第10讲第十讲几何计数进阶知识站牌六年级暑假五年级春季数论中的计数概率初识五年级秋季几何计数进阶五年级秋季排列组合进阶五年级暑假枚举法进阶用加乘原理、排列组合、容斥原理数组合图形;熟悉对应法.漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入(一)京沪线高铁是我国著名的一条线路，途径北京，天津，济南，德州，苏州，南京，上海7个主要城市。总共可以制作多少种不同的车票？（二）一群孩子经过一个食品店，看见蛋糕师把刚炸好的麻球排成底座是正方形的共5层的“四棱锥”。他数也不数，就向他的助手报出这一堆麻球有55个。孩子们很奇怪问师傅使用什么方法计数的，师傅笑了笑说：“把麻球一层一层的取下来，平铺在桌面上，你就知道其中奥妙了。”旁边又有一个被排成底层是正三角形的5层“三棱锥”，你能数出来有多少个吗？教学目标1.理解几何计数中的对应法；2.灵活运用排列组合等知识解决对应的几何计数；3.理解并运用排除法解决正面困难的问题.经典精讲图形计数就是数图形，而本讲主要学习利用排列组合来数数，目的是让学生从低年级单纯的枚举法转变习惯应用对应法和排列组合解决问题。本讲还定位于从低年级的计数方法到高年级思想方法的过度和转变，树立对应、转化意识，强化对应法，排除法，分类讨论思想的运用。计数中的常见结论：21.共有C条线段.（角，三角形同理）na1a2a3a4an-1an222.共CmCn个长方形bmbm-1b4b3b2b1a1a2a3a4an-1an3.若字母A的上方有m条线，下方有n条线，左边有a条线，右边有b条线，则包含A的长方形2第9级下超常体系教师版\n第10讲共有m×n×a×b个A44.三角形最后一条边有n个点，则平行四边形个数为：3Cn1.............................................................知识点回顾1、图中有多少个长方形？2【分析】C5=10个2、图中共有多少个正方形？【分析】共554433221155个3、图中共有多少个三角形？第9级下超常体系教师版3\n【分析】边长为1的三角形1+3+5+7=16个；边长为2的三角形：7个；边长为3的三角形：3个；边长为4的三角形：1个。共30个。例题思路模块1：例1-2，基本问题模块2：例3-6，复杂对应及排除法模块3：例7-8，分类讨论例1（1）图1中有多少条线段？（2）图2中有多少个角？（3）图3中有多少个三角形？（4）图4中有多少个长方形？（5）ABCDEF、、、MN互相平行，则图5中梯形个数与三角形个数的差是多少？图1图2图3图4图5（学案对应：超常1，带号1）2【分析】（1）每条线段对应两个不同的点，相当于从六个点中选两个：C1562（2）每个角对应两条射线C105（3）所有三角形都有一个相同的顶点，因此每个三角形对应底边一条线段，即两个不同的2点：C105（4）每个长方形对应一个长和一个宽，即水平和竖直方向各选取一条线段：22CC1066054222（5）梯形的个数为CC60个，三角形的个数为4C40个，它们的差为20个。455例2由20个边长为1的小正方形拼成的一个45含有“”的长方形中。（1）如图1中含有“”的所有长方形（含正方形）有多少个？（2）如图2中含有两个“”的长方形有多少个？（3）如图2中只含一个“”的长方形有多少个？4第9级下超常体系教师版\n第10讲（4）如图2中不含“”的长方形有多少个？（5）如图2中至少含一个“”的长方形有多少个？图1图2【分析】（1）法1：含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)☆☆☆☆☆☆☆☆含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)☆☆☆☆☆☆分两个方向数，横行有8个单位长方形，竖列有6个单位长方形，所以共有长方形8648（个）法2：含星小正方形左上角有6个点，右下角有8格点，即6848法3：在星号的上，下，左，右各选一条线，即可唯一确定一个包含星号的长方形。因此1111共有C2C4C3C2243248（2）含两个“”最小长方形（此图为正方形）左上角有4个点，右下角有6个点，即46=24（3）只含一个：容斥原理：6869248022（4）不含：排除法：C6C5802446（5）至少含一个：80+24=104【巩固】图中不含有*图案的长方形共有___个.**【分析】包含左上角的*的小长方形，共有：4×9=36个；包含右下角的*的共有4×9=36个；两个*都包括的小长方形有：4×4=16个；所以包含*的共有：72-16=56个。第9级下超常体系教师版5\n22共有长方形CC100个。55不含*图案的长方形共100-56=44个正方形能分解成多少个小正方形？众所周知，一个正方形可以分解成4个小正方形，此外，还可以分解成6，7，8个正方形。用这个方法也可以将正方形分成6+3，7+3，8+3……个正方形。因此可以把正方形分成4、6以及6个以上的小正方形。也就是说一个正方形不能分成2，3，5个正方形。以下图中给出了3k,3k+1,3k+2的基本分割法（k最小值是2），其他所要求的8以上数目的小正方形可按上述3种基本分割法构造。因此，正方形的分解问题已经得到彻底解决。例3如图，请问图中有多少个平行四边形？ABCDEFMPNOXYQRS（学案对应：超常2）【分析】法1：对应法：平行四边形按方向分成三类：竖直，左斜，右斜，由旋转不变性可知，只要数其中1类再乘3即可。因为直接数比较麻烦，所以考虑把平行四边形对应成点。不妨先数竖直的平行四边形，由点A构成的竖直平行四边形个数等于点A的对面点（对角线另一端的点）的个数，如果第一行看为点A，第二行0个，第三行只有点E，第四行只有M,N，第五行有Q,R,S，共1+2+3=6个。再由点B作为上端点构成的平行四边形：第三行0个，第四行有N，第五行有Q,R，共1+2=3个，同理点C也有3个，总共326个，再由点D、E、F生成的竖直平行四边形各1个。竖直总数：6321315。平行四边形总数：15345法2：另一种对应法：每个平行四边形都看成由两组平行线构成，而每条平行线对应底边XY某个点，则1个平行四边形对应4个点。但是比如平行四边形ADRF却对应最后一行36第9级下超常体系教师版\n第10讲个点，可见最后一行点数不够多。如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从5个变成6个。同时，所有与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于4个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形是一一对应的。因此图中与ABCD方向相同的平行四边形总数为：4C15（个）6总数：15×3=45老师可以总结如下结论：4如果最后一行有n个点，则平行四边形总数为3Cn1CDBEFA例4如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？（学案对应：带号2）3【分析】从12个钉子中选择3个钉子组成三角形，一共有C12220个，但是有3个点在同一条直3线上的情况，需要排除，水平方向共有3C12个，竖直方向有144个，斜着有4个，4这样的话总共有2201244200个。【铺垫】如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？287【分析】（1）线段有：C28（条）8213876（2）三角形有：C856（个）32148765（3）四边形有：C70（个）84321第9级下超常体系教师版7\n例5如图，两条线段上分别有6，7个点，以这13个点为顶点，共可以连出多少个四边形？已知两条线段中各任取1点的连线的交点互不重合，在两条已知线段之间可产生多少个交点？（学案对应：超常3，带号3）【分析】上面选2个点，下面选2个点，可以确定唯一的一个四边形，而一个四边形的对角线相22连，可以确定唯一的一个交点，因此这两问的结果都一样.为CC152131567例6在一个66的方格阵内，以棋盘上的交点（含边界点和角上的点）为顶点的、面积为1的直角三角形有多少个？【分析】满足条件的直角三角形可能是直角边为1和2的直角三角形，也可能是面积为1的等腰直角三角形，但无论是哪一种，都一定刚好能放在一个12的小长方形中（或者换句话说：不同的12长方形中的满足要求的直角三角形，一定不会是同一个三角形）；每个12的小长方形中共有6个满足要求的直角三角形，故只需求出不同的12小长方形的个数即可；12小长方形的个数是容易计数的，共有65260个，故本题答案为660360个.例7如图，在33的方格表内，每个小正方形的面积为1。请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？（学案对应：超常4，带号4）【分析】（1）如下图，诸如此类的直角三角形共有4个8第9级下超常体系教师版\n第10讲（2）底为2（水平），高为3（竖直）的三角形16个；底为3（水平），高为2（竖直）的三角形16个；底为2（竖直），高为3（水平）的三角形16个；底为3（竖直），高为2（水平）的三角形16个；重复计算16个，所以总共48个。（3）有至少一条边在表格上：底为3（水平），高为1（竖直）的三角形24个；底为1（水平），高为3（竖直）的三角形24个；底为3（竖直），高为1（水平）的三角形24个；底为1（竖直），高为3（水平）的三角形24个；重复计算24个，所以总共72个。如图，三条边都不在表格上：每个22正方形中有4个这样的三角形，共有16个。或者如图还有一种情况：这样的情况一共有4个三角形。所以总共7216492个。例8在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形和锐角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周内，则这三点构成钝角三角形)【分析】⑴由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是三角形长边端点之间仅相隔一个点，这样的三角形有10110个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形有10220个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10330个，所以一共可以画出60个钝角三角形．⑵令圆周上相邻点之间的圆弧弧长称之为一个单位弧长，这样所有锐角三角形可分为两类，一类是三角形三个顶点之间的弧长分别是2，4，4．另一类三角形的三个顶点之间的弧长分别为3，3，4，两类三角形的个数都为10，一共有20个不同的锐角三角形．第9级下超常体系教师版9\n3根木棒最多可以摆出多少个直角?答案：12个。附加题1.如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【分析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220个正方形．⑴⑵⑶2.如图，44的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．10第9级下超常体系教师版\n第10讲【分析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11的正方形：9个；22的正方形：4个；33的正方形：1个；以11正方形对角线为边长的正方形：4个；以12长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220(个)正方形．知识点总结21.共有C条线段.（角，三角形同理）na1a2a3a4an-1an222.共CmCn个长方形bmbm-1b4b3b2b1a1a2a3a4an-1an3.若字母A的上方有m条线，下方有n条线，左边有a条线，右边有b条线，则包含A的长方形共有m×n×a×b个A44.三角形最后一条边有n个点，则平行四边形个数为：3Cn1第9级下超常体系教师版11\n.............................................................家庭作业1.下图共多少个长方形？22【分析】CC1521315672.如图，这是一个48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问：（1）包含有两个“★”的矩形共有多少个？（2）至少包含一个“★”的矩形有多少个？1111【分析】（1）按照长方形四条边的选取来计算有CCCC30个。352111111111（2）包含左边的★的长方形有CCCC364172个，包含右边的★的长方形有CCCC4523120个。所以至少包含一个“★”的矩形有1207230162个。3.如图，有多少个菱形？（注：四边相等的四边形是菱形）ABCDEFMPNOXYQRS12第9级下超常体系教师版\n第10讲【分析】对应法：边长为1的菱形与其对角线可产生一一对应关系，如BC对应ABEC。则现在变成数内部线段的条数，内部共18条线段，共18个边长为1的菱形，但还有3个边长为2的菱形，因此总数18+3=21个。4.如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？【分析】从9个点中选出3个，只要这3个点不在一条直线上，就能连成一个三角形。图中直径上的四个点共线，其余任意三点均不共线所以要计算三角形的总数，只要算出选取三个点的总取法，再从中减去无法连成三角形的选法总数，得到的就是能画出的三角形的总个数：33CC84480（个）945.圆上有9个点，画出这些点之间的全部连线，已知这些连线的交点没有出现重合；以这些连线为边，会在圆内形成三角形（如下图，例如图中的阴影三角形）；请问这样的三角形一共有多少个？【分析】本题条件看似复杂，但观察每一个这样的三角形会发现，它唯一地对应着圆周上的6个不6同的点，因此答案为C84个.96.如图，一个66的网格中，取出一个由三个小方格组成的形，一共有多少种不同的方法？【分析】如图1，每个L形对应一个两条线的交点A，如图2每一个交点附近都可以通过旋转生成有4种L形。网格中共5525个交点，则254100种不同的选法。7.如图，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？第9级下超常体系教师版13\n【分析】除了图中的9个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过尝试不难看出，斜三角形只有下列四种形式：容易数出，第一种有4个，第二种有2个，第三种有4个，第四种有2个。综上，总共9424221个。8.如图，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？【分析】分两类考虑，首先，如下左图，连接相邻两点作为最短线段作出平行线。这样的话共有6条平行线，从中选2条就可以组成梯形，但是其中有3个矩形。这样作为一组的话一个圆上共有12个点，每两个相邻点就组成一组这样的平行线，共有6组（对2称的不算），这样的话，共有C63672个；其次，如上右图，两点相连（中间隔1点）作为最短线段作出平行线。2跟上一类同样的接法，共有C52648个。而如果两点相连（中间隔2）作为最短线段作出平行线就与第一类情况相同。同样的道理，隔3个点，隔4个点也是重复情况。综上，总共有7248120个。14第9级下超常体系教师版\n第10讲超常班学案【超常班学案1】下图中共有多少个长方形？22【分析】横大长方形内有长方形：CC30（个）．5322竖大长方形内有长方形：C5C330（个）．22中间重复的长方形有：CC9（个）．33故图中共有长方形：3030951（个）．【超常班学案2】如图，边长为7的等边三角形每条边被七等分，则边长为1的1小三角形的个数与所有平行四边形的个数之比是多少？23【分析】小三角形：1+3+5+7+9+11+13=49个4平行四边形个数：3C4378596个数比：49：378=7：547【超常班学案3】一个三角形的3条边上各有3个点，画出这9个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？4【分析】每一个交点唯一对应一个四边形，故C之后还要减去有4点共线及3点共线的情9431况.C3CC12618108个936【超常班学案4】如图，一个23的网格中，每个小正方形的面积都是1.以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？【分析】如下第一个图，水平方向底为2，竖直方向高为1的三角形一共有4832个；如下第二个图，水平方向高为1，竖直方向底为2的三角形一共有3618个；我们还漏了几个，如下第三个图水平方向底为1，竖直方向高为2而且两条边不在格点图上的三角形有2612个；如下第四个图竖直方向底为1，水平方向高为2而且两条边不在格点图上的三角形有248个。总共321812870个。第9级下超常体系教师版15\n123班学案【超常123班学案1】如图，共有多少个长方体（包含正方体）？222【分析】长宽高三个方向各选一条线段即可唯一对应一个长方体：CCC63354433【超常123班学案2】在一个半圆上有15个点，以这些点为顶点，共可以画出：（1）多少个三角形？（2）多少个四边形？（3）多少个五边形？33【分析】（1）C15C74204431（2）C15C7CC78105054132（3）C15CC78CC781722【超常123班学案3】如图，正方形上有14个点，4条边上分别有2、3、4、5个点；画出这14个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问正方形内共有多少个交点？【分析】每一个交点唯一地对应着一个四边形，故共有431314314CCCCCCCCC100111401905854个.14311410459516第9级下超常体系教师版\n第10讲【超常123班学案4】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?【分析】为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是2323.所求的三角形可分两种情形:(1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有24432(个)；(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边（形如AJD）或平行于一边的分割线（形ABCD如ENH）.其中与(1)重复的三角形（形如ALD）不再算入,这样的三角形有8216(个).因此,所求的三角形共321648(个)(包括图中开始给的EHFG三角形.)ILJKMNOP第9级下超常体系教师版17