第9讲第九讲工程问题知识站牌六年级暑假五年级寒假浓度问题比例应用题五年级秋季工程问题五年级秋季分数应用题五年级暑假列方程组解应用题简单工程；多人合作；变速工程；交替施工；水管问题；工程经济．漫画释义1第9级下超常体系教师版\n课堂引入小明买了根超长的面条，不知几百米．小华和小明一起吃需要吃4天吃完，小华和小伟一起吃需要吃6天吃完，小伟和小明一起吃需要吃12天．小华、小伟和小明一起吃需要几天呢？这个问题困扰了他们三个好几天，小明想了九天九夜，打了九摞草稿，发现三个条件合起来不就是每人算两次么？然后兴冲冲的列下算式：(4612)211（天）．小朋友们，你们同意小明的算法吗？假如我们知道面条有600米长呢？换成60米长呢？学完本讲后再来看看这道题吧！教学目标1、熟练掌握“工作效率工作时间=工作总量”和基本工程问题解法；2、灵活运用量化总量法、单位“1”法、方程法和列表法等几种常见方法解决多人合作问题；3、学会简单的变速工程问题和交替工程问题．经典精讲一、基本概念工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量．工作效率就是单位时间内完成的工作总量，类似于行程问题中的速度，它是衡量一个人工作快慢的量，简称工效．工作时间就是完成工作总量所需的时间．工作总量工作效率工作时间．工程问题的本质就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系．二、常用方法和技巧工程问题综合性极强，在工程问题背景下，解题方法几乎囊括了鸡兔同笼问题、牛吃草问题、行程问题、和差倍分问题等问题的基本解法，而且与经济问题结合起来以后，能够形成更为复杂的模型，需要用到更复杂的解法．所以同学们在拿到工程问题时一定要擦亮眼睛，认真分析，仔细审题，才能使用正确的方法．关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧：⒈常规方法⑴量化总量法（整数思想方法，适用于还未从整数思想完全过渡到分数思想的学生）在某一项工程中，甲需要A天完成，乙需要B天完成，而总工作量没有明确指出，而且如果设工程总量为1的话会导致工作效率是一个分数，这样会使计算显得很复杂，这个时候可以假设总工作量为W，其中W[,]AB，这样甲、乙两人每天完成的工作量就可以用整数表示，而不需要用繁琐的分数，从而达到简化计算的目的；⑵单位“1”法（整数到分数的过渡，已知数到未知数的过渡）当具体的工程总量未知的时候，不妨设工程总量为单位“1”，进而通过题目给出的各个工程参与者独立完成该工程的工作时间或工作效率来确定他们的工作效率或者工作时间，需要注意此时的工2第9级下超常体系教师版\n第9讲作效率用分数来表示，前后的单位“1”必须一致；⑶方程法（从未知数到代数的过渡）通过设未知数，根据题意找准工作总量、工作效率和工作时间，利用三者之间的关系，列出方程式求解．方程法不仅仅适用于大多数工程问题，也适用于大多数应用题．⒉特殊题型及相应技巧⑴基本工程问题一个人干活的问题自然无需多算，基本工程问题考虑至少两个人以上的合作问题，包括简单的多人合作问题（已知独做求合作）、休息问题和工程问题中的归一问题（如已知a人b天干的活，求c人d天干的活）；在工程问题里，两人合干要求两人同时开始，同时结束，否则就不叫合作．于是有：工效1工作时间+工效2工作时间=（工效1+工效2）工作时间；也就是合作工效工作时间=合作总量；工作时间也是作为公因数提取出来的，各自在合作中的工作时间也就是合作的时间，所以工作总量和工作效率都可以直接相加求和（或相减求差），但工作时间往往不能．因而，当题目已知独做．．．．．．．．．．．．．．．．．（合作）时间时，往往需要转化为独做（合作）工效或工作总量来计算（而且利用单位“1”法，由工作时间求倒数即得工效）．在三个人以上的合作问题里，上述结论也是同样适用的；⑵多人合作问题（已知合作求独做）——等量代换（包括和差倍分法、比例法和假设法）这类题目包含两种类型的等量关系：一种已知工效或时间之间的和差倍分关系，另一种靠工作总量建立等量关系，前者按照和差倍分问题解决即可，后者依靠总量关系先列出等式，化简后往往获得比例关系，这时设出一个最小的“1份”数来表示其他未知量，和已知数建立起关系来就可以解决问题了．能熟练运用比例法的同学思维相对比较敏捷；在多人合作问题中，如果出现在工作效率和工作时间同时改变而工作总量不变的情况，这种情形非常类似以前学过的鸡兔同笼问题和盈亏问题，这时可以假设相同工作时间，利用多做的部分建立等量关系来解决问题；有些问题不光要求完成工程，更要核算支付的金钱，所以产生了工程经济问题．因为题目一般要求用钱最少，所以可以最后比较金钱．在此之前，可以根据题目中的工程要求（一般是施工时间，采用和差倍分法），先筛选符合条件的工程队；⑶多人合作问题（已知部分合作求全体合作）——列表法（整体思想）列表法不仅在逻辑推理中有用，在很多其他类型的数学题中都很有用，工程问题就是其中之一．当遇到多人共同完成某项工程，且他们在工程完成的过程中有时休息有时工作，从而导致每天完成的工程量都各不相同，或者已知多人中不同的几个人完成工作的情况不同时，用其他方法来解题有一定的难度．而如果采用列表法，把各个工程参与者实际工作情况通过表格的形式反映出来，不仅使条件清晰，而且能通过观察表格发现他们之间的关系，这种关系在很多时候表现为和倍关系，可以利用将问题中的几个队伍工效合在一起的整体思想或者通过多元一次方程的消元思想解决题目的问题；⑷助人为乐问题——合并工程法常规题型为已知三人工效，其中两人各干一项工程，第三人分别帮助两人，使最后同时结束，求帮助时间的问题．基本做法为将两项工程合二为一，按照三人合作的题目来求出完成时间，最后再将两项工程分拆，求出第三人分别帮忙的时间；⑸变速工程问题——转化与方程由于合作、天气等原因，工效发生变化，这时可将特殊条件的工效假设为一个新工程队，而且这个工程队的工效与原有工程队的工效有等量关系，这样就转化为一个多人合作问题，利用上述方法解决即可，此外，用方程法解决变速工程问题也是一种极为方便的方法；⑹交替工程问题——周期与估算在多人共同完成某项工程的时候，有时出现很多人交替完成的情形，这时可以从不同人开始的交替中找出周期性，去掉几个完整周期，最后一个不完整周期按顺序依次微调即可；⑺水管问题（注、排水）——工程追及问题3第9级下超常体系教师版\n对于刚接触水管问题的同学，将水管问题的题干翻译为工程问题可能会帮助其更易理解题意，相比于工程问题而言，水管问题最独特的地方在于排水管，其工效需要减去，同学们可以将其想象为“捣乱的工程队”，与其说是工程问题的一个分支，不如说是工程追及问题更恰当一点；水管问题中的渗水问题中因为假设单位时间的渗水量不变，符合牛吃草问题的基本假设，可以参照牛吃草问题及其变型来解决．⒊易错点分析孩子们容易在时间相加上犯错，尤其在交替工程问题中已知部分合作时间时，最后全加时往往会把时间相加（正确做法为先求工效再求平均），这时教师可以先让学生把他所求出来的时间和最快的队作比较，发现合作慢于独做的矛盾，再用提取公因数分析讲解，强调有“同时”条件的题目里，时间不可加．知识点回顾1.一堆砖，小明每天搬200块，3天搬完，则这堆砖共有___块，小明每天搬这堆砖的____（填分数）．1答案：600，32.挖一条1000米的渠道，需要10天完成，则平均每天挖_____米，每天完成全部的_____（填分数）．1答案：100，103.一本100页的书，每天看20页，则____天可以看完，每天看完全书的____（填分数）．1答案：5，54.仓库里有60吨货物，甲单独10天可以搬完，乙单独15天可以搬完，若甲乙合作，则___天可以搬完．答案：65.仓库里有一堆货物，甲单独10天可以搬完，乙单独15天可以搬完，若甲乙合作，则___天可以搬完．答案：6例题思路模块1：例1-2，基本工程问题例1：两人合作问题例2：休息问题模块2：例3-5，多人合作问题4第9级下超常体系教师版\n第9讲例3：等量代换例4：列表法例5：工程经济问题模块3：例6-8，变形工程问题例6：变速工程问题例7：交替工程问题例8：助人为乐问题例1有一批零件，由师傅单独做需14天完成，如果和徒弟合做10天完成．如果徒弟单独做，需多少天才能完成任务？(学案对应：超常1)【分析】这个题是求徒弟的工作时间．总工作量看成“1”，将徒弟的工作效率求出，就可以求出他的工作时间．我们可以求出师傅的工作效率，也可以求出师徒合作的工作效率，徒弟的工作效率也就可以求出了．1师傅的工作效率：141师徒合作的工作效率：10111徒弟的工作效率：1014351徒弟的工作时间：135（天）35例2一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？【分析】法1（常规法）：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了27天，完成了全部工程的1991111127，还有1是甲做的，所以甲干了22（天），休息了27225602020202040（天）．法2（假设法）：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的1199111()27，超过了单位“1”的1，则甲休息了5（天）．4060888840例3一件工作，若单独做，则甲可比规定时间提前2天完成，而乙需超过规定时间3天才能完成．现在甲、乙两人合作2天后，剩下的继续由乙单独做，恰好在规定时间完成．若甲、乙二人一直合作，那么完成这件工作需要几天时间？【分析】甲乙合作2天，可以认为甲2天干的活正好补上乙超过规定时间3天的活，这样乙正好在规定时间完成任务．2甲2天工作量=乙3天工作量，乙1天工作量是甲天工作量．35第9级下超常体系教师版\n2乙工效=甲工效3有了上面工作效率的关系，就可以求出甲、乙工效，然后求出规定时间，后面的问题就可以迎刃而解．法1（方程法）：设规定时间是x，则甲工效(x2)乙工效(x3)2甲工效(x2)甲工效(x3)3x1211所以甲工效，乙工效10151116（天）1015法2（比例法）：甲效：乙效3:2，甲时：乙时2:3，由于甲单独完成的时间与乙单独完成的时间相差325天，所以，甲独做的时间5(32)210天，乙独做的时间为5(32)315天．11甲工效，乙工效，10151116（天）．1015【铺垫】工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米，因而提前3天完成了任务．这条路全长________千米．3天【分析】由于实际每天比原计划多修80米，而提前3天完成了任务，所以实际上总共多修的公路即等于按原计划3天修的公路，所以实际上修的天数为：72038027（天），所以，这条路全长为：(72080)2721600（米），即21.6千米．720米80米例4某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要9天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要18天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？(学案对应：带号1)【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率1○○○××121○×○×○91×○×○○81○×○○×18从表中可以看出，一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现2次，那么，6第9级下超常体系教师版\n第9讲如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计11111算了3次．所以五个小队的工作效率之和为：++2+3=，五个小队一起合12981861干需要1=6（天）．6【拓展】水池上安装有A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门注水．如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用的时间如下表：A、BC、DE、AD、EB、C2610315试求注水效率最高的水管几小时可以将空池注满？放水效率最高的水管几小时可以将满水池水放完？111117【分析】∵五管效率之和为22610351211711∴，E为出水管，效率为：26121212111111，A为进水管，效率为；101260601111919，B为进水管，效率为；26060601155，D为进水管，效率为；31212125111，C为出水管，效率为；126445∴注水效率最高的是D管，注水时间为：12.4（小时）121放水效率最高的是C管，放水时间为：14（小时）4例5一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？(学案对应：带号2)111113【分析】⑴甲、乙、丙、丁的工效和是：()3；4540363036013111311甲的工效是：；乙的工效是：；360361203603036013111311丙的工效是：；丁的工效是：．36040903604572可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队．然后比较选择丙队或丁队应支付的工款．⑵甲、乙、丙每天需要的工程款27004560元；甲、乙、丁每天需要的工程款28004070元；7第9级下超常体系教师版\n乙、丙、丁每天需要的工程款28803680元；甲、丙、丁每天需要的工程款27003090元．甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为(60708090)3100元．甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是1008020元，1009010元，1007030元，1006040元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付30902700元；如果由丁队来完成，需要支付40722880元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙．希尔伯特旅馆假设有一家旅馆，里面有很多房间，但所有的房间都已经住满客人．这时来了一位新客人，想订一个房间，旅馆主人只能抱歉地说：“对不起，所有的房间都住满了．”现在又有一家旅馆，里面有无限个房间，而且所有的房间也都客满了．这时也来了一位新客人，想订一个房间，这时旅馆主人却说：“不成问题！”接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间，就这样继续移下去……然后新客人就能住进了已被腾空的1号房间！神奇吧！我们再假设一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人．这时又来了无数位想要订房间的客人．“好的，先生们，请等一会儿．”旅馆主人说．原来他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去．现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无数位客人也都可以住进去，问题解决了！此时，又来了无数个旅行团，每个旅行团有无数个旅客，只见这个老板不慌不忙，气定神足的去解决问题了．同学们，你能猜猜旅馆主人是怎么解决这个棘手的问题的吗？例6甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程要10天，乙完成工程要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、完工，在施工期间，下雨的天数是多少？(学案对应：超常2，带号3)11【分析】法1：在晴天，甲队、乙队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高10161131311；在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为30%和80%，乙101680101001620131队的工作效率比甲队高．201005031由∶158∶知，8个晴天15个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的8050138151.25，所以在施工期间，公有81.256.4个晴天，151.2512个雨天．101008第9级下超常体系教师版\n第9讲13法2：设晴天有x天，雨天有y天，甲队在下雨天的工作效率是：30%乙队在下1010011雨天的工作效率是：80%，162013xy110100x6.4所以有：，解得：1x1y1y12162011易错点分析：在晴天，甲队、乙队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高10161131311；在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为30%和80%，乙101680101001620131队的工作效率比甲队高．201005031由:15:8知，8个晴天15个雨天，忽略了此时其实已经完成工程的1.25倍，而实80504际上只需要的时间，即6.4个晴天，12个雨天即可．5【铺垫】加工一批零件，甲单独做需要60小时，乙单独做需要50小时，已知每小时乙比甲多做12件，如果甲的工作效率提高40%，而乙每小时比原来多做4件，那么两人合作这批零件的2需要多少小时？311【分析】12÷3600（个）……零件总数50603600÷6060（个）……甲工效3600÷5072（个）……乙工效23600÷601.472415（时）3例7蓄水池有甲丙两条进水管，和乙丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需5小1时，要排光一池水，单开乙管需4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有池水，如果按甲、乙、6丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少小时后水开始溢出水池？(学案对应：超常3，带号4)【分析】甲、乙、丙、丁各开1小时后，水池中的水就增加：111173456602注意每次四个水管轮流打开后，水池的水不能超过池的，否则开甲管的过程中水池里的3水就会溢出．2172故：4366072所以甲、乙、丙、丁循环4次后，水池中的水还不到，所以第五次循环不会有水溢出．39第9级下超常体系教师版\n173循环5次后（20小时）池中的水已有：56604313只需再由甲注入1（小时）4343故20小时后开始溢出．4【铺垫】甲、乙、丙、丁四名打字员承担一项打字任务，若由这4人中的某人单独完成打字任务，甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时．（1）如果甲、乙、丙、丁四个人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁．．．的顺序轮流打字，每轮中每人打字各1小时，那么需要多少小时完成？（3）能否把（2）题中所说的甲、乙、丙、丁的次序做适当的调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？如果不能，请说明理由；如果能，至少说出一种轮流次序，并求出能提前多少小时完成打字任务？111119【分析】（1）四人合作的总工作效率为+++=24201612801980四人合作用时1÷=（小时）801919（2）将4小时（甲、乙、丙、丁）看做一个循环，完成了总工作量的，80197676116小时完成×4=，还剩1=的工作量未完成；80808020111再由甲做1小时，还剩下=的工作量未完成；2024120111再由乙做，需要用时÷=（小时）12020611总共用时：4×4+1+=17（小时）66761（3）无论四人如何排序，前16小时完成的都是总工作量的，所以要让剩下的的工8020113作量用时尽量少，那么把效率最高的丁排在四人的第一个，用时÷=（小时）201257317比原来少用了=（小时）＞半小时653017所以按照丁、甲、乙、丙的顺序（顺序不唯一），能提前小时30【铺垫】一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要多少天？【分析】设甲的工作效率为m，乙的工作效率为n，则有(mn)(mn)(mn)m1(nm)(nm)(nm)n0.5m1因为前面的工作量都相等，所以m=n+0.5m，即m=2n，由乙单独完成这项工程需要20天，11知n，所以m,201010第9级下超常体系教师版\n第9讲1即甲单独完成这项工程需要110（天）．10例8现有甲、乙、丙、丁四个工程队，甲、乙、丙各接受一个工作量相同的工程．这四个队单独完成一个工程所用时间分别是28天、24天、20天、30天．甲、乙、丙三个队于同一天开工，丁队先帮甲队工作x天，接着帮乙队工作y天，最后帮助丙队工作到完工．如果x,y是整数且甲、乙、丙三队在同一天完工，则x=______，y=______，且丁队帮丙队工作的天数（未必是整数）为______．(学案对应：超常4)【分析】错误解法：由于三个队于同一天开工，丁队最后帮助丙队工作到完工，三队在同一天“同时111156完工”，所以共需用时间：3（天）．2824203035611此时，甲的工程还剩：132835612乙的工程还剩：132495611丙的工程还剩：1320151220于是，乙队帮甲、乙工作的天数分别为：x3010，y303931丁帮丙工作的天数为：30215从而，得到x,y不全是整数的矛盾结论．正确解法：由于4个队一起开工，所以共需用的理论天数为：1111563（天）18天．282420303从而，甲、乙、丙三队是在第19天“内”完工的．由于x,y皆为整数，所以：115⑴丁帮甲工作的天数x不多于：11810（天），而甲在第19天还开工，28307从而丁帮甲工作不超过10天．113若x9，甲的工作时间为：1919>19，显然不可能，∴x10．30285111⑵丁帮乙工作的天数y不多于：1187（天）24302而乙在第19天也还开工，所以丁帮乙工作的天数不超过7天．111若y6，乙的工作时间为：1619>19，显然不可能，∴y7．302451114⑶丁帮丙工作的天数为：11071（天）．202030511第9级下超常体系教师版\n4则x10，y7；且丁队帮丙队天作的天数（未必是整数）为1．5（教师可以在学生做本题掉入陷阱后铺垫一个内容：区别同一天完成和同时完成，最好先改题让学生自己发现寻找乐趣，然后引导．此外教师还要清楚常规助人为乐问题并非这么难，而是像铺垫题这样，属于整体法的一种）【铺垫】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵．已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树，两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？【分析】甲、乙、丙三人在植树过程中同时开始同时结束且都没有停，他们共植了2150（棵），而工效和为每天24+30+32=86（棵），由此可得出都干了215086=25（天），从而算得乙帮甲种了9002425900600300（棵），也就是3003010（天）．所以乙在开始后第11天从A地转到B地．师徒两人各加工一批零件，师傅完成任务要比徒弟完成任务少用2小时，如果徒弟先做180个，师傅才开始生产，当师傅完成任务时，徒弟比师傅多做120个．已知徒弟的工作3效率是师傅的，师傅每小时加工多少个？4答案：40个附加题1.有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?111111【分析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为，6天完成的工程量为61，1012154421111而实际6天完成了的工程量为1，即甲队少做了，甲队完成超过单位“1”11，甲222211没有干的天数：5(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5（天）．2102.甲、乙两车间生产同一种零件，若按4：1向甲乙车间分配生产任务，这两个车间能同时完成任务．实际生产时，乙车间每天生产15个零件，由于甲车间抽调一部分工人去完成另外的任务，实际每天生产50个零件．若干天后，乙车间完成了任务，甲车间还剩一部分未完成，这时，甲乙两车间合作，2天后全部完成．问：这批零件有多少个？【分析】如果甲车间不抽调一部分工人去完成另外的任务，则每天能生产零件151460（个），原计划完成任务所用的时间是(5015)26050)13（天），故这批零件有(6015)3975（个）．12第9级下超常体系教师版\n第9讲3.某工程如果由第一、二、三小队合干需要7.5天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要10天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率2○○○××151○×○×○71×○×○○101○×○○×42从表中可以看出，一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现2次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算21111了3次．所以五个小队的工作效率之和为：23，五个小队一起合157104261干需要16（天）．64.如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？1【分析】设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，进水管每分钟进水量为．由60于打开一个出水孔，则需要用65分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这65分钟内的出水51量等于进水管5分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：，同理可6012121知打开两个出水孔时两个孔出水量为：，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔605111时多出了72657分钟水，所以一个孔每分钟出水量为：(2)72，那么51242011开一个孔的实际出水时间为：35（分钟）．这说明在前面的653530分钟内12420进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水1111孔开始出水．30，即在进水管进了的水后出水孔才开始出水，此时还需进的60222111水．所以，开三个出水孔所需的时间为：30(3)82.5（分钟）．26042013第9级下超常体系教师版\n5.甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【分析】丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:359:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配．9甲、乙两村共派出了453580人，而这80人，按照原计划应是甲村派出8036983人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45369人，乙村帮丙村派出了35323人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:33:1来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：360(31)3270元，乙村应分得：36027090（元）．6.甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，1最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，3结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？【分析】法1：首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成10120060（米），开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成为33101(1)2.5（米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525（米），33问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间．这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125（米），比实际少了20012575（米），这是因为换工具后每分钟多扫了52.52.5（米），因此换工具后的工作时间为752.530（分钟）．法2：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案．我们不妨设乙开始每分钟清理的1量为3，甲比他快，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240份的3工作量，乙和他的工作总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30（分钟）．7.一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？135716246820【分析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，，5050303016201112此时剩下的工作量为1()．还需甲做（小时），5030757550322所以共需(1357)(2468)36（小时）．33158.一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，2614第9级下超常体系教师版\n第9讲结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一1直做下去，将比计划推迟3天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成．还知道乙3的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？51【分析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，所以乙、丙合做了全部工程的；631110如果丙不来帮忙，这的工程由乙独做，那么乙完成这的工程时间将比乙、丙合做多用3334天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的倍，那么乙独341做所用的时间为乙、丙合做所用时间的倍，所以乙、丙合做这的工程所用的时间为33104111(1)10天．那么乙的工效为10(1)．由于在丙来帮忙的情况下乙共做33334011了工程总量的一半，所以乙工作的天数为20天，其中有10天是乙、丙在合做，240另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的1117710，根据题意，这的工程如果由甲独做，只需要20614天，那么甲2403121271的工效为14．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天1224完成，所以原计划工期是24630（天）．知识点总结1.工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量．2.工作效率是单位时间内完成的工作总量．3.工作时间是完成工作总量所需的时间．4.工作总量工作效率工作时间．5.解决工程问题的常规方法有：量化总量法、单位“1”法、方程法．6.多人合作问题的解题方法有：和差倍分法、比例法、假设法、列表法．家庭作业1.一项工程，由甲、乙两个工程队合作要20天完成，由甲工程队单独做要用30天；现在先由两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，还要多少天才能完成？11111【分析】甲乙工效和为，甲队工效为，乙队工效为，乙所需时间203020306011(14)48（天）．206015第9级下超常体系教师版\n2.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了15天才完成．问甲休息了几天？11【分析】在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了15天，完成了全部工程的15，还有30211111是甲做的，所以甲干了10（天），休息了15105（天）．222203.一项工程，甲、乙二人合作5天完成;乙、丙二人合作4天完成;乙先做6天，剩下由甲、丙合作2天完成．若乙单独做，完成工程需要多少天？11221【分析】法1：甲乙工效和为，乙丙工效和为，乙独自工作的效率为：[1()]2，时545420间为20天．111法2：设甲1人需x天，乙1人需y天，丙1人需z天，工程量为单位“1”，可得：，xy4111，列方程：yz511120261，解得：x5，y20，z．xzy3故乙单独做，完成工程需要20天．4.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲丙两人合作需60天完成．问甲一人独做需多少天完成？11【分析】设这件工作的工作量是1，则甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙3660111161丙两人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成()2，减45364560180301111去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要190（天）30459090235.一项工程，甲、乙两队合干需2天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需3天，需支付546工程款2400元；甲、丙两队合干需2天，需支付工程款2400元．如果要求总工程款尽量少，7应选择哪个工程队？2534【分析】甲、乙一天完成工程的12；乙、丙一天完成工程的13；甲、丙一天完成512415675741511工程的12．所以，甲的工效为()2；乙的工效为；丙720122015412467112的工效为．甲、乙一天需工程款22082920（元）；乙、丙一天需工程款2041053624003640（元）；甲、丙一天需工程款24002840（元）．所以，甲一天的工程47款为(920840640)2560（元）；乙一天的工程款为920560360（元）．丙一天的工程款为840560280（元）．单独完成整个工程，甲队需工程款56042240（元）；乙队需工程款36062160（元）；丙队需工程款280102800（元）．所以应该选择乙队．6.两项工作量相同的工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成工作要12天，二队完成工程16第9级下超常体系教师版\n第9讲要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？11111【分析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；12151215601113在雨天，一队、二队的工作效率分别为140%和110%，二队的工12201550311作效率比一队高．502010011由:5:3知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的6010011135，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．122027.一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做18小时完成．如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作。那么（1）完成任务时共用了多少小时？（2）如果把条件中的“乙独做18小时完成”改为“乙独做15小时完成”，则完成任务时共用多少小时呢？1【分析】（1）本题解法中要注意估值．甲每小时完成全部工程的，乙每小时可完成全部工程的121115，因此每连续两小时甲、乙可完成全部工程的．于是，甲、乙交替工作1418121836535351小时可完成全部工程的7，这时全部工程还剩下1没有完成．甲独做全36363636111111部工程的需要用（小时），所以，完成任务共用了1414（小时）．363612333（2）如果把乙独做完成工程的时间改为“15”小时，其他条件不变，那么甲、乙交替工作2113小时将完成全部工程的，于是，甲、乙交替工作12小时可完成全部工程的12152039916，而剩下的部分占工程的1，甲再独做1小时仍完成不了全部工程，所2010101011111111剩下的部分是，乙还要用（小时）．因此总共需要用121131012606015444（小时）．8.有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物．开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲______小时，帮乙______小时．【分析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所11121以它们完成工作的总时间为2()（小时）．67144在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．121771甲完成的工作量是，所以丙帮甲搬了1的货物，丙帮甲做的时间为6488811321311（小时），那么丙帮乙做的时间为13（小时）．814444231综上所述，丙帮甲1小时，帮乙3小时．4217第9级下超常体系教师版\n超常班学案【超常班学案1】甲、乙两人共同完成一件工作．如果甲、乙两人合作2天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；如果甲单独做需要18天完成；如果乙单独做，则要超过规定时间3天才能完成．求完成这件工作规定的天数．18【分析】第一种情况，除去甲工作的两天，还剩下12，都是乙做．设规定需要x天完成，1898利用乙的工作效率列方程91，所以x24．xx31【超常班学案2】甲、乙合作一件工作，由于配合好，甲的工效比单独做时提高，乙工效比单独1012做时提高，甲乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件5513工作的尚未完成．如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？30【分析】本题关键是要根据两人合作时的工作效率和，求出两人单独做时的工作效率．1321第二天乙单做6小时完成的工作量是：1；305611故乙每小时完成的工作量是：6；6362111甲乙两人合作6小时，其中甲完成的工作量是：1；53655111故甲单独做时，每小时完成的工作量是：61；510331所以甲单独做这件工作需要的时间是：133（小时）．33【超常班学案3】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用_______小时．【分析】考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用2小时20分钟．所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢．也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满．甲灌1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水．所以灌水速度甲:乙:丙=3:4:2，也就是甲刚好是平均数．所以只用甲管灌满需要7小时．【超常班学案4】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙18第9级下超常体系教师版\n第9讲在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？【分析】法1：因为A、B两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，1那么8小时可以搬完，即三个人每小时共能完成大仓库工作的．因为甲、乙、丙三人每8111小时的工作量的比是::6:5:4，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的101215161141，丙每小时可以完成大仓库工作量的．那么甲16小时完8456208456301441成了A仓库的16，丙在A仓库搬了16（小时）．205530法2：因为甲、乙、丙第一天搬完货物分别用10小时、12小时和15小时，利用量化总量法，不妨假设第一天三个人的工作量均为10,12,1560（份），那么三个人每小时分别可以完成6、5、4份．则第二天两个大仓库的总工作量为(654)16240（份）．每个大仓库的工作量为2402120（份）．由于甲一直在A仓库，他完成了61696（份）工作量，那么丙在A仓库完成了1209624（份），所以丙在A仓库搬了2446（小时）．123班学案【超常123班学案1】注满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以注满；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以注满；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以注满．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以注满？【分析】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：1号2号3号4号工作效率1○○○×201×○○○211○×○○281○○×○30从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：1111113，那么同时打开这4个阀门，需要118（分钟）．202128301818【超常123班学案2】某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元甲105.6乙153.8丙301.7⑴如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？19第9级下超常体系教师版\n⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？【分析】⑴如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司．111由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为、、，所以应该选101530择甲、乙这两家公司合作．11甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为1()6（天）；1015⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.61056（万元）、3.81557（万元）、1.73051（万元），所以应当选择甲、丙这两家公司合作．11甲、丙两公司合作需要1()7.5（天）才能完成工程，完工时要付的工资为：1030(5.61.7)100007.5547500（元）．【超常123班学案3】甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A机器需要6小时才能完成任务，用B机器效率降低60%，乙用B机器需要10小时才能完成任务，用A机器效率提高20%．如果甲用A机器、乙用B机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务．求甲、乙完成任务所用的时间．111【分析】甲用A机器效率为，用B机器效率为(160%)，乙用A机器效率为6615131(120%)，用B机器效率为，假设甲用A机器x小时，用B机器y小时．列10251011xy1615x4方程：，可得，总时间为9小时．1x3y1y51025【超常123班学案4】一件工程，如果按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰需要整数天工作完毕，如果按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，比原计划晚半天工作完毕，如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，比原计划晚1天工作完毕，乙单独完成这件工程需要30天，甲乙丙三人同时做，需要多少天完成．【分析】（1）设甲的工作效率为m，乙的工作效率为n，丙的工作效率为k，则有(mnk)(mnk)(mnk)m1(kmn)(kmn)(kmn)k0.5m1(nkm)(nkm)(nkm)nk1因为前面的工作量都相等，所以m=k+0.5m，n+k=k+0.5m，即m=2k=2n．由乙单独完成这项111工程需要30天知n，所以m,k301530111即甲乙丙三人同做完成这项工程需要17.5（天）．153030（2）还有一种情况：(mnk)(mnk)(mnk)mn1(kmn)(kmn)(kmn)km0.5n1(nkm)(nkm)(nkm)nkm1因为前面的工作量都相等，所以n=0.5n，矛盾．20第9级下超常体系教师版