第2讲第二讲循环小数知识站牌五年级春季五年级秋季分数四则混合运算定义新运算进阶五年级秋季循环小数五年级暑假比和比例五年级暑假分数加减循环小数化分数的法则；错位相减法；分数与循环小数的互化漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入在前面的章节中，同学们已经对分数和小数的计数有了一定的认识，也学习了分数和小数的加减乘除运算.在计算的过程中，相信大家一定碰到除不尽的情况，比如计算1÷9，结果如果用小数表示，我们会发现商在0和小数点之后一直出现1，怎么也计算不完；再比如在计算1÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停地出现142857，像这样，从某一位数起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数.今天我们就一起来学习循环小数.教学目标1、分数转化成循环小数的判断方法；2、熟练掌握循环小数化分数的法则；3、掌握循环小数的四则运算.经典精讲一、分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数.②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数.二、循环小数化分数推导以下算式•1••124••12341••1234⑴0.1；0.12；0.123；0.1234；999339993339999•12111•1231237•12341231111⑵0.12；0.123；0.1234；909090030090009000••123412611••12341137⑶0.1234；0.12349900495099901110••••123412611以0.1234为例，推导0.1234．99004950••••设0.1234A，将等式两边都乘以100，得：100A12.34；••再将原等式两边都乘以100，得：10000A1234.34，123412611两式相减得：10000A100A123412，所以A．990049502第9级下超常体系教师版\n第2讲循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与分子循环节中的数字所组成的数不循环部分数字所组成的数的差n个9，其中n等于循环节所按循环位数添9，不循环位数添0，组成分分母含的数字个数母，其中9在0的左侧•a••ab••ab1ab••abca0.a；0.ab；0.0ab；0.abc9999910990990知识点回顾748574851.计算：9913139913131113【分析】，1，，9313335733572.计算：51061251061291731【分析】，，，101210424473.计算：3539828【分析】，，152724474.计算：3539512【分析】，67例题思路模块1：例1-2，分数与循环小数互化例1：分数化小数例2：循环小数化分数模块2：例3：循环小数四则混合运算模块3：例4-8循环小数的相关问题第9级下超常体系教师版3\n例4：循环小数化分数后的约分问题例5：循环小数的误看问题例6：循环小数的周期问题例7：循环小数的构造问题例8：循环小数的计数问题例1（1）将下列分数化成有限小数3211_______________42416691_______________15251252753147_______________901001000观察分母，有什么特点（提示：从分母的质因数去考虑）（2）将下列分数化成循环小数1102_______________34511143_______________63070观察分母，有什么特点（提示：从分母的质因数去考虑）总结：当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有_________或_________,分数可化为有限小数；当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有____________________,分数可化为纯循环小数；当分数为最简分数时，分母的质因数中既有_________，又有_________,分数可化为混循环小数.(学案对应：超常1，带号1)【分析】（1）0.750.8750.06250.40.360.0080.30.530.147当分数化成最简分数后，分母的质因数只有2或50.20.180.160.130.0428571（2）0.3当分数化成最简分数后，分母的质因数中有除2和5外的其他质因数.总结：2,5；除去2和5的其它质数；2或5，其它质因数.例2（1）将下列纯循环小数化分数••••••••0.10.240.4074.38610.9（2）将下列混循环小数化分数••••••••0.510.4090.29542.76120.09181139【分析】（1）41933271014第9级下超常体系教师版\n第2讲239131691（2）245224422210例3（1）计算•••••••••••0.430.520.10.230.210.347•••••••0.10.80.80.20.20.01（2）计算•••••4.32.41.240.3（3）计算••••11••••0.150.2180.32.2340.9811111(学案对应：超常2，带号2)【分析】（1）循环小数做加减法时，可以列竖式找规律0.950.340.55946810.60.21（2）循环小数做乘除法时，将循环小数化成分数计算••141322286••4.32.44210.592393927•••8141••1.240.313.72333111512182311（3）原式90990911137111112345679••0.01234567999311181999999999(用到了我们熟知的123456799111111111)••2342232••98••••23298242222.23422，0.98，所以2.2340.98211，990990999909999090••••2212•••••2.2340.98111110.090.020.113901190第9级下超常体系教师版5\n神奇的142857“142857”，又名走马灯数。它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数越加越大，每一星期一轮回，你不需要计算机，只要知道变化规律，就可以知道继续累加的答案：142857×1=142857（原数）142857×2=285714（轮值）142857×3=428571（轮值）142857×4=571428（轮值）142857×5=714285（轮值）142857×6=857142（轮值）142857×7=999999（放假由9代班）神奇之处：1、横竖都有142857没有0369,有点像“独数”不过是没有0369的独数。2、乘以7我们得到999999,9+9+9+9+9+9=54（5+4=9）3、142+857=999,14+28+57=99,1+4+2+8+5+7=27（2+7=9）神奇吧？它还有更神奇的地方等待你去发掘！如果你还发现了其它的神秘，请与大家分享！例4••一个循环小数0.ABC，化成最简分数后，分子和分母的和为35，求这个最简分数是多少？n••ABCn【分析】设这个最简分数为，根据题意有0.ABC，且mn35（mn），所以mm999m8为999的因数，且35m17，可得m=27，所以n=8.这个最简分数为.27例5••某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果应该是多少？•••0.330【分析】1.231.230.003,即0.003a0.3a90,因此，正确结果为：••0.0030.31.2390+0.31116第9级下超常体系教师版\n第2讲例61••2••3••4••5••6••已知：0.142857，0.285714，0.428571，0.571428，0.714285，0.857142777777你可以通过下图来顺时针记忆这些数.通过上面的阅读，请回答下面的题：1（1）将化成小数后，小数点后第100位上的数字是________.71（2）将化成小数后，小数点后前100位的数字和是________.7a（3）真分数化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续182个数字之和为820，那么a_____.7a（4）真分数化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续若干个数字之和为2013，那么a_____.7(学案对应：超常3，带号3，带号4)1【分析】（1）化成小数后，循环节为142857，重复出现，可以将其看成是周期问题，一共1007个数字，每6个数字为一个周期，1006=164，经过16个周期后，最后剩下4个数，1,4,2,8，所以最后一位是8（2）由上题意可知，100位数，包含了16个周期，最后剩下4个数，所以这100个数字之和为2716+1+4+2+8=447.（3）因为这个分数分母为7，所以化成小数后，循环节是6位，循环节上的6个数字必然包含了:1,4,2,8,5,7,所以6个数为一个周期，1826=302，一共有30个周期，一个周期的和为27，所以数字和为：2730=810，剩下两个数字的和为10，这两个数是2和8，2那么它的周期是从2开始的，原分数是，a27a（4）循环节的特殊性：分母为7的最简分数，循环节都是1,4,2,8,5,7这6个数的不同排7列.每个循环节6个数的数字和为27.2013277415，于是，循环节的前若干位数字和1••2••为15.那么有0.142857,142815;0.285714,28515.所以a=1或2.77例7•我们把只由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07、77.007都是“特殊数”.如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？(学案对应：超常4)第9级下超常体系教师版7\n【分析】假设这个等式两边一边是1，另外一边是全由0和7组成的数，那么等式两边同时除以71就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这7道题目就变成用全由0和1组成的数，相加得到0.142857，显然需要至少八个这样的数，例如•••••••••••••••••0.1428570.10.0111110.0101110.0101110.0001110.0001010.0001010.000100例81（1）一个分数是一个循环小数，循环节有1位，求所有的满足要求的n有几个？n1（2）一个分数是一个循环小数，循环节有2位，求所有的满足要求的n有几个？n1（3）一个分数是一个循环小数，循环节有3位，求所有的满足要求的n有几个？n1（4）一个分数是一个循环小数，循环节有6位，求所有的满足要求的n有几个？n【分析】(1)因为循环节就一位，所以n为9的因数，9的因数有1（舍）,3,9，所以n有2种;(2)因为循环节必须是两位，所以n为99的因数，但是不能是9的因数，99的因数有6个，所以n有3个，分别是11,33,99;(3)因为循环节必须是三位，所以n为999的因数，但是不能是9的因数，999的因数有8个，所以n有5个，分别是27,37,111,333,999;(4)因为循环节必须是六位，所以n为999999的因数，但是不能是99的因数，也不能是999的因数，999999的因数有64个，999的因数有8个，99的因数有6个，9的因数有3个，根据容斥原理，符合要求的n有6486353个.用0到6这7个数字和5个点（可以作为小数点或表示循环小数的点）组成几个数，让它们的和等于9.（答案不唯一）答案：可以组成0.5、2.1和6.34.（答案不唯一）知识点总结1.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数8第9级下超常体系教师版\n第2讲循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与分子循环节中的数字所组成的数不循环部分数字所组成的数的差n个9，其中n等于循环节所按循环位数添9，不循环位数添0，组成分分母含的数字个数母，其中9在0的左侧•a••ab••ab1ab••abca0.a；0.ab；0.0ab；0.abc99999109909902.循环小数加减法可以用竖式找规律3.循环小数乘除法要先化成分数再计算家庭作业11．(1)如果a是小于20的质数，且可以化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？a1(2)如果a是小于20的合数，且可以化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？a1【分析】(1)小于20的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，且可以化为一个循环小数：筛选去a掉2，5，那么a的取值有3，7，11，13，17，191(2)小于20的合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，且可以化为一个循环小a数：筛选去掉4，8，10，16，那么a的取值有6，9，12，14，15，18.2.将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第100位的数字：241625123471327742••4••16••25••【分析】10.28571420.307692，3=0.59240.3378按照周期的知识可以得7132774出他们各自小数点后第100位的数字分别是7,6,5和8.3.计算：0.910.820.730.640.10.20.30.40.50.6【分析】0.910.820.730.640.10.20.30.40.50.60.80.60.40.20.10.20.30.40.10.20.30.40.50.62100.1210.12110.1290.120.1120.10.7•••4.请将算式0.10.010.001的结果写成最简分数．11110010111137【分析】原式.9909009009003005.0.30.030.0032009（）第9级下超常体系教师版9\n.1【分析】0.30.030.0030.3，所以括号中填2009360273••6.纯循环小数0.ABC写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数.••ABCABC【分析】0.ABC化简后的分母一定是现在的分母的因数而且小于58大于29，所以39993372121567••只可能是37，所以化简后的分数应该是，所以这个循环小数是0.567.37379997.给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数.已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数.【分析】第100位数字是5，则第101位数字是3.去掉前10位，后面第11位到第101位这91个数构成了若干完整的循环节.91713，循环节的位数不大于10，于是循环节为7位.应在“2”和“3”上加圆点.a8.真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1000，那么a7是多少？a【分析】循环节的特殊性：分母为7的最简分数，循环节都是1,4,2,8,5,7这6个数的不同排列.每7个循环节6个数的数字和为27.100027371，于是，循环节的前若干位数字和为1.那1么仅有0.142857.7超常班学案【超常班学案1】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，在组成的所有分数中，能够化成循环小数有多少个？【分析】当分母是3,6,7,9时，这个分数是循环小数，当分母为3时，分子可以是1,2,4,5,7,8，共有6个；当分母为6时，分子可以是1,2,4,5,7,8，共有6个；当分母为9时，分子可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共有8个；当分母为7时，分子可以是1,2,3,4,5,6,8,9，共有8个；所以一共有28个.【超常班学案2】•••19（1）1.21.24．27••••（2）0.670.2740.12________．22419111231920【分析】（1）原式11．9992799927910第9级下超常体系教师版\n第2讲23111412111901119（2）原式=743119031190339027【超常班学案3】••••将循环小数0.081与0.200836相乘，小数点后第2008位是.••3••200836320083616284••【分析】0.081，0.200836，所以乘积为0.016284，3799999937999999999999200863344，所以第2008位是2.【超常班学案4】将小数0.987654321改为循环小数.如果小数点后的第2013位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在数字___________和___________的上面.【分析】法1：因为是循环小数，所以有一个循环点必然在1的上面，另一个循环点必须出现在5或者是5左面的数字上面，下面根据循环点的位置开始分类讨论：若0.987654321，20139=2236，那么小数点后第2013位上的数字为4（舍）；若0.987654321，201318=2514，那么小数点后第2013位上的数字为5；经试验，循环点在7,6,5的上面时，末位的数字都不是5，所以有唯一解，两个循环点分别在1和8的上面.法2：因为是循环小数，所以有一个循环点必然在1的上面，那么这个循环节的末位是1，若小数点后的2013位上的数字是5，不管循环节是多少数位，1必然在第2017位上.现在，将小数点后的这2017位数，去掉最前面的123456789这9位，剩下2008个数位，刚好包含了整数个循环节，那么循环节的位数，一定是2008的因数，同时也必须不小于5，不大于9，那么2008的因数中符合题意的只有一个8，所以它的循环节是8位，小数点在8的上面.123班学案【超常123班学案1】111111，，，，当中有多少个纯循环小数，多少个混循环小数.234599100【分析】分母仅有2，5以外的因数才产生纯循环小数，计算分母中含有2，5的分数数量：含2，因数----1002=50个含5，因数----1005=20个同时含2，5，因数-----10010=10个实际数量：50+20-10=60个纯循环小数的数量：99-60=39个.接下来为了计算混循环小数的数量只要算出有限小数的个数就可以了，分母仅有2，5因数111111才产生有限小数，那么可以寻找一下，只含有2的有，，，，，共6个，含有一个524816326411111111的有，，，，共5个，含有两个5的有，，共3个，一共14个，那么循环5102040802550100小数一共有99-14=85个，纯循环小数有39个，那么混循环小数一共有85-39=46个.第9级下超常体系教师版11\n【超常123班学案2】计算下列各题：11（1）0.6（2）0.180.610.18110.180.60.61212121【分析】（1）0.613213213260.613213233130.60.63232323988117205344132132132••1212122221252211492（20.18）••111211121111125111251251113750.18••1121120.1811【超常123班学案3】20021和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.200928720021【分析】如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计200928720021算我们发现1，而10.9，则第100位上的数字和为9.2009287【超常123班学案4】a已知真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求a的值.13【分析】由于1÷13=0.076923076923......，是以076923为循环节的无限循环小数，每个循环节之和：a0+7+6+9+2+3=27，且a=1～12，都是无限循环小数，它们的每个循环节之和都是27.131由199927=74，即74个循环节之和是74×27=1998，再设法找到一个含有以1为首的2712循环节的小数即可，可知的循环节是076923，则的循环节就是0769232153846，1313刚好以1为首.所以a=2即为所求.12第9级下超常体系教师版