第10讲第十讲几何计数进阶知识站牌六年级暑假五年级春季数论中的计数概率初识五年级秋季几何计数进阶五年级秋季排列组合进阶五年级暑假枚举法进阶用加乘原理、排列组合、容斥原理数组合图形；熟悉对应法.漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入(一)京沪线高铁是我国著名的一条线路，途径北京，天津，济南，德州，苏州，南京，上海7个主要城市.总共可以制作多少种不同的车票？（二）一群孩子经过一个食品店，看见蛋糕师把刚炸好的麻球排成底座是正方形的共5层的“四棱锥”.他数也不数，就向他的助手报出这一堆麻球有55个.孩子们很奇怪问师傅使用什么方法计数的，师傅笑了笑说：“把麻球一层一层的取下来，平铺在桌面上，你就知道其中奥妙了.”旁边又有一个被排成底层是正三角形的5层“三棱锥”，你能数出来有多少个吗？教学目标1.理解几何计数中的对应法；2.灵活运用排列组合等知识解决对应的几何计数；3.理解并运用排除法解决正面困难的问题.经典精讲图形计数就是数图形，而本讲主要学习利用排列组合来数数，目的是让学生从低年级单纯的枚举法转变习惯应用对应法和排列组合解决问题.本讲还定位于从低年级的计数方法到高年级思想方法的过度和转变，树立对应、转化意识，强化对应法，排除法，分类讨论思想的运用.计数中的常见结论：21.共有C条线段.（角，三角形同理）na1a2a3a4an-1an222.共CmCn个长方形bmbm-1b4b3b2b1a1a2a3a4an-1an3.若字母A的上方有m条线，下方有n条线，左边有a条线，右边有b条线，则包含A的长方形2第9级下优秀A版教师版\n第10讲共有m×n×a×b个A44.三角形最后一条边有n个点，则平行四边形个数为：3Cn1.............................................................知识点回顾1、图中有多少个长方形？2【分析】C=10个52、图中共有多少个正方形？【分析】共554433221155个3、图中共有多少个三角形？第9级下优秀A版教师版3\n【分析】边长为1的三角形1+3+5+7=16个；边长为2的三角形：7个；边长为3的三角形：3个；边长为4的三角形：1个.共30个.例题思路模块1：例1、2：用排列组合解决的基本问题（对应法）模块2：例3、4：排除法模块3：例5：转化法与排除法综合例1（1）如图1，有多少条线段？（2）如图2，有多少个角？图1（3）如图3，有多少个三角形？（4）如图4，有多少个长方形？图4图2图3（学案对应：学案1）2【分析】（1）每条线段对应两个不同的点，相当于从六个点中选两个：C1562（2）每个角对应两条射线C510（3）所有三角形都有一个相同的顶点，因此每个三角形对应底边一条线段，即两个不同的2点：C105（4）每个长方形对应2个长和2个宽，即水平和竖直方向各选取一条线段：22CC1066054例2说明：学生版本中只有（1）（2）由20个边长为1的小正方形拼成的一个45含有“”的长方形中.（1）如图1中含有“”的所有长方形（含正方形）有多少个？（2）如图2中含有两个“”的长方形（含正方形）有多少个？（3）如图2中只含一个“”的长方形（含正方形）有多少个？（4）如图2中不含“”的长方形（含正方形）有多少个？4第9级下优秀A版教师版\n第10讲（5）如图2中至少含一个“”的长方形（含正方形）有多少个？图1图2（学案对应：学案2）【分析】说明：学生版本中只有（1）（2）请老师根据班级程度拓展.（1）法1：；含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)☆☆☆☆☆☆☆☆含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)☆☆☆☆☆☆分两个方向数，横行有8个单位长方形，竖列有6个单位长方形，所以共有长方形8648（个）法2：（1）含星小正方形左上角有6个点，右下角有8个点，即6848（2）含两个“”最小长方形（此图为正方形）左上角有4个点，右下角有6个点，即46=24（3）只含一个：容斥原理：6869248022（4）不含：排除法：C6C5802446（5）至少含一个：80+24=104想想练练：如图，包含两个五角星的长方形有多少个？★★【分析】两个五角星都包括的长方形有：4416个；（相当于从左上角选中一点，再从右下角选中一点即可）第9级下优秀A版教师版5\n正方形能分解成多少个小正方形？众所周知，一个正方形可以分解成4个小正方形，此外，还可以分解成6，7，8个正方形。用这个方法也可以将正方形分成6+3，7+3，8+3……个正方形。因此可以把正方形分成4、6以及6个以上的小正方形。也就是说一个正方形不能分成2，3，5个正方形。以下图中给出了3k,3k+1,3k+2的基本分割法（k最小值是2），其他所要求的8以上数目的小正方形可按上述3种基本分割法构造。因此，正方形的分解问题已经得到彻底解决。例3如图，请问图中有多少个平行四边形？ABCDEFMPNOXQRSY（学案对应：学案3）【分析】法1：对应法：平行四边形按方向分成三类：竖直，左斜，右斜，由旋转不变性可知，只要数其中1类再乘3即可.因为直接数比较麻烦，所以考虑把平行四边形对应成点.不妨先数竖直的平行四边形，由点A构成的竖直平行四边形个数等于点A的对面点（对角线另一端的点）的个数，如果第一行看为点A，第二行0个，第三行只有点E，第四行只有M,N，第五行有Q,R,S，共1+2+3=6个.再由点B作为上端点构成的平行四边形：第三行0个，第四行有N，第五行有Q,R，共1+2=3个，同理点C也有3个，总共326个，再由点D、E、F生成的竖直平行四边形各1个.竖直总数：6321315.平行四边形总数：15345法2：另一种对应法：每个平行四边形都看成由两组平行线构成，而每条平行线对应底边XY某个点，则1个平行四边形对应4个点.但是比如平行四边形ADRF却对应最后一行3个点，可见最后一行点数不够多.如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从5个变成6个.同时，所有与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于4个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形ABCD方6第9级下优秀A版教师版\n第10讲向相同的平行四边形是一一对应的.因此图中与ABCD方向相同的平行四边形总数为：4C15（个）6总数：15×3=45老师可以总结如下结论：4如果最后一行有n个点，则平行四边形总数为3Cn1CDBEFA想想练练:如图，有多少个菱形？（注：四边相等的四边形是菱形）ABCDEFMPNOXQRSY【分析】对应法：边长为1的菱形与其对角线可产生一一对应关系，如BC对应ABEC.则现在变成数内部线段的条数，内部共18条线段，共18个边长为1的菱形，但还有3个边长为2的菱形，因此总数18+3=21个.例4如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？3【分析】从12个钉子中选择3个钉子组成三角形，一共有C220个，但是有3个点在同一条直1233线上的情况，需要排除，水平方向共有3C412个，竖直方向有C344个，斜着有4个，这样的话总共有2201244200个.【铺垫】如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？第9级下优秀A版教师版7\n2【分析】（1）线段：C615（条）3（2）三角形：C20（个）64（3）四边形：C15（个）6想想练练：如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？【分析】从9个点中选出3个，只要这3个点不在一条直线上，就能连成一个三角形.图中直径上的四个点共线，其余任意三点均不共线所以要计算三角形的总数，只要算出选取三个点的总取法，再从中减去无法连成三角形的选法总数，得到的就是能画出的三角形的总个数：33CC84480（个）94例5一个三角形的3条边上共有7个点，画出这7个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？（学案对应：学案4）4【分析】转化法和排除法的综合应用.每一个交点唯一对应不共线的4个点，故C9之后还要减去有431共线的情况：CCC35431个.734此题可以拓展如下：三角形每边各有三个点，则三角形内部交点个数有多少个？431C3CC12618108936【铺垫】一个三角形的3条边上各有2个点，画出这6个点之间的全部连线（同一条边上的两点不8第9级下优秀A版教师版\n第10讲画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？4【分析】把交点转化成四边形对角线交点，则四边形数量即为交点个数：C6153根木棒最多可以摆出多少个直角?答案：12个。杯赛提高如图，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？【分析】除了图中的9个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过尝试不难看出，斜三角形只有下列四种形式：第9级下优秀A版教师版9\n容易数出，第一种有4个，第二种有2个，第三种有4个，第四种有2个.综上，总共9424221个.附加题1.图中共有多少个三角形？222【分析】三条边上的三角形分别有：C6（个）C6（个）C10再加△ABC，所以共有23445,个三角形．2.图中有多少个长方形？22【分析】横大长方形内有长方形：CC31030（个）．3522竖大长方形内有长方形：CC310303522中间重复的长方形有：C3C3339（个）．故图中共有长方形：3030951（个）．3.如图，ABCDEF、、、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？222【分析】梯形的个数为CC4560个，三角形的个数为4C540个，它们的差为20个.4.如图，正方形上有14个点，4条边上分别有2、3、4、5个点；画出这14个点之间的全部连线10第9级下优秀A版教师版\n第10讲（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问正方形内共有多少个交点？【分析】每一个交点唯一地对应着一个四边形，故共有431314314CCCCCCCCC100111401905854个.1431141045955.如图，一个66的网格中，取出一个由三个小方格组成的形，一共有多少种不同的方法？【分析】如图1，每个L形对应一个两条线的交点A，如图2每一个交点附近都可以通过旋转生成有4种L形.网格中共5525个交点，即25×4=100种方法.知识点总结21.共有C条线段.（角，三角形同理）na1a2a3a4an-1an222.共CmCn个长方形.bmbm-1b4b3b2b1a1a2a3a4an-1an3.若字母A的上方有m条线，下方有n条线，左边有a条线，右边有b条线，则包含A的长方形共有m×n×a×b个.第9级下优秀A版教师版11\nA44.三角形最后一条边有n个点，则平行四边形个数为：3Cn1.............................................................家庭作业1.下图中共有多少平行四边形？22【分析】CC6318432.由20个边长为1的小正方形拼成的一个45长方形中有一格有“☆”.图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共个.☆【分析】2×15=3013.如图，边长为7的等边三角形每条边被七等分，求边长为1的小三角形个数与2所有平行四边形的个数之比是多少？34【分析】小三角形：1+3+5+7+9+11+13=49个54平行四边形个数：3C3126378697个数比：49：378=7：544.如图，木板上钉着9枚钉子，排成三行三列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？12第9级下优秀A版教师版\n第10讲33【分析】C8C76.935.圆上有9个点，画出这些点之间的全部连线，已知这些连线的交点没有出现重合；以这些连线为边，会在圆内形成三角形（如下图，例如图中的阴影三角形）；请问这样的三角形一共有多少个？【分析】本题条件看似复杂，但观察每一个这样的三角形会发现，它唯一地对应着圆周上的6个不6同的点，因此答案为C84个.96.如图，一个66的网格中，取出一个由四个小方格组成的形，一共有多少种不同的方法？【分析】如图，每个田字形对应一个格点，网格中共5525个交点，则有25种不同的选法.A版学案【学案1】图中有多少梯形？22【分析】C4C561060【学案2】如图，这是一个48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形.请问：至少包含一个“★”第9级下优秀A版教师版13\n的长方形有多少个？11【分析】包含两个★的长方形有6×5=30个.包含左边的★的长方形有CC72个，包含右边的★12611的长方形有CC815120个.所以至少包含一个“★”的矩形有1207230162个.【学案3】如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？4431【分析】C9C4C4C5105【学案4】如图，两条线段上分别有6，7个点，以这13个点为顶点，共可以连出多少个四边形？已知两条线段中各任取1点的连线的交点互不重合，在两条已知线段之间可产生多少个交点？【分析】上面选2个点，下面选2个点，可以确定唯一的一个四边形，而一个四边形的对角线相22连，可以确定唯一的一个交点，因此这两问的结果都一样.为C6C7152131514第9级下优秀A版教师版