnCnCn2排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）2第9级下优秀A版教师版\n第8讲知识点回顾m21.已知：Ann(1)(n2)(nm1)，如A5420.试计算下面几题：n5A3____；A2_____；A3____；A3_____.46105n32.已知：n!Annn(1)(n2)21，如3!A33216.试计算下面几题：4!___；5!____；6!____；7!___.m2mAnnn(1)(n2)(nm1)2A5543.已知：Cn，如C510.试计算下面几题：m!m!2!212323C4___；C5___；C7____；C6____.mnm234.已知：CnCn，如C5C5.试计算下面几题：C3___；C4___；C5___；C98___.457100【分析】1.24，30，720，602.24，120，720，50403.6，10，21，204.4，5，21，4950例题思路例1：优限法例2：捆绑法例3：插空法例4：大除法例5：插板法例17个人站成一排，若小明不在中间，共有___种站法；若小明在两端,共有___种站法.（学案对应：学案1）【分析】小明不在中间，则其他6人都可以站在中间，之后剩下的六个位置可以随意站，共有6×6！=4320种站法；小明在两端，即小明有2个位置可以站，共26!1440种站法.（特殊元素，特殊位置优先考虑）【拓展】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．3第9级下优秀A版教师版\n【分析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人8随意排，也就是8个元素全排列的问题，有A8765432140320(种)选择．由8乘法原理，共有640320241920(种)排法．2⑵甲、乙先排，有A212(种)排法；剩下的7个人随意排，有27A76543215040(种)排法．由乘法原理，共有2504010080(种)排法．72⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有A2212(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有45A432124(种)和A54321120(种)排法．45由乘法原理，共有2241205760(种)排法．4⑷先排4名男生，有A432124(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有45A554321120(种)排法．由乘法原理，一共有241202880(种)排法．例24个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有___种不同的排法;要求2个女生紧挨着有___种不同的排法;如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____种不同的排法.（学案对应：学案2）【分析】⑴4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有654321720种排法．⑵法1：分为三步：第一步：4个男的先排，一共有432124种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有2425240种排法．法2：将2个女生当成一个人，这样就相当于5个人排队，共有5!120种排法，但2个女生还可以左右换位置，所以共有2×120=240种排法.（3）根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有432124种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24248种排法．【巩固】5个人站成一排合影，其中3个人必须站在一起的排法有____种.【分析】将3个人当成一个整体，与其他2个人共有3！种站法，而3个人之间也可以排列，因此共有3!3!36种排法.想想练练：A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有___种不同的排列方法.【分析】法1:七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．5若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有A种，所以这种情况55有21A240种不同的站法．若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都555有两种选择．另五人的排列共有A种，所以这种情况共有52A1200种不同的站法．55所以共有24012001440种不同的站法．法2:由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，4第9级下优秀A版教师版\n第8讲6所以共有2A61440种不同的站法．阶乘与双阶乘阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼(ChristianKramp,1760～1826)于1808年发明的运算符号.阶乘，也是数学里的一种术语,指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数.如：n!n(n1)(n2)21另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，0.65！，0.777！都是错误的.双阶乘用“m!!”表示.当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积.如：(2n1)!!135(2n1)(2)!!246n2n例36名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.（1）若A、B两人必须相邻，一共有____种不同的站法；（2）若A、B两人不能相邻，一共有____种不同的站法；（3）若A、B、C三人不能相邻，一共有____种不同的站法.（学案对应：学案3）【分析】（1）若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为25AA=2×120=240（种）25（2）法1：排除法.A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不6加任何条件的站法总数为A=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为6720-240=480（种）．法2：插空法.先排C，D，E，F四人，共有4！=24种排法，这时四人共产生了5个空位（包2含两端），在这5个空位上选2个位置站人，一定不会相邻.因此共有24A480种站法.5（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单。3插空法.3!A6241444想想练练：4个男孩和4个女孩参加歌唱比赛，他们一个接着一个地唱．如果两个女孩不能连着唱，必须隔开，那么能排成____种不同的顺序.【分析】按乘法原理先排男孩唱歌顺序有4×3×2×1=24种．再让女孩去插空，5个空中选4个空有5种选择．选完后女孩的排法也有4×3×2×1=24种．故共有24×5×24=2880种不同顺序．5第9级下优秀A版教师版\n【巩固】用1，2，3，4，5各一次，可以组成___个偶数不相邻的五位数.【分析】法1：排除法，共可以构成5！=120种不同的五位数，其中偶数相邻的共有2×4！=48种，所以符合要求的数共有120-48=72种.法2：插空法，1，3，5共可以组成3！=6种不同的三位数，这时产生4个空位，从4个空位中选2个放2，4，共有4×3=12种方法。所以共有6×12=72种符合要求的数【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有____种.【分析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻．可以看成有10盏灯，共有9个空位，在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有298C36(种)．921例4（学生版仅有第1题）（1）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.若A必须在B的前面（可以不相邻），则有____种站法；若A在B的前面（可以不相邻），B在C的前面（可以不相邻），则共有____种站法.（2）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6名小朋友A、B、C、D、E、F平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）6!【分析】（1）A在B前面，可认为全排列后，除去AB之间的排列方式，即360种.A，B，C2!6!定序时，可需要在全排列的基础上，除去ABC之间的排列方式，即120种.3!（2）法1：可先固定一人，其他人就只有5！=120种站法.法2：6人站一圈，共有6！种站法，但每种站法都可以旋转6次，因此要除以6才是不同6!实质的站法.答案为120.6（3）法1：6人中先选2人作为第一组，再剩下4人中选2人作为第二组，最后的2人作222CCC642为第3组，因为组与组不做区分，因此要除以组数的全排列.答案为153!法2：随意排6个人，共有6！种排法，将人按2人一组截开，组内人可以互换，三个组也6!可以互换，因此共有15种分法。2!2!2!3!【拓展】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，则有___种不同的射法.红黄绿【分析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即96第9级下优秀A版教师版\n第8讲个物体的排列，当然有9!种排列方法．但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以3!，其他黄色气球、绿色气球依此类推．9!所以共有射击方法：12603!2!4!本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气3球，有C种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再92从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有C6种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有324CCC1260种不同的射法．964例510个相同的球完全分给3个小朋友.（1）若每个小朋友至少得1个，那么共有___种分法.（2）若每个小朋友至少得2个，那么共有___种分法.（3）若可以有小朋友不得，那么共有___种分法.（学案对应：学案4）【分析】（1）题是标准的插板法。只要在10个球的9个间隔中插入2个板就可以达到题目的要求.298因此（1）题答案为C936.21（2）题每人至少2个，不符合插板法，但我们可以先拿出3个球放在每个人的面前，现在265就变成7个球完全分给3个小朋友了，答案为C15.621（3）题可以有人不得，可以先分完后，再借3个球，在每人面前放一个，这样每人的面前都至少是1个.而此时相当于13个球分给3个小朋友，每人至少一个了.答案为21211C66.1221想想练练：小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有___种不同的吃法.63【分析】10块糖有9个空，选6个空放挡板，有CC84(种)不同的吃法．99【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃1块，问共有种吃法．【分析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12块糖分成511109876堆，则这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有C462种．1112345【拓展】插板法：前提：1.物品相同；2.人不同；3.完全分完，并且完整；4.每人至少1个.结论：m个相同的物品完全分给n个人n1（1）若每人至少1个，则共有Cm1种分法；n1（2）若每人至少k个，则共有Cm1nk(1)种分法；n1（3）若有人可以不得，则共有Cmn1种分法.应用：以下字母均为整数，求下面几式的解的个数.298（1）xyz10(,,xyz1)答案：C369217第9级下优秀A版教师版\n265（2）xyz10(,,xyz2)答案：C156212（3）xyzm(,,xyzk)答案：Cm1nk(1)21211（4）xyz10(,,xyz0)答案：C661221n1（5）aaaam(ak)答案：C123nim1nk(1)【拓展】光明小学甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出十四个节目.如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有___种.【分析】法1：14可以分解成三个数之和(每个数都大于等于3)，共有5组，3，3，8；4，4，6；4，5，5；3，4，7；3，5，6.其中前3组，每组的三个数有3种排列方法；后2组，每组的三个数有326种排列方法.由加法原理，一共有336221种不同的排列方法.每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，所以共有21种不同的情况.2法2：用插板法.C21种7已知：n!n(n1)(n2)21，并特殊规定：0!1，那么，你能否在下式中等号左边填上适当的符号（四则运算符号或阶乘），使等号成立。1111=240000=24答案：(1111)!24(0!0!0!0!)!24杯赛提高10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【分析】法1:大除法．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有71070种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111)10235(种)．2法2:排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为C，而被选的两102个人相邻的情况有10种，所以共有C10451035(种)．10附加题1.马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只8第9级下优秀A版教师版\n第8讲灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？【分析】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空档中放入3只熄灭的灯，有C320种方法．62.（1）数字和为8，且不含0的三位数有___个；（2）数字和为8，且每个数字不小于2的三位数有___个；（3）数字和为8的三位数有___个；（4）小于1000，且数字和为8的数有___个；（5）数字和为10的三位数有___个.【分析】插板法的应用.2（1）相当于将8个球分给3个人，每人至少1个，共有C721个2（2）相当于将8个球分给3个人，每人至少2个，共有C46个.（3）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，但第1个人必须得至少1个，因此共2有C36个.83112（4）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，共有C45个.注：这种算法若第110人不得，相当于百位为0，即相当于2位数或1位数.2（5）百位至少为1，之后三个位置分9个数，共有C55个数，但不能出现（9，0，9310）的情况，因此共有55-1=54个.3.数字和为5的三位数有_____个.【分析】法1：枚举：（0，0，5）可组成1个（0，1，4）（0，2，3）可组成4×2=8个（1，1，3）（1，2，2）可组成3×2=6个共1+8+6=15个法2：插板法：2可先给首位分1个，之后变成4个球分给3个人，可以有人不得的情况，因此共有C155131个.知识点总结排列组合公式：m1.排列数公式：Ann(1)(n2)(nm1)nn2.全排列公式：An!n(n1)(n2)21nmnn(1)(n2)(nm1)3.组合数公式：Cnm!4.关于组合数的几个重要结论：0nmnm012nnCnCn1CnCnCnCnCnCn29第9级下优秀A版教师版\n家庭作业1.5个人站成一排，小明不在两端的排法共有____种.【分析】小明有3种位置可以排，其他4人无所谓，共有34!72种排法.2.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有___种不同的停车方案.【分析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以9共有A362880．93.将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有____种不同的放法。3543【分析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，C==10，5321所以有10种选择.4.用2个1，3个2可以组成____个不同的五位数.【分析】法1：大除法.可以先将2个1认为是x,y；将3个2认为是a,b,c，则这五个数字可以组成5！5!种不同的五位数，但实际上x,y一样，a,b,c一样，因此除以他们自身的排列，共有10.2!3!2法2：五个位置中只要放好2个1，则其他三位就全是2了，因此共有C10个不同的五5位数.5.12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有___种分法.311109【分析】C165113216.四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有___种不同的出场顺序.【分析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列，再分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：3223AAAA=144（种）．3223A版学案【学案1】0，1，2，3各一次共可以组成___个不同的四位数.【分析】0不能做首位，因此首位有3种选择，之后其他三个数随意放，共有33!18个【学案2】6个同学排成一排，其中A、B、C三人必须排在一起，一共有____种排法．【分析】3人在一起共有3！种方法，则3人当成一个整体，和其他3人当成4人排队，共有3!4!144种方法.10第9级下优秀A版教师版\n第8讲【学案3】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：如果要求男生不能相邻，一共有___不同的站法.【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女34生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：AA62414434（种）【学案4】15个苹果分给4个人，每人至少2个，则共有___种分法.31098【分析】C120154132111第9级下优秀A版教师版