第3讲第三讲鸟头模型知识站牌五年级秋季五年级秋季燕尾模型蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型五年级暑假比例模型四年级春季一半模型简单鸟头模型漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入大家都知道下围棋有“定式”，“定式”都是高手们长期实践的经验结果，一个围棋高手能够灵活运用各种定式，只需寥寥几子就知道对方的路数，就能推测以后的各种演化。一个数学解题的高手也可以灵活运用数学中的各种思维模式，从而快速解题。在数学中，将一类不断重复出现的、类似的问题以及该类问题的解决方法总结出来，并抽象成一定的描述及规范，即模型，这样在遇到此类问题时无需再作过多的考虑，直接使用总结好的方法。迅速解决问题，这种方法相当于数学中的“定式”。今天我们将学习的鸟头模型就是小学直线型几何面积计算中提炼出来的一个行之有效的“定式”。教学目标1、能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法2、能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题3、能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题经典精讲鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点如图(1)，或D在BA的延长线上，E在AC上如图(2），或D在BA的延长线上，E在CA延长线上如图（3），或两个角相加为180如图（4），则ABACS:S(ABAC):(ADAE)△ABC△ADEADAEDDAEADEADEEABCBCBCBC图⑴图⑵图⑶图⑷2第9级下超常体系教师版\n第3讲知识点回顾1.（1）等底等高的两个三角形面积。（2）两个三角形高相等，面积比等于之比。（3）两个三角形底相等，面积比等于之比。【分析】（1）相等（2）底（3）高222.（1）如图1，D为BC的中点，S12cm，则S：S__:__，S____cm△ABCABDACDABD22（2）如图2，BC=4BD，S△ABC12cm，则SABD：SACD__:__，SABD____cm图1图2【分析】（1）1:1，6（2）1:3,3223.如图，已知在三角形ABC中，BD：CD=2：3，且S20cm，则S____cm，△ABCABDS：S__:__，S__SABDACDACDABC3【分析】8，2：3，5例题思路例1:鸟头的证明例2:特殊鸟头例3:模型拆分(三角形)例4:模型拆分(三角形)例5:模型拆分(四边形)例6:相似证明第9级下超常体系教师版3\n例7:相似应用例8:相似应用.例1（1）如图,在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点，试说明S:S(ADAE):(ABAC).△ADE△ABC已知ADAB:3:7,AEAC:4:7,且S△ADE6平方厘米，求△ABC的面积。AADDEEBCBC（2）如图，DE,分别是BA,CA延长线上的点，试说明：S:S(ADAE):(ABAC)△ADE△ABCEEDDAAD'E'BCBC（3）如图,在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，你能否说明S:S(ADAE):(ABAC).已知ABAD:5:2，AEEC:3:2,S12平方厘米，求△ADE△ABC△ADE△ABC的面积.DDAAEEBCBC（4）如图，S△ADE与S△ABC的比和AD、AE、AB、AC之间有什么样的关系？试着证明你的结论.DEABC【分析】（1）连接BE,S:SADAB:,S:SAEAC:，两个等式相乘得：△ADE△ABE△ABE△ABCS:S(ADAE):(ABAC)△ADE△ABCS:S(43):(77)12:49，所以S:S12:49,△ABE△ABC△ADE△ABC设S△ADE12份，则S△ABC49份,S△ADE6平方厘米,所以1份是0.5平方厘米，49份就是4第9级下超常体系教师版\n第3讲24.5平方厘米，△ABC的面积是24.5平方厘米．(2)将三角形ADE旋转180度，得到三角形AD’E’,然后证明同上。(3)连接BE,S:SADAB:,S:SAEAC:,两个等式相乘得：△ADE△ABE△ABE△ABCS:S(ADAE):(ABAC)△ADE△ABC所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25,设S△ADE6份，则S△ABC25份,S△ADE12平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．（4）S△ADE:S△ABC(ADAE):(ABAC)，将三角形ADE顺时针旋转90度，得到鸟头模型的第2个图形，然后证明同(3)小题例2园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.(学案对应:超常1)HIGFABC【分析】图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典精讲中的第4类鸟头。以右图为例，S△ABC:S△HAG(ABAC):(AHAG)1:1。因此，图中每一个红色三角形和对应的青色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。例3已知△DEF的面积为7平方厘米，BECEAD,2BDCF,3AF，求△ABC的面积．AFDBEC(学案对应:带号1)【分析】S:S(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，△BDE△ABCS:S(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8△CEF△ABCS:S(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6△ADF△ABC设S24份，则S4份，S4份，S9份，S244497份，△ABC△BDE△ADF△CEF△DEF恰好是7平方厘米，所以S24平方厘米△ABC第9级下超常体系教师版5\n几何中的思维方法在几何中有两种思维方法：一种分析法，从结论出发，考虑满足结论成立所必须具备的条件，逐步追溯到题目所给的已知条件，从而打通条件与结论之间的联系。另一种方法叫综合法，其思维方向与分析方法相反，是由条件推倒出新的结论，然后把新的结论当作已知条件进行推导，逐步推导出题目中的结论。例4如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积．FACEBD(学案对应:超常2)【分析】用共角定理∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，S△ABCACBC111∴．SFCCE428△FCE又S1，所以S8．△ABC△FCE同理可得S△ADF6，S△BDE3．所以S△DEFS△ABCS△FCES△ADFS△BDE186318．例5如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HHABEABEGCGCDDFF(学案对应:超常3,带号2)【分析】连接AC、BD．根据共角定理6第9级下超常体系教师版\n第3讲∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，SABBC111△ABC∴．SBEBF133△FBE又S1，所以S3．△ABC△FBE同理可得S8，S15，S8．△GCF△DHG△AEH所以SSSSSS8815+3+236.EFGH△AEH△CFG△DHG△BEFABCDS21ABCD所以.S3618EFGH【巩固】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．HHCGCGDDABABFFEE【分析】连接BD．由共角定理得S:S(CDCB):(CGCF)1:2，即S2S△BCD△CGF△CGF△CDB同理S:S1:2，即S2S△ABD△AHE△AHE△ABD所以SS2(SS)2S△AHE△CGF△CBD△ADB四边形ABCD连接AC，同理可以得到SS2S△DHG△BEF四边形ABCDSSSSSS5S四边形EFGH△AHE△CGF△HDG△BEF四边形ABCD四边形ABCD所以S66513.2平方米.四边形ABCD【拓展】平行四边形ABCD，BEaAB，CFbCB，DGcDC，AHdAD，求四边形EFGH的面积与平行四边形ABCD面积间的关系．HABEGCDF【分析】采用例题的方法，可得四边形EFGH的面积.最后得到公式1SS[1(abbccddaabcd)]新原2例62AEBEABaSABEa(1)如图(1),已知:AB∥CD,求证:,2EDECCDbSbCDE第9级下超常体系教师版7\n2ABACBCaSABCa(2)如图(2),已知:BC∥DE,求证:.2ADAEDEbSADEb(3)如图(3)，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的长度是多少？(4)如图(4)，DE∥BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．aABAEaBCCDbbDE图(1)图(2)ADCDEFAEBBC图(3)图(4)(学案对应:带号3)【分析】(1)这是相似三角形中的沙漏模型.SSxABEBDE证明:如图(5),设BE=x,CE=y.由比例模型可知,进而可得SSyACECDE1ahSABDSABESBDEmxnxxSABD2axa.换一个角度,.即.SACDSACESCDEmynyySACD1bhbyb2AEa同理可得:.EDb2AEBEABaSABEa综上,可得.再由鸟头模型可得:2EDECCDbSbCDE(2)这是相似三角形中的金字塔模型.证明:将三角形ABC绕A点旋转180度,如图(6).即成沙漏模型.结论均得证.(3)图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以4BFFC:BECD:4:161:4，所以FC108．14(4)由金字塔模型得ADAB:AEAC:DEBC:2:5，所以AC425108第9级下超常体系教师版\n第3讲aCBaABAxEyCbbDDE图(5)图(6)【巩固】如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，ADDFFB，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB．ADEFGBC22【分析】设S△ADE1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFGAD:AF1:4，22S△ADE:S△ABCAD:AB1:9，因此S△AFG4份，S△ABC9份，进而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5【巩固】如图，已知DE平行BC，BOEO:3:2，那么ADAB:________．ADEOBC【分析】由沙漏模型得BOEO:BCDE:3:2，再由金字塔模型得ADAB:DEBC:2:3．11【拓展】如图，ABC中，AEAB，ADAC，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米．那44么AED的面积是平方厘米．AEDOBC第9级下超常体系教师版9\n11【分析】因为AEAB，ADAC，ED与BC平行，44根据相似模型可知EDBC:1:4，EOOC:1:4，SCOD4SEOD4平方厘米，则S415平方厘米，CDE15又因为SAED:SCDEADDC:1:3，所以SAED5(平方厘米)．33例7如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DGDE:1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．ADMEBGHFC(学案对应:超常4)DEAD【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，BCABDGBDDEDGADBD2xx，所以有1，设DGx，则DE2x，所以有1，AHABBCAHABAB12824484824解得x，2x，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米．7777【巩固】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？GGAEFBAEFBNDCDMC【分析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EFDC:4:121:3，所以GNGM:1:3，又因为MNGMGN12，所以GM18cm，12所以三角形GDC的面积为1218108cm．210第9级下超常体系教师版\n第3讲例8如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DEEC，FB2AF，求PMMNNQ::．AFBAFBMMPPGNQNQDECDEC(学案对应:带号4)【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DEEC，FB2AF，所以AFDE:2:3，BFCE:4:3．根据相似性，PMMG:AMME:AFDE:2:3，GNNQ:ENNB:ECBF:3:4，2333644于是PMPG，MNPGGQPG，NQGQPG，55735772364所以PMMNNQ::::7:18:10．5357有一块如图的蛋糕，DE分别是AB的三等分点，小明按图切成3块，求空白部分是阴影部分的几倍？答：2倍，将两个一模一样的蛋糕拼成如图所示，可以看出空白部分是阴影部分面积的2倍。第9级下超常体系教师版11\n知识点总结鸟头模型:DDAEADEADEEABCBCBCBCABAC结论:S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)ADAE家庭作业1.如图，三角形ABC中，ADDB:2:3，AEEC:3:2，如果三角形ADE的面积等于12，那么三角形ABC的面积是多少？ADEBC【分析】直接用共角定理：S:S(23):(55)6:25，△ADE△ABC设S6份，则S25份,S6平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50△ADE△ABC△ADE平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．2.如图,以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知AB3厘米，AC4厘米，求六边形DEFGHI的面积.12第9级下超常体系教师版\n第3讲HGAIFBCDE【分析】因为BACHAG180,所以S:S(ABAC):(AHAG)1:1,S3426(平方厘米)，所以图中四个△ABC△HAG△ABC三角形的面积和是6424（平方厘米），再根据勾股定理有两个小正方形的面积和等于22大正方形的面积，所以三个正方形的面积和是2(34)50平方厘米，因此六边形的面积是502474（平方厘米）3.如图,在△ABC中，DEF,,分别是ABACBC,,边上的点，且BDAD:5:2,BFFC:3:5,CEAE:2:3，△DEF的面积为43.5平方厘米，则△ABC的面积是平方厘米.ADEBCF【分析】根据鸟头定理分别求△BDF,△CEF,△ADF的面积与△ABC的面积的关系，S:S(53):(78)15:5675:280,S:S(25):(58)1:470:280,△BDF△ABC△CEF△ABCS:S(23):(75)6:3548:280,设S280份，则△ADE△ABC△ABCS28075704887份，恰是43.5平方厘米，所以△ABC的面积是140平方厘米△DEF4.如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX，CY上，且YZ2ZCZX,3XA,.XY4YB,三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.AXZYBC111SAXBX3455ABX【分析】根据鸟头模型，，S2410；ABXSXYXZ111212XYZ111SBYYC4233BYZ，S249；BYZSXYYZ1188XYZ第9级下超常体系教师版13\n111SACZCZAZ2322，S2416。ACZSXYZYZXZ1133S109162459ABC5.把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少？HEDCABGF【分析】多次运用共角定理进行求解。连接AC，BD。由共角定理SABAD111ABDSAEAH236AEHSAEHSCFG6SABCDSBCDBCCD111SCFGCFCG236同理可得，SS6S，BEFDGHABCD2SEFGH(661)SABCD13565cm6.如图,MN∥BC，S△MPN:S△BCP4:9，AM4cm，求BM的长度.AMNPBC【分析】在沙漏模型中，因为S:S4:9，所以MNBC:2:3，在金字塔模型中有：△MPN△BCPAMAB:MNBC:2:3，因为AM4cm，AB4236cm，所以BM642cm7.梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．DCDCGFFEEABAB【分析】延长BF、CD相交于G．11由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CGAB2CD，GDGCAB，再根22据相似三角形性质，AFFD:ABDG:2:1，GFGB:1:3，而14第9级下超常体系教师版\n第3讲S:SABCD:2:1，ABDBCD11所以SBCDSABCD124，SGBC2SBCD8．33SGDF11111118又，SEBCSGBC，所以SCDFE1SGBCSGBC．SGBC236226338.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．ADEGHADFBCEGHFBCM【分析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．1由题意可得到：EGGC:EBCD:1:2，所以可得：SEBGSBCE3将AB、DF延长交于M点，可得：BMDC:MFFD:BFFC:1:1，12而EHHC:EMCD:(ABAB):CD3:2，得CHCE，251121而CFBC，所以SSSCHFBCEBCE2255111SBCEABBC120302241177SSSSS3014．四边形BGHFEBCEBCEBCEBC351515超常班学案【超常班学案1】如图,以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知△ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？HGIFABCDE第9级下超常体系教师版15\n【分析】因为BACHAG180,所以S:S(ABAC):(AHAG)1:1,所以△ABC△HAGS10(平方厘米)，同理另外两个三角形的面积也是10平方厘米，所以另外三个三角△HAG形的面积和是30平方厘米【超常班学案2】已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDaAB；延长BC至E，使CEbBC；延长CA至F，使AFcAC，求三角形DEF的面积．FACEBD【分析】根据共角定理SSc(1a),△ADF△ABC同理SSa(1b),SSb(1c),△BDE△ABC△CEF△ABC所以S(abbccaabc1)Sabbccaabc1．△DEF△ABC【超常班学案3】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FFBABAEECGCGDDHH【分析】连接AC、BD．由于BE2AB，BF2BC，于是S4S，同理S4S．BEFABCHDGADC于是SS4S4S4S．BEFHDGABCADCABCD再由于AE3AB，AH3AD，于是S9S，同理S9S．AEHABDCFGCBD于是SS9S9S9S．AEHCFGABDCBDABCD那么SSSSSS4S9SS12S60．EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCD【超常班学案4】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？APNBCHDGPNAP【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，BCABPHBPPNPHAPBPxx，设正方形的边长为x毫米，1，即1，解得ADABBCADABAB12080x48，即正方形的边长为48毫米．16第9级下超常体系教师版\n第3讲123班学案1【超常123班学案1】如图，在△ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使CEBC，2F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？AFBCED【分析】利用共角定理∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，SACBC224△ABC∴．SFCCE111△FCE又S2，所以S0.5．ABCFCE同理可得S2，S3．△ADF△BDE所以SSSSS20.5323.5△DEF△ABC△CEF△DEB△ADF【超常班123学案2】如图，四边形EFGH中，EAaAB，HDbDA，CGaDC，BFbCB，求四边形ABCD的面积与四边形EFGH面积间的关系．HCGDABFE【分析】由共角定理得S△AHES△CGFa(1bS)四边形ABCD,S△HDGS△BEFb(1aS)四边形ABCD，所以Sa(1b)b(1a)1S(2abab1)S四边形EFGH四边形ABCD四边形ABCD【超常班123学案3】如图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长．DAGFECBDGAG【分析】因为DA∥BE，根据相似三角形性质知，GBGE第9级下超常体系教师版17\nDGFG又因为DF∥AB，，GBGAAGFG22所以，即AGGEFG25922515，所以AG15．GEGA【超常123班学案4】在下图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知其中两块的面积222分别是2cm、11cm，且E是BC的中点，O是AE的中点；那么长方形ABCD的面积是cm．ADG2OFAD11GBCOE211FBCEH【分析】如图，延长AE、DC交于点H．由于E是BC中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，22由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有SAOF:SGOH1:31:9．所以，S2918，那么S18117．所以，S4S4S4728．GOHCEHABCDABECEH18第9级下超常体系教师版