第13讲第十三讲定义新运算进阶知识站牌五年级春季五年级春季比较与估算分数四则混合运算五年级秋季定义新运算进阶五年级秋季循环小数五年级暑假分数加减学会使用方程来解决定义新运算问题，加强分数运算的练习漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入点头表示同意，摇头表示不同意；行人靠右行，这些都是我们生活中的规则，在数学中，同样也有一些约定的规则，也就是运算符号．比如“＋”“－”“×”“÷”都是我们熟悉的运算符号．但是有的地方会有不一样的规则，比如在英国等地行人是靠左行的，而数学里同样也可能会出现一些特殊的运算符号，比如我们规定☆表示选择两数中较大的一个，如2☆7=7．相对于我们原本熟悉的运算，这便是新运算．今天我们就一起来学习定义新运算．教学目标1、熟练掌握分数类型的定义新运算；2、掌握反解未知数类型的定义新运算；3、掌握找规律类型的定义新运算．经典精讲定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．新定义的运算符号，如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值（本质就是“照猫画虎”去模仿），把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，并计算准确．定义新运算分类：1.直接运算型（照猫画虎）；2.反解未知数型（方程法）；3.观察规律型；4.其它类型综合．下面通过几个实例加以说明．如规定：ababab242424642424210这就是定义新运算中第一种题型直接运算照猫画虎型，规定新运算符号的定义，符号前面数字为a，符号后面数字为b，模仿定义带入式子中算出答案．定义新运算注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．一般情况下规定的新运算对于我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）不成立，但也有成立的，这就要求我们去证明．2第9级下优秀A版教师版\n第13讲知识点回顾1.已知:a※b3a2b，例如，当a6，b5时，6※536258．计算：8※7______．【分析】102.规定:a△ba2ba，求：12△3__________;7△2△____________．【分析】18,143.规定“□”表示选择两数中较大数的运算，如：599．计算:10511___________．【分析】114.已知:125，3211，6422，11740；则86__________．【分析】305.规定23☆234,45☆45678，则7☆4_________．【分析】34例题思路模块1：例1-2，直接运算型例1：定义新运算分数单题拓展例2：直接运算型之分数类型模块2：例3：反解未知数型之分数类型例4：找规律型之分数类型模块3：例5：定义新运算与因倍结合例111设a、b都表示数，规定a△bab．231111⑴求△，△；2332⑵这个运算“△”有交换律吗？⑶求186△△3，18△63△；⑷这个运算“△”有结合律吗？55⑸如果已知△b，求b．33第9级下优秀A版教师版3\n1111111113【分析】⑴△2322334936111111111△；322332663⑵没有；11111113⑶186△△3186△3113△11312323221111118△63△18△63184△1841023233⑷没有；⑸由题意得：1515b23325b5632b1036b5例26xy对于任意的非零整数x与y，定义新运算“△”：xy=,求29.x2y（学案对应：学案1）6xy6292【分析】根据定义xy=于是有295x2y22951想想练练:如果规定ab*5ab，其中ab、是自然数，那么10*6__________．21【分析】考察定义新运算．10651065034724第9级下优秀A版教师版\n第13讲相信很多人都做过这么一道题：如果1=5,2=10,3=15,4=20,5=？第一次接触的人一定会脱口而出：25，这样的话就刚好落到了出题者的圈套中，因为一开始题目告诉了你1=5，那么5=1，你一定为你的上当而感到愤愤不平，这道题到底符不符合逻辑呢，按照规律来说5=25是推出来的答案，但是按照第一个条件来推断，5=1又成立。其实这里的“=”定义很模糊，因为如果是普通意义“=”的话，1和5是不能建立相等的关系的，所以题目本身有问题。如果把这里的“=”改成“≈”，道理就说通了，1≈5,2≈10,3≈15,4≈20,按照这个规律推下去5≈25，这里的≈应理解为只能从左到右才成立，并不像=一样，左=右也可以推出右=左，5≈1是不成立的，所以答案应该是5≈25等大家到了高中进一步学习函数就会理解的更深刻.例31如果a△b表示(a2)b,例如34△(32)44,那么,当a△=3时,a=_________．5（学案对应：学案2）1【分析】依题意,得(a2)3,解得a17．5d想想练练:对于a，b，c，d，规定a，bc，，d2ab，已知123，，，x2，则x_________．c【分析】列方程解x21223x6例411231123411若规定3，4，那么43_______．223477891025（学案对应：学案3）112341【分析】42234551123135567351185353511233345625想想练练:如果3，4．求4322345567858第9级下优秀A版教师版5\n234556761【分析】原式56788910168例5定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公因数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公因数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)已知6⊙x=27,求x的值.（学案对应：学案4）【分析】(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公因数分别为84,3,因此12⊙21=81,同样道理5⊙15=10.(2)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为6与x的最小公倍数不小于27128,不大于27633,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公因数是30273.由“两个数的最小公倍数与最大公因数的积=这两个数的积”,得到3036x.所以x15.如图2，一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式：21222111的路线．BBBAAA图1图2图3答案：如图杯赛提高设a表示不超过a的最大整数，例如：11，0.20．1302303309030求的值是多少？90909090【分析】原式00111222333292929306第9级下优秀A版教师版\n第13讲3129292301335附加题mab1.对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab（m是一个确定的整数）．如2ab果1423，那么34等于________．m14m2363411【分析】根据3423，得到，解出m6．所以，34．21422323412baba132.设a和b都是除0以外的数，若规定ab，ab□，那么1.324□的值是abab25多少？4213【分析】原式1.3△2425131.32.5△252.51.3131.32.525251211313113.“*”表示一种运算符号，它的含义是：xy，已知xyx1yA11221，求19981999．21211A312111【分析】根据题意得,,211A6,A1，所以211A32211A6111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000ab201020102010201020104.定义运算：ab，算式的计算结果是．ab共9颗“”201020102010【分析】2010201020102010220102010201022010201022010320102第9级下优秀A版教师版7\n201020102010320102010320104201032010找到了规律：有n个2010，就得n2010现在有9颗就有10个2010，所以结果是201105.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么1993418的值是___________.【分析】<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11．6.如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.若（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等于21-516的大于5的因数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#x）8与（21#x）16.对于（21#x）8可分别解得，把21作被除数时：x13，把21作除数时为：x29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#x）16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x37，58……所有形如21N+16这样的整数（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．7.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2．(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【分析】⑴1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26x1927=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.8第9级下优秀A版教师版\n第13讲总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.8.规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+A△3）=96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为．【分析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5．对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论．1)当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；2)当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；3)当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11．4)当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；5)当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；6)当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=96，则A=9.此时B=3后者B=4．则他们乘积有27与36两种；7)当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96．此时A+B=12．A与B的乘积有11与20两种；8)当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96．此时有B=9.不符；9)当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12．则A=5,B=9，乘积为45．所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种m29.定义新运算：mn，那么20122011201010.mn4m21123【分析】mn,当n2时，m2．因此只需要算10，因此答案为mn42236知识点总结1.定义新运算分类：①直接运算型（照猫画虎）；②反解未知数型（方程法）；③观察规律型；④其它类型综合．2.定义新运算注意事项：①新的运算不一定符合运算规律（如交换律、结合律、分配律等），特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．家庭作业abc1．对不为0的自然数a，b，c规定新运算“☆”：☆a，b，c则☆1，2，3．abc1【分析】12331☆1，2，3123721第9级下优秀A版教师版9\nab2．对不为0的自然数a，b规定ab△，那么21010△△__________．ab5102105310【分析】21010△△△10△102103571033．对不为0的自然数a，b，ab△等于由a开始的连续b个自然数之和，如：23△234，又如：545678△26．若y△312，则y_________．【分析】列方程解，yy1y212，y3．4．对所有的数ab,，把运算ab※定义为ab※abab，则方程5※x17的解是__________．2【分析】5※x175，x5x=176，x22，x33112333456355．如果※3，※4，那么※4※2．223455678563534565613【分析】※4※256567867146．定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a△b．例如:46=4,6△4,6=212=14.根据上面定义的运算,计算1812△______．【分析】1812△18,121812，636=42A版学案ab【学案1】对不为0的自然数a,b,定义“△”：ab△，2△34△__________．ab34773【分析】2△34△2△22234121214315【学案2】已知：10△314，8△72，△1，根据这几个算式找规律，如果△x1，448那么x=．551【分析】规律是a△b2ab，所以△xx21，即x．8881【学案3】已知:ABAB，C10100100，C_________．31【分析】设C10为x，原式x100100，x100100，x200，31C10200，C10200，C590310第9级下优秀A版教师版\n第13讲【学案4】A表示自然数A的因数的个数.例如4有1,2,4三个因数,可以表示成4=3．计算:([18][22])[7]=．2【分析】因为1823有11216个因数,所以186,同样可知224，72．原式6425．第9级下优秀A版教师版11