第9讲第九讲工程问题知识站牌六年级暑假五年级寒假浓度问题比例应用题五年级秋季工程问题五年级秋季分数应用题五年级暑假列方程组解应用题简单工程；单位“1”法；整体法．漫画释义1第9级下优秀A版教师版\n课堂引入小明买了根超长的面条，不知几百米．小华和小明一起吃需要吃4天吃完，小华和小伟一起吃需要吃6天吃完，小伟和小明一起吃需要吃12天．小华、小伟和小明一起吃需要几天呢？这个问题困扰了他们三个好几天，小明想了九天九夜，打了九摞草稿，发现三个条件合起来不就是每人算两次么？然后兴冲冲的列下算式：(4612)211（天）．小朋友们，你们同意小明的算法吗？假如我们知道面条有600米长呢？换成60米长呢？学完本讲后再来看看这道题吧！教学目标1、熟练掌握“工作效率工作时间=工作总量”和基本工程问题解法；2、灵活运用量化总量法、单位“1”法、方程法和列表法等几种常见方法解决多人合作问题；3、理解单位“1”思想和整体思想．经典精讲一、基本概念工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量．工作效率就是单位时间内完成的工作总量，类似于行程问题中的速度，它是衡量一个人工作快慢的量，简称工效．工作时间就是完成工作总量所需的时间．工作总量工作效率工作时间．工程问题的本质就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系．二、常用方法和技巧工程问题综合性极强，在工程问题背景下，解题方法几乎囊括了鸡兔同笼问题、牛吃草问题、行程问题、和差倍分问题等问题的基本解法，而且与经济问题结合起来以后，能够形成更为复杂的模型，需要用到更复杂的解法．所以同学们在拿到工程问题时一定要擦亮眼睛，认真分析，仔细审题，才能使用正确的方法．关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧：⒈常规方法⑴量化总量法（整数思想方法，适用于还未从整数思想完全过渡到分数思想的学生）在某一项工程中，甲需要A天完成，乙需要B天完成，而总工作量没有明确指出，而且如果设工程总量为1的话会导致工作效率是一个分数，这样会使计算显得很复杂，这个时候可以假设总工作量为W，其中W[,]AB，这样甲、乙两人每天完成的工作量就可以用整数表示，而不需要用繁琐的分数，从而达到简化计算的目的；⑵单位“1”法（整数到分数的过渡，已知数到未知数的过渡）2第9级下优秀A版教师版\n第9讲当具体的工程总量未知的时候，不妨设工程总量为单位“1”，进而通过题目给出的各个工程参与者独立完成该工程的工作时间或工作效率来确定他们的工作效率或者工作时间，需要注意此时的工作效率用分数来表示，前后的单位“1”必须一致；⑶方程法（从未知数到代数的过渡）通过设未知数，根据题意找准工作总量、工作效率和工作时间，利用三者之间的关系，列出方程式求解．方程法不仅仅适用于大多数工程问题，也适用于大多数应用题．⒉特殊题型及相应技巧⑴基本工程问题一个人干活的问题自然无需多算，基本工程问题考虑至少两个人以上的合作问题，包括简单的多人合作问题（已知独做求合作）、休息问题和工程问题中的归一问题（如已知a人b天干的活，求c人d天干的活）；在工程问题里，两人合干要求两人同时开始，同时结束，否则就不叫合作．于是有：工效1工作时间+工效2工作时间=（工效1+工效2）工作时间；也就是合作工效工作时间=合作总量；工作时间也是作为公因数提取出来的，各自在合作中的工作时间也就是合作的时间，所以工作总量和工作效率都可以直接相加求和（或相减求差），但工作时间往往不能．因而，当题目已知独做．．．．．．．．．．．．．．．．．（合作）时间时，往往需要转化为独做（合作）工效或工作总量来计算（而且利用单位“1”法，由工作时间求倒数即得工效）．在三个人以上的合作问题里，上述结论也是同样适用的；⑵多人合作问题（已知合作求独做）——等量代换（包括和差倍分法、比例法和假设法）这类题目包含两种类型的等量关系：一种已知工效或时间之间的和差倍分关系，另一种靠工作总量建立等量关系，前者按照和差倍分问题解决即可，后者依靠总量关系先列出等式，化简后往往获得比例关系，这时设出一个最小的“1份”数来表示其他未知量，和已知数建立起关系来就可以解决问题了．能熟练运用比例法的同学思维相对比较敏捷；在多人合作问题中，如果出现在工作效率和工作时间同时改变而工作总量不变的情况，这种情形非常类似以前学过的鸡兔同笼问题和盈亏问题，这时可以假设相同工作时间，利用多做的部分建立等量关系来解决问题；有些问题不光要求完成工程，更要核算支付的金钱，所以产生了工程经济问题．因为题目一般要求用钱最少，所以可以最后比较金钱．在此之前，可以根据题目中的工程要求（一般是施工时间，采用和差倍分法），先筛选符合条件的工程队；⑶多人合作问题（已知部分合作求全体合作）——列表法（整体思想）列表法不仅在逻辑推理中有用，在很多其他类型的数学题中都很有用，工程问题就是其中之一．当遇到多人共同完成某项工程，且他们在工程完成的过程中有时休息有时工作，从而导致每天完成的工程量都各不相同，或者已知多人中不同的几个人完成工作的情况不同时，用其他方法来解题有一定的难度．而如果采用列表法，把各个工程参与者实际工作情况通过表格的形式反映出来，不仅使条件清晰，而且能通过观察表格发现他们之间的关系，这种关系在很多时候表现为和倍关系，可以利用将问题中的几个队伍工效合在一起的整体思想或者通过多元一次方程的消元思想解决题目的问题；⑷助人为乐问题——合并工程法常规题型为已知三人工效，其中两人各干一项工程，第三人分别帮助两人，使最后同时结束，求帮助时间的问题．基本做法为将两项工程合二为一，按照三人合作的题目来求出完成时间，最后再将两项工程分拆，求出第三人分别帮忙的时间；⑸变速工程问题——转化与方程由于合作、天气等原因，工效发生变化，这时可将特殊条件的工效假设为一个新工程队，而且这个工程队的工效与原有工程队的工效有等量关系，这样就转化为一个多人合作问题，利用上述方法解决即可，此外，用方程法解决变速工程问题也是一种极为方便的方法；⑹交替工程问题——周期与估算3第9级下优秀A版教师版\n在多人共同完成某项工程的时候，有时出现很多人交替完成的情形，这时可以从不同人开始的交替中找出周期性，去掉几个完整周期，最后一个不完整周期按顺序依次微调即可；⑺水管问题（注、排水）——工程追及问题对于刚接触水管问题的同学，将水管问题的题干翻译为工程问题可能会帮助其更易理解题意，相比于工程问题而言，水管问题最独特的地方在于排水管，其工效需要减去，同学们可以将其想象为“捣乱的工程队”，与其说是工程问题的一个分支，不如说是工程追及问题更恰当一点；水管问题中的渗水问题中因为假设单位时间的渗水量不变，符合牛吃草问题的基本假设，可以参照牛吃草问题及其变型来解决．⒊易错点分析孩子们容易在时间相加上犯错，尤其在交替工程问题中已知部分合作时间时，最后全加时往往会把时间相加（正确做法为先求工效再求平均），这时教师可以先让学生把他所求出来的时间和最快的队作比较，发现合作慢于独做的矛盾，再用提取公因数分析讲解，强调有“同时”条件的题目里，时间不可加．知识点回顾4212123431.__12=__1__21=__72231075767749答案：,,,11223253511111431112.+=__+=__++=__（）7=__1++=__46763465445219133120答案：,,,,12424140193.一堆砖，小明每天搬200块，3天搬完，则这堆砖共有___块，小明每天搬这堆砖的____（填分数）．1答案：600，34.挖一条1000米的渠道，需要10天完成，则平均每天挖_____米，每天完成全部的_____（填分数）．1答案：100，105.一本100页的书，每天看20页，则____天可以看完，每天看完全书的____（填分数）．1答案：5，54第9级下优秀A版教师版\n第9讲例题思路模块1：例1-3，基本工程问题例1：从已知到未知例2：工作总量未知例3：先合作再独做模块2：例4-5，整体法例4：凑整法例5：合变分，分变合例11.一批零件有120个，由师傅单独做需3天完成，由徒弟单独做需6天完成，则师傅每天加工_____个零件，徒弟每天加工_____个零件，师徒合作每天加工_____个零件，师徒合作需要_____天加工完成．2.一批零件，由师傅单独做需3天完成，由徒弟单独做需6天完成，则师傅每天加工这批零件的______，徒弟每天加工这批零件的______，师徒合作每天加工这批零件的_______，师徒合作需要_____天加工完成．3.一批零件，由师傅单独做需3天完成，由徒弟单独做需6天完成，师傅工作2天，完成这批零件的______；徒弟工作2天，完成这批零件的______．(学案对应：学案1)【分析】（1）师傅每天加工零件1203=40（个），徒弟每天加工零件1206=20（个），师徒合作每天加工40+20=60（个），师徒合作需要12060=2（天）完成．11（2）师傅每天加工这批零件的，徒弟每天加工这批零件的，师徒合作每天加工这批36111零件的+=，师徒合作需要2天加工完成．3621211（3）师傅工作2天，完成这批零件的2=，徒弟工作2天，完成这批零件的2=．3363例2一项工程，甲单独做需要28天，乙单独做需要21天，如果甲、乙合作需要多少天？11【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，28211111两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要112（天）．28211212想想练练：一项工程，甲单独做需要30天，甲、乙合作需要12天，如果乙单独做需要多少天？5第9级下优秀A版教师版\n1【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总3011111量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做120（天）．1212302020希尔伯特旅馆假设有一家旅馆，里面有很多房间，但所有的房间都已经住满客人．这时来了一位新客人，想订一个房间，旅馆主人只能抱歉地说：“对不起，所有的房间都住满了．”现在又有一家旅馆，里面有无限个房间，而且所有的房间也都客满了．这时也来了一位新客人，想订一个房间，这时旅馆主人却说：“不成问题！”接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间，就这样继续移下去……然后新客人就能住进了已被腾空的1号房间！神奇吧！我们再假设一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人．这时又来了无数位想要订房间的客人．“好的，先生们，请等一会儿．”旅馆主人说．原来他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去．现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无数位客人也都可以住进去，问题解决了！此时，又来了无数个旅行团，每个旅行团有无数个旅客，只见这个老板不慌不忙，气定神足的去解决问题了．同学们，你能猜猜旅馆主人是怎么解决这个棘手的问题的吗？例3一项工程，甲队单独干，3天完成；乙队单独干，6天完成．现在两队先合干1天，剩下的由乙队来干，还需多少天干完？(学案对应：学案2)1111111【分析】甲队效率，乙队效率，两队合作效率，乙还需用时间(1)3（天）．3636226想想练练：一项工程，由甲、乙两个工程队合作要20天完成，由甲工程队单独做要用30天；现在先由两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，还要多少天才能完成？11111【分析】甲乙工效和为，甲队工效为，乙队工效为，乙还需时间203020306011(14)48（天）．20606第9级下优秀A版教师版\n第9讲例4一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？(学案对应：学案3)1【分析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：甲乙，乙丙2011111，乙因此不难得到丙的工作效率为，因此三个人的工作效率之和为1530153030111，也就是说，三个人合作需要12天可以完成．203012想想练练：修理一批零件，毛毛和豆豆合作需要4天可以完成，毛毛和大黄合作需要3天可以完成，由大黄一个人做需要4天可以完成，那么如果三人合作，修理完成这批零件需要多少天？1【分析】将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：毛毛豆豆，毛毛大411111黄，大黄，因此不难得到三人合作的工作效率为+=，所以三人合作需要3444211=2（天）．（毛毛和大黄合作的天数是多余条件）2师徒两人各加工一批零件，师傅完成任务要比徒弟完成任务少用2小时，如果徒弟先做180个，师傅才开始生产，当师傅完成任务时，徒弟比师傅多做120个．已知徒弟的工作3效率是师傅的，师傅每小时加工多少个？4答案：40个例5（1）一项工程，乙单独干需要10天完成，如果甲乙合干6天，乙接着干2天完成。问甲单独干需要多少天完成？（2）一项工程，乙单独需要12天完成，如果甲先干4天，乙再干8天也能完成任务。求甲乙合干多少天可以完成？(学案对应：学案4)1【分析】（1）乙的效率为，甲乙合干6天，乙接着干2天，可以理解为：甲干6天，乙干8天，10144111所以乙干了×8=，剩下1由甲干6天完成，所以甲的效率为÷6=．甲单独105555301干需要1÷=30（天）．307第9级下优秀A版教师版\n1（2）乙的效率为．甲干4天，乙干8天可以理解为，甲乙合干4天然后再让乙干4天，121112221乙干×4=，还剩下1，剩下的由甲乙合干4天，每天完成÷4=．所以甲123333361乙合干需要用1÷=6（天）．6【巩固】拼一个拼图，明明需要12天能够完成，如果爸爸和明明一起先拼3天，剩下的明明自己拼，还需要3天才能够完成，问爸爸和明明一起拼需要多少天能够完成？111【分析】明明的工效为，从整体法考虑，这项任务明明独自干了3天，也就是3，爸爸121241331和明明一起干了3天，也干了总量的1=，说明他们的工效和为3，所以他们44441一起拼所需时间为14（天）．4杯赛提高一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【分析】甲乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为V11和V2，那么V1V2V1，所以V12V2，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，2所以甲单独做需要1728.5（天）．附加题1.一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【分析】根据题意可知，甲做862小时的工作量等于乙做1266小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要631230小时，甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30921（小时）．2.（1）一批零件共36个，甲单独加工完成需12天，乙单独加工完成需9天．若甲先做若干天后8第9级下优秀A版教师版\n第9讲乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？（2）一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【分析】（1）本题类似于之前学过的鸡兔同笼问题，甲每天单独完成3个，乙每天单独完成4个，假设这10天工作都是乙做的，则甲用了：41036434（天），乙用了1046（天）．111（2）假设这10天工作都是乙做的，则甲用了：1014（天），乙用了99121046（天）．3.某筑路队要修一段高速公路，甲队独修20天完工，乙队独修30天完工．现在两队合修，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，一共用了16天完成．那么乙队休息了多少天？【分析】乙休息了5.5天，假设乙没有休息，则甲干了16-3=13天，乙干了16天，一共的工作量为1171711111113×+16×=，多干了1，为乙休息干的，则乙休息÷=5.5（天）．203060606060304.一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？111【分析】法1：由题意可知，甲、乙合作的效率为；乙单独工作的效率为18(138)，10102511331所以甲单独工作的效率．甲、乙两人的工作效率之比为:3:2．10255050251甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要32(32)1小时，514所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要1018小时．55法2：对比甲乙工作时间可发现甲少做2小时，乙就要多做3小时，因此甲乙的工作效率之比为3：2．设甲1小时做3份，则甲先抄2小时可抄6份，换成合作就需要6(32)1.2小时．因此还需要10-1.2＝8.8小时．法3：对比甲乙工作时间可发现甲乙的效率之比为3：2．设甲每小时做3份，则乙每小时做2份．则这份文件为10(32)50（份）．5023甲先抄2小时，还需要8.8（小时）．235.注满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【分析】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：1号2号3号4号工作效率1○○○×201×○○○211○×○○289第9级下优秀A版教师版\n1○○×○30从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：1111113，那么同时打开这4个阀门，需要118（分钟）．2021283018186.水池上安装有A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门注水．如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用的时间如下表：A、BC、DE、AD、EB、C2610315试求注水效率最高的水管几小时可以将空池注满？放水效率最高的水管几小时可以将满水池水放完？111117【分析】∵五管效率之和为22610351211711∴，E为出水管，效率为：26121212111111，A为进水管，效率为；101260601111919，B为进水管，效率为；26060601155，D为进水管，效率为；31212125111，C为出水管，效率为；126445∴注水效率最高的是D管，注水时间为：12.4（小时）121放水效率最高的是C管，放水时间为：14（小时）47.一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做18小时完成．如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作，那么完成任务时共用了多少小时？如果乙独做15小时完成呢？11【分析】本题解法中要注意估值．甲每小时完成全部工程的，乙每小时可完成全部工程的，1218115因此每连续两小时甲、乙可完成全部工程的．于是，甲、乙交替工作14小时121836535351可完成全部工程的7，这时全部工程还剩下1没有完成．甲独做全部工36363636111111程的需要用（小时），所以，完成任务共用了1414（小时）．363612333如果把乙独做完成工程的时间改为“15”小时，其他条件不变，那么甲、乙交替工作2小时113将完成全部工程的，于是，甲、乙交替工作12小时可完成全部工程的12152039916，而剩下的部分占工程的1，甲再独做1小时仍完成不了全部工程，所2010101010第9级下优秀A版教师版\n第9讲11111111剩下的部分是，乙还要用（小时）．因此总共需要用121131012606015444（小时）．知识点总结1.工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量．2.工作效率是单位时间内完成的工作总量．3.工作时间是完成工作总量所需的时间．4.工作总量工作效率工作时间．5.解决工程问题的常规方法有：量化总量法、单位“1”法、方程法．6.多人合作问题的解题方法有：和差倍分法、比例法、假设法、列表法．家庭作业11.一块田共60公顷，用两台拖拉机来耕，甲拖拉机每小时耕这块田的，乙拖拉机每小时耕这121块田的。两台拖拉机合耕1小时耕这块田的______（填几分之几）;两台拖拉机4小时可耕这10块田的____（填几分之几）．1111【分析】；．60152.一项工程，甲单独做需要21天，甲、乙合作需要12天，如果乙单独做需要多少天？1【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总211111量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成．121221283.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？31【分析】14（天）．964.小老鼠打洞需要30天，大老鼠打洞需要20天。现在小老鼠和大老鼠一起打洞10天后，剩下的由小老鼠独自打完，问还需要多少天？11第9级下优秀A版教师版\n11111【分析】小老鼠工作效率，大老鼠工作效率，大小老鼠合作工作效率为+=，合作1030202030121111天后剩下的工作为：110=，=5（天）．1266305.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人单独做需要多少天完成？11【分析】设这件工作的工作量是1．甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙3660111161两人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成()2减去乙、45364560180301111丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要190（天）．304590906.一条水渠，红豆队需要7天可以挖完，现在红豆队先挖2天后，黄豆队加入和红豆队一起挖，他们一起又用了4天才挖完。问如果黄豆队单独挖，需要多少天可以挖完？116【分析】红豆队工作效率为，从整体考虑，红豆队工作了4+2=6（天），总共挖了6=，剩下77761的由黄豆队完成，则黄豆队的工作效率为1-4=，如果黄豆队单独挖，则需要的天7281数为1=28（天）．28A版学案【学案1】一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少天的时间？1【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总3011111量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独完成需要做1201212302020（天）．【学案2】某项工作，甲独做需20天，如果与乙合做12天就可以完成，现在由甲独做16天，然后由乙继续完成，还需要几天时间？111161【分析】乙效：，还需要(1)6天.1220302030【学案3】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？12第9级下优秀A版教师版\n第9讲111【分析】法1：和上题类似，我们可以有：甲乙，乙丙，丙不难求得，乙的工作91236111111效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为12361891818111，361812即甲丙合作12天能完成．法2：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢？不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：（甲+乙+丙2）（乙+丙）=甲+1111丙，也就是说：甲丙=2，所以甲丙合作12天能完成．9361212【学案4】一项工程，甲单独需要10天完成，如果甲先干6天，乙再干4天也能完成任务，求甲乙合干多少天可以完成这项工程？1【分析】甲的效率为.甲干6天，乙再干4天可以理解为，甲乙合干4天然后再让甲干2天，甲101114441干2，还剩下1，剩下的由甲乙合干4天，每天完成4.所以甲乙合105555551干需要用15（天）．513第9级下优秀A版教师版