第11讲第十一讲数字谜中的最值知识站牌六年级暑假六年级暑假数字谜中的计数逻辑推理综合五年级秋季数字谜中的最值五年级暑假数阵图综合四年级春季破译横式极端思想；数字谜中的最值问题.漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入有的题目故意被出题人拿掉一个或几个条件，使题目变得残缺不全，成为一道错题，可是在问题中加上“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字样，又“起死回生”成为一道最值问题.数字谜中的最值问题和其它最值问题一样，采用论证与构造相结合的方法进行解决.教学目标1.掌握最值问题的基本思想：极端分析2.灵活运用极端分析解决数字谜中的最值.经典精讲1.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2.竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、位数的差别等．3.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位借位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4.数字谜中的最值问题除了数字谜问题常用的分析方法外，还会利用到最值问题的方法，最常用的是枚举比较法与极端分析法．知识点回顾1.请在下面的方框中填出能确定的数字.【分析】可确定出1，0，9这三个数字.此题为数字谜中的“黄金三角”2.由数字1，2，3，4各一次构成两个两位数，则这两个数的和最小为____，最大为____.【分析】最小为13+24=37；最大为41+32=732第9级下优秀A版教师版\n第11讲3.由数字1，2，3，4各一次构成两个两位数，则这两个数的积最小为____，最大为____.【分析】最小为13×24=312；最大为41×32=1312例题思路模块1：例1-3：加减法数字谜中的最值模块2：例4-5：乘除法数字谜中的最值例1将数字1～5不重复的填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？若填入的数字是0～4呢？+（学案对应：学案1）【分析】极端分析.求最大值时，让大数放高位；求最小值时，让小数放高位.1-5的最大值为541+32=573，最小值为124+35=159（其中十位数字可互换，个位数字可互换，以下只写一种情况）0-4的最大值为430+21=451，最小值为103+24=127想想练练：用数字0～9各一次构成2个五位数，则这2个五位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为97531+86420=183951.最小值为：10468+23579=34047【拓展】将数字0～9不重复的填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？+【分析】极端分析，最小值为1036+247+58+9=1350.最大值时要注意，结果为4位数，因此理论最大值为9999.经实验可知：9701+236+54+8=9999.【拓展】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x，那么个位数上的数字之和为45x，则五个两位数上的数字之和为10x45x459x，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字第9级下优秀A版教师版3\n中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为45954210153．例2右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?中国新北京＋新奥运2008（学案对应：学案2）【分析】“新”必为9，千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18，但当和为18时，（“国”、“京”、“运”分别为7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为15（“中”、“北”、“奥”分别为8，4，3），不能进位2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是8，此时，“北”、“奥”只能分别为7和5，则“国”、“京”、“运”分别为4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是84.【铺垫】右式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足ab2cd，被加数最大是多少？ab5cd【分析】若b5，则由竖式知a=c，bd，不满足ab2cd；若b5，则由竖式知ac1，bd5，代入ab2cd，得cd4．由此推知cd最大为40，ab最大为40535．【拓展】从1～9这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大可能是．【分析】法1：由题目可知，四位数的千位数字肯定是1，此时还剩下2～9这8个数字，再看三个4第9级下优秀A版教师版\n第11讲数的个位数字之和的尾数为0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为1759.法2：设1-9中未选的数字为a，则加数的数字之和为45-a，和的数字之和为3，则45-a-3为9的倍数，可知，只有a=6时成立，且共进位四位.之后考虑进位，可知最大时，可让百位进1，十位进1，个位进2，尝试可得答案如下，为1759【拓展】如图所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字.要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？【分析】用大写字母代替三角，小写字母代替方块.那么：ABCDE,,,,2,3,5,7;,,,,abcde4,6,8,9.（1）观察三个数的个位：1de189d8,e9；（2）观察三个数的十位：B1E213B2,E3；（3）观察三个数的百位：bD0，显然发生了进位，那么bD102810b2,D8；（4）观察千位，考虑到百位进位，有：ac104610ac,4,6；（5）观察万位，考虑到千位进位，有：AC9279AC,2,7.那么现在，两个加数都只有万位和千位不固定，为了让两个加数的差最小，那么有:2682174218101039，较大的加数为74218.AabB1CcD1d1010Ee【拓展】有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？【分析】设这四个数字是abcd，如果d0，用它们组成的最大数与最小数的和式是abcddcba，由个位知ad9，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最11469第9级下优秀A版教师版5\nabc0多为10，与题意不符．所以d0，最大数与最小数的和式为c0ba，由此可11469得a9，百位没有向千位进位，所以ac11，c2；b6c4．所以最小的四位数cdba是2049．【拓展】在下面的算式中，A、B、C、D、E、F、G分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG的最大可能值是．ABCDEFG2006【分析】可以看出，A1，DG6或16．若DG6，则D、G分别为2和4，此时CF10，只能是C、F分别为3或7，此时BE9，B、E只能分别取1,8、2,7、3,6、4,5，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以DG不能为6，DG16．这时D、G分别为9和7；且CF9，BE9，所以它们可以取3,6、4,5两组．要使EFG最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG的最大可能值为659．事实上13476592006，所以EFG最大为659．数学谜语——乾隆皇帝的数字谜乾隆曾出过一个以数字为谜底的词谜．乾隆皇帝很欣赏纪晓岚的渊博学识，有时候故意出难题考他．有一次，乾隆出了这样一个颇为有趣的词谜：下珠帘焚香去卜卦，问苍天，侬的人儿落在谁家？恨王郎全无一点真心话．欲罢不能罢，吾把口来压！论文字交情不差，染成皂难讲一句清白话．分明一对好鸳鸯却被刀割下，抛得奴力尽手又乏．细思量口与心俱是假．乾隆得意洋洋地问纪晓岚：“老爱卿，你可知道这个词谜的谜底是什么？”纪晓岚沉思了片刻答道：“圣上才高千古，令人敬佩！这表面上是一首女子绝情词，实际上各句都隐藏着一个数字．”原来谜底是“一二三四五六七八九十”．解法是：“下”去“卜”是一；“天”不见“人”是二；“王”无“一”是三；古时候“一”(也可竖写成“1”)繁体中“罢”为四字下面加一能字，“吾”去了“口”是五；“交”不要差(叉谐时，意指×)是六；“皂”去了“白”是七；“分”去了“刀”是八；“抛”去了“力”和“手”是九；“思”去了“口”和“心”是十．例3下面竖式中，“学理科到学而思”的每一个汉字表示0到9这10个数字中的一个，相同的汉字表示6第9级下优秀A版教师版\n第11讲相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，三位数“学而思”的最小值是_____.学理科到2011学而思（学案对应：学案3）【分析】学=2，所以理=3，十位要从百位借位，那么科=0或1，尝试得最小为2305-2011=294想想练练：将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是．DCBAABCD7902【分析】用A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A只能是1或2，D是8或9；从末位来看，10AD2，得DA8，所以只能是A1，D9．被减数的十位数B，要被个位借去1，就有B1C．B最大能取9，此时C为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．【拓展】下式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足2abcd，被减数最小是多少？ab3cd【分析】若b3，则由竖式知a=c，bd，不满足2abcd；若b2，则由竖式知ac1，b103d，即b7d，代入2abcd，得ab6．由b2知a4，所以ab最小为42．例4如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是多少？0321【分析】首先可得到：1311011321第9级下优秀A版教师版7\n3721，最小的可能性1001=711137143，此时两个乘数之和为160：1431710011432431想想练练：如图竖式中，乘积最大可以是多少？321【分析】首先可得到：1317111321注意到乘积不能超过3000，3000171768，所以最大只能是173和17相乘1731712111732941【铺垫】把1～9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大.□□□×□□□×□□□【分析】941×852×763【铺垫】用数字1、2、3、4、5、6、7、8组成两个四位数（不重复使用），P是这两个四位数的乘积，请问P的最大值是什么？答案请用□□□□□□□□的形式表示（不需将它乘开）.【分析】8531×7642【拓展】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是．8第9级下优秀A版教师版\n第11讲640【分析】由于被乘数乘以6得到的数的个位数字为4，所以被乘数的个位数字为4或9，如果为9，那么被乘数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为4，且乘数的十位数字为5，所以乘数为56．由于被乘数乘以6得到的五位数至少为10004，而10004616672，所以被乘数大于1667，而被乘数的个位数字为4，所以被乘数至少为1674，乘积最小为16745693744【拓展】已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba45deed），那么这个五位回文数最大的可能值是________．【分析】根据题意，abcba45deed，则abcba为45的倍数，所以a应为0或5，又a还在首位，所以a=5，现在要让abcba尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令b9,c8，则abcba=5＋9＋8＋9＋5=36是9的倍数，用59895÷45=1331符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895.【拓展】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是．68【分析】由于被乘数乘以6得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，所以乘数的十位数字小于6，乘数可能是16，26，36，46和56．它们能得到的最小乘积分别是800016128000，400026104000，277836100008，217446100004，178656100016．其中最小的为100004，所以乘积最小为100004．例5在“□”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是多少？（学案对应：学案4）6350第9级下优秀A版教师版9\n【分析】如右式，填上能确定的数，用字母表示某些方格内的数．因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的每一位都不小于2，那么商的最小可能值为262，如果可以构造成功那么就是262了.可知c3或8．当a2时，由bca5，推知c3，所以c8，进而得b7，此时题中算式为2043678262，满足题意，所以商的最小值为262．6abc338550【拓展】在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大．那么，商的最大值是__________．defgabc2h2ij000km0n777qr00【分析】如右式，用字母来表示方格内的数字．易知f0．为了使商最大，首先令d9，则e最大为8(若e也为9，则kmn0hij2，则kmn07的百位数字不能为0)．再由abc8kmn0知abckmn08125，由abcg7qr知g7qrabc8001256.4，所以g6．若g6，由d9知d是g的1.5倍，则hij27qr1.58001.51200，矛盾，所以g6不合题意；若g5，由7005140abc8005160，而14081120abc8kmn016081280，此时kmn0只可能为1200或1208，abc150或151，但15091350，15191359，均不可能为hij2，所以g5不成立；若g4，由7004175abc8004200，而17591575abc9hij220091800，也不成立；若g3，可得以下两式符合题意：24507502509803，24605532519803，所以商的最大值为9803．10第9级下优秀A版教师版\n第11讲心里的数字谜摩比和大宽曾经打过一个赌.摩比说：“我能看穿你心里面想的数字，要不要我们打个赌，输的人要打扫一个礼拜的厕所.”大宽欣然同意.摩比说：“你把你想的数先加上3，再乘3，再减3，最后再除以3，然后把结果告诉我，我能马上知道你心里想的那个数.”大宽：“我算出的结果是100.”摩比立刻说出了大宽心里想的数字.你知道大宽心里想的是哪个数吗？答案：98.杯赛提高自然数M乘以13的积的末三位是123，求M的最小值.【分析】法1：转化为竖式谜，不断利用尾数分析逐步推出M的每一位：13131313171471313131319191252123123123123我们并不需要考虑千位或更高位，M只需要最小值，则只需要满足末三位，前面得几无所谓，减少无用的计算量.法2:M123一定是13的倍数，而13的倍数满足其后三位与前面隔开，差是13的倍数．123÷13=9……6，那么6123一定是13的倍数，且为满足条件的最小自然数．那么题中所求的最小整数为6123÷13=471．附加题1.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为多少？□□+□+□□=□□+□□【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，所以右侧的除法只能是62，构造3157962842.将1，3，5，7，9填入等号左边的5个方框中，2，4，6，8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？第9级下优秀A版教师版11\n□□+□+□□=□□+□□【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，所以右侧的除法只能是62，构造7153962483.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，0、2、4、6、8填入等号右边的5个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？□□-□-□□=□□□+□+□【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数，最小为248609，左侧可以构造出1759394.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，0、2、4、6、8填入等号右边的5个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？□□+□+□□=□+□+□□□【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数.左侧除法可能是除以1或者9除以3，最小的结果是9351725，右侧可以构造28604255.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，0、2、4、6、8填入等号右边的5个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为多少？□□-□+□□=□+□+□□□【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数.右侧最大时应该为80多除以2，由于必须是奇数所以只能是86，0486247，左侧可以构造出93751476.在下面的算式□中填入四个运算符号、、、、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.12345□□□□【分析】为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到：11234520.37.(1)2013乘以自然数a的结果的末两位为99，求a的最小值.(2)2013乘以自然数b的结果的末四位为2012，求b的最小值.【分析】利用竖式数字谜，从个位逐步向前推即可.(1)先定个位，然后定十位：201320133236039603940269999(2)先定个位，然后逐步定：201320134248052805240262012201212第9级下优秀A版教师版\n第11讲201320139244924805280524026402618117181178052201220128.1991乘以自然数m的结果的末四位为8888，求m的最小值.【分析】先定个位，然后逐步定：19911991199119918685688568159281592815928159281194611946119469955995588888888888888888知识点总结1.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位借位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．2.数字谜中的最值问题除了数字谜问题常用的分析方法外，还会利用到最值问题的方法，最常用的是枚举比较法与极端分析法．家庭作业1.将数字1，1，2，3，3填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？+【分析】极端分析，最大值为331+21=352，最小值为113+23=136.2.如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的6位数最小为____．第9级下优秀A版教师版13\n2007美妙数学花园好好好好【分析】“好”为2，要使算式满足则必有(美数花)≥20．要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则美数花=3+8+9，妙学园=15=4+5+6．即“美妙数学花园”代表的6位数最小为3485963.将数字0～9不重复的填入下面竖式中减数与被减数的位置，则结果的最大值是多少？【分析】极端分析：最大值为98765-10234=88531.（附最小值为46012-35987=10025）4.在下面乘法竖式的每个方格中填入一个数字，使算式成立.那么，乘积的最大值等于_________.2006【分析】首先可得到22606066所以最大值为3042260860866885.在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是．14第9级下优秀A版教师版\n第11讲610【分析】商的十位大于商的百位，所以商的十位最小为7，个位最小为1，所以商的最小可能值是51671．当商是671时，由“除数699”和“除数7110”得15除数16，那么除数是7216．所以1073616671满足题意且商最小，所以商的最小值为671．6.满足图中算式的三位数abc最小值是多少？abc2010【分析】为了使得三位数最小，那么a1，由于三个积的十位数字为0、1、0，那么b可为0，则个位上必须能进位，那么c不能为1，最小为2．则abc最小值为102.A版学案【学案1】用数字0～9各一次构成5个两位数，则这5个两位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为：94+83+72+61+50=360，最小值为10+26+37+48+59=180【学案2】将数字1～9填入下图竖式的9个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值为多少？2013【分析】四个数的所有数字之和为129201351，除以9余6，所以和除以9余3，最小为3126，然而此时加数的四位数无法构造，逐步调整为3135构造4290621873135，所以最小值3135【学案3】将数字1～5不重复的填入下面的被减数与减数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？若是0～4呢.第9级下优秀A版教师版15\n【分析】极端分析：1-5的最大值为543-12=531，最小值为三位数，至少为100，考虑当1被用过后，个位最小为2与5，可以为142-35=107.0-4的最大值为432-10=422，最小值为130-24=106.【学案4】如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小．那么，商的最小值是____________．20070【分析】显然商十位是0，如果商的千位是2，则除数2□2□□，只能是12□□，从而除数6□□，乘以商的个位之后不可能等于7□□．如果商的千位是3，因为除数乘以商的百位后等于□00□，商的个位只能是1或2．如果商的个位是1，则除数等于7□□，商的百位最少是4，此时750等数符合条件．如果商的个位是2，则除数等于7□□，此时商的百位必须大于4．所以，商的最小值是3401．16第9级下优秀A版教师版