第12讲第十二讲燕尾模型知识站牌五年级寒假五年级寒假圆与扇形初步长方体与正方体五年级秋季燕尾模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型简单的燕尾模型；会利用辅助线构造燕尾.漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入燕尾模型是共边模型中的一个模型.由于它形状像燕子的尾巴，为了便于记忆，就起名为燕尾模型.我们看下图，像不像一只在天空飞翔的燕子？教学目标1.认识燕尾模型，会从不同角度看出燕尾；2.会利用燕尾的特征构造出燕尾；3.能够将复合的燕尾分拆.经典精讲既然燕尾模型是共边模型的一种，那么它也符合面积比例模型：S3:S4ll1:2SS1:2S3:S4ll1:2S1S3:S2S4ll1:2后面这个式子，就是我们燕尾模型中的常用公式.AS1S2DGFS3S4l1l2BEC在三角形ABC中，有S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC；S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC；2第9级下优秀A版教师版\n第12讲S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB.燕尾模型为三角形中的面积与对应底边之间提供了相互联系的途径，可以帮助我们解决很多几何问题.知识点回顾3636631.已知:,求___,___.51051010533答案:,553939932.已知:,求___,___26266233答案:,22bkbbkbbkb3.已知:(k0,k1),求___,___.akaakaakabb答案:,aaSSlSl4.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:131,且31,利用上SSlSl24242S1面题的结论可知:____S2S1S2S3S4l1l2l1答案:l2SAOSAO5.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:1,且3,所以SOCSOC24SS13____SS24第9级下优秀A版教师版3\nBAS1S2S3OS4CDAO答案:OC例题思路模块1：例1，2：燕尾的直接应用模块2：例3，4：燕尾的两次应用模块3：例5：燕尾的拆分例1S如图，S，S代表所在小三角形的面积，其他数代表所对应线段的长度，分别求出每个图中1的12S2值.（学案对应：学案1）26S1S2S210S2336S1S1135【分析】燕尾模型的直接应用.分别为，，223想想练练：右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．2413【分析】法1：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三4第9级下优秀A版教师版\n第12讲角形中存在一个比例关系：2:S阴影13:4，解得S阴影2.法2：回顾下燕尾模型，有2:（S4）1:3，解得S2.阴影阴影【拓展】如图，已知ABD的面积是15，ACD的面积是20，BCD的面积是14.求CDE的面积是多少？A1520D14BCESBE153S3S444ABDBDECDE【分析】SS8CDEBCDSCE204S4S3477ACDCDEBCD例2SSS（1）如图（1），则AOB___，BOC____，将上两式两边分别相乘，即可得到BOC____SSSAOCAOBAOCSSS（2）如图（2），则AOB___，BOC____，AOC____.SSSAOCAOBBOCace（3）如图（3），则___bdfAA2AedE22FFEOEf54OO3cB3D5CB4D3CBaDbC图（1）图（2）图（3）353【分析】（1），，522431（2），，322aScSeSace（3）AOB，BOC，AOC，三式相乘，得1。这也叫塞瓦定bSAOCdSAOBfSBOCbdf理。想想练练：如图，ABC中，BDDC:2:3,AEEC:5:3,则AFFB:.【分析】根据燕尾模型有S:SBDDC:2:310:15,ABGACG第9级下优秀A版教师版5\nS:SAEEC:5:310:6,ABGBCG（都有△AGB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以AFFB:SACG:SBCG15:65:2.AEFGBCD【拓展】如图，已知BDDC:2:3,AEEC:5:3,BDG的面积是12.求ABC的面积.S25【分析】BDGBDDC:2:3SBCGSBDG30S32CDGSABG555AECE:5:3SS3050ABGBGCSBGC333S23ABGBDDC:2:3SS75ACGABGS32ACGSABGSACGSBCG503075155AEFGBDC例3在ABC中，BDDC:2:1，AEEC:1:3，则OBOE:____.（学案对应：学案2）AAEEOOBDCBDC【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾模型，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．因为BDDC:2:1，根据燕尾模型，S:SBDBC:2:1，即S2S；AOBAOCAOBAOC又AEEC:1:3，所以S4S．则S2S24S8S，AOCAOEAOBAOCAOEAOE所以OBOE:S:S8:1．AOBAOE6第9级下优秀A版教师版\n第12讲塞瓦定理塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》，塞瓦定理是塞瓦的重大发现。例4如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BDDC:1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．（学案对应：学案3）AAA33EEF3E12FFBBDCBCDDC【分析】法1：连接CF，SBD1SAE△ABF△ABF根据燕尾模型，，1,SDC2SEC△ACF△CBF设S1份，则S2份，S3份，SS3份，如图所标△BDF△DCF△ABF△AEF△EFC55所以SSDCEF△ABC121211法2：连接DE，由题目条件可得到S△ABDS△ABC，331121BFS1△ABDSSS，所以，△ADE△ADC△ABC2233FES1△ADE1111111SSSS，△DEF△DEB△BEC△ABC223232122115而S△CDES△ABC．所以四边形DFEC的面积等于．32312第9级下优秀A版教师版7\n想想练练：如图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.AAAEEEFFFBDCBDCBDC【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，法1：连接CF，因为BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，11所以SS10，SS15．△ABE△ABC△ABD△ABC32SAE1SBD△ABF△ABF根据燕尾模型，，1,SEC2SCD△CBF△ACF1所以SS7.5，S157.57.5，△ABF△ABC△BFD4所以阴影部分面积是30107.512.5．1法2：连接DE，由题目条件可得到SS10，△ABE△ABC3112AFS1SSS10△ABE△BDE△BEC△ABC，所以，223FDS1△BDE111111SSSS2.5，△DEF△DEA△ADC△ABC22323221而SS10．所以阴影部分的面积为12.5．△CDE△ABC32例5如右图，三角形ABC中，AFFB:BDDC:CEAE:3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．（学案对应：学案4）AAEEFGFGHIHIBCBCDD【分析】连接AH、BI、CG．222由于CEAE:3:2，所以AEAC，故SS；ABEABC555根据燕尾模型，S:SCDBD:2:3，S:SCEEA:3:2，所以ACGABGBCGABG8第9级下优秀A版教师版\n第12讲49SACG:SABG:SBCG4:6:9，则SACG，SBCG；19192248那么SS；AGEAGC5519959同样分析可得S，则EGEH:S:S4:9，EGEB:S:S4:19，ACHACGACHACGACB19所以EGGHHB::4:5:10，同样分析可得AGGIID::10:5:4，55215511所以SS，SS．BIEBAEGHIBIE1010551919519想想练练：如图，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．AADDGFFHIBCBCEE【分析】如图，连接AI．根据燕尾模型，S:SBDAD:2:1，S:SCFAF:1:2，BCIACIBCIABI所以，S:S:S1:2:4，ACIBCIABI22那么，SBCISABCSABC．12472同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于721ABC面积的13，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．77【巩固】如右图，三角形ABC中，AFFB:BDDC:CEAE:4:3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．AAEEFHFHIIGGBDCBDC【分析】连接BG，S12份△AGC根据燕尾模型，S:SAFFB:4:312:9，S:SBDDC:4:316:12△AGC△BGC△ABG△AGCS12△AGC得S9(份)，S16(份)，则S9121637(份)，因此,△BGC△ABG△ABCS37△ABCS12S12△ABH△BIC同理连接AI、CH得,,S37S37△ABC△ABCS△GHI371212121所以S△ABC3737第9级下优秀A版教师版9\n1三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74237只移动3根火柴棒，你能使小燕子向相反的方向飞行吗？答案：杯赛提高如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．AADDMMNNBEFCBEFC【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾模型，SABM:SACMBFCF:2:1，而SACM2SADM，所以4S2S4S，那么BM4DM，即BMBD．ABMACMADM5BMBF4214147那么SS，S．BMFBCD四边形CDMFBDBC53215215301111另解：得出SABM2SACM4SADM后，可得SADMSABD，55210117则SSS．四边形CDMFACFADM3103010第9级下优秀A版教师版\n第12讲附加题1.如图，E在AC上，D在BC上，且AEEC:2:3,BDDC:1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC2的面积等于22cm，则三角形ABC的面积．AAA1.6EEEF2FF2.412BBBDCDCDCSBD1SAE2△ABF△ABF【分析】连接CF,根据燕尾模型，，,SDC2SEC3△ACF△CBF2设S1份，则S2份，S2份，S4份，S41.6△BDF△DCF△ABF△AFC△AEF233份,S△EFC42.4份,如图所标,所以SEFDC22.44.4份,S△ABC2349份232所以S224.4945(cm)△ABC2.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?AADD13FEFE233BGCBCG55【分析】设S△DEF1份，则根据燕尾模型其他面积如图所示S阴影S△BCD平方厘米.12123.ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．DCDCFFGGAEBAEB【分析】连接AC、GB，设S1份，根据燕尾模型得S1份，S1份，则△AGC△AGB△BGC第9级下优秀A版教师版11\n22S（111）26份，S314份，所以S126496(cm)正方形ADCGADCG4.如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？AAGGNNMMBDEFCBDEFC【分析】连接CM、CN．根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，S:SBDCD:1:3，所以△ABM△CBM△ABM△ACM1S△ABMS△ABC；5再根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，所以S:SS:S4:3，△ABN△CBN△ABN△FBN△CBN△FBNS142△ANG所以ANNF:4:3，那么，所以S2437△AFC2515S1SSS．FCGN△AFC△ABC△ABC7742815根据题意，有S△ABCS△ABC7.2，可得S△ABC336(平方厘米)528知识点总结燕尾模型：S1S2S3S4l1l2S:Sll:3412SS:S:Sll:123412S1S3:S2S4ll1:2塞瓦定理：12第9级下优秀A版教师版\n第12讲AedFEfOcBaDbCace结论：1bdf家庭作业S1.已知三角形ABC中，BD=10，BC=14，则ABE___SACEAECDBSBD105ABESCD14102【分析】ACE2.如图，ABC中，BDDC:3:4,AEEC:5:4,则AFFB:.BDCEAF34AFAF5【分析】由塞瓦定理1得：1，所以DCAEFB45FBFB3AEFGBDC3.如图所示，在△ABC中，BEEC:3:1，D是AE的中点，那么AFFC:．第9级下优秀A版教师版13\nAAFFDDBECBEC【分析】连接CD．由于S:S1:1，S:S3:4，所以S:S3:4，△ABD△BED△BED△BCD△ABD△BCD根据燕尾模型，AFFC:S:S3:4．△ABD△BCD4.如图，三角形ABC的面积是1，BD2DC，CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?AAE61E2FF84BBDCDC【分析】连接CF，设S1份，则其他几部分面积可以有燕尾模型标出如图所示，所以△AEF1628242S△AEF,S△ABF,S△BDF,SFDCE21217212175.如右图，三角形ABC中，AFFB:BDDC:CEAE:3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．AAEEFHFHIIGGBDCBDC【分析】连接BG，S△AGC6份根据燕尾模型，S△AGC:S△BGCAFFB:3:26:4，S△ABG:S△AGCBDDC:3:29:6S△AGC6得S4(份)，S9(份)，则S19(份)，因此,△BGC△ABG△ABCS△ABC19S△ABH6S△BIC6同理连接AI、CH得,,S19S19△ABC△ABCS196661△GHI所以S1919△ABC三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19DCEAFB1△GHI的面积6.如图，在△ABC中，,求的值．DBECFA3△ABC的面积14第9级下优秀A版教师版\n第12讲AAEEHHFFIGIGBDCBDC【分析】连接BG,设S1份，根据燕尾模型△BGCS:SAFFB:3:1,S:SBDDC:3:1,得S3(份)，S9(份),△AGC△BGC△ABG△AGC△AGC△ABGS3SS3△AGC△ABH△BIC则S△ABC13(份)，因此,同理连接AI、CH得13,,S13SS13△ABC△ABC△ABCS△GHI133334所以S△ABC1313A版学案【学案1】如图，已知ABD的面积是15，若ADDE:3:1.那么BDE的面积是多少？若BEEC:3:4，那么ACD的面积是多少？A15DBCESABDAD3【分析】SBDE15135SBDEDE1SABDBE3S154320ACDSACDCE4【学案2】在ABC中，BDDC:3:2，AEEC:3:1，则OBOE:____.AAEEOOBDCBDC【分析】连接OC．第9级下优秀A版教师版15\n3因为BDDC:3:2，根据燕尾模型，SAOB:SAOCBDBC:3:2，即SAOBSAOC；24334又AEEC:3:1，所以SS．则SSS2S，AOCAOEAOBAOCAOEAOE3223所以OBOE:S:S2:1．AOBAOE【学案3】如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？AA11E9EOO2213.54.5BDCB3D1C【分析】连接CO,设S1份，则其他部分的面积如图所示，所以S1291830份，△AEO△ABC124.5139313.59所以四部分按从小到大各占△ABC面积的,,,30306030103020DCEAFB1△GHI的面积【学案4】如图在△ABC中，,求的值．DBECFA2△ABC的面积AAEEHHFFIGIGBDCBDC【分析】连接BG,设S1份，根据燕尾模型△BGCS:SAFFB:2:1,S:SBDDC:2:1,得S2(份)，△AGC△BGC△ABG△AGC△AGCS2S2S2△AGC△ABH△BICS4(份),则S7(份)，因此,同理连接AI、CH得,,△ABG△ABCS7S7S7△ABC△ABC△ABCS72221所以△GHIS77△ABC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们由对称法作辅助线.16第9级下优秀A版教师版