第13讲第十三讲定义新运算进阶知识站牌五年级春季五年级春季比较与估算分数四则混合运算五年级秋季定义新运算进阶五年级秋季循环小数五年级暑假分数加减学会使用方程来解决定义新运算问题，加强分数运算的练习漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入点头表示同意，摇头表示不同意；行人靠右行，这些都是我们生活中的规则，在数学中，同样也有一些约定的规则，也就是运算符号．比如“＋”“－”“×”“÷”都是我们熟悉的运算符号．但是有的地方会有不一样的规则，比如在英国等地行人是靠左行的，而数学里同样也可能会出现一些特殊的运算符号，比如我们规定☆表示选择两数中较大的一个，如2☆7=7．相对于我们原本熟悉的运算，这便是新运算．今天我们就一起来学习定义新运算．教学目标1、熟练掌握分数类型的定义新运算；2、掌握反解未知数类型的定义新运算；3、掌握和因倍结合的定义新运算；4、掌握找规律类型的定义新运算．经典精讲定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．新定义的运算符号，如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值（本质就是“照猫画虎”去模仿），把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，并计算准确．定义新运算分类：1.直接运算型（照猫画虎）；2.反解未知数型（方程法）；3.观察规律型；4.其它类型综合．下面通过几个实例加以说明．如规定：ababab242424642424210这就是定义新运算中第一种题型直接运算照猫画虎型，规定新运算符号的定义，符号前面数字为a，符号后面数字为b，模仿定义带入式子中算出答案．定义新运算注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．一般情况下规定的新运算对于我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）不成立，但也有成立的，这就要求我们去证明．2第9级下超常体系教师版\n第13讲知识点回顾1.已知a※b3a2b，例如，当a6，b5时，6※536258．计算：8※7______．【分析】102.规定a△ba2ba，求：12△3__________;7△2△____________．【分析】18,143.规定“□”表示选择两数中较大数的运算，如：599．计算10511___________．【分析】114.已知125，3211，6422，11740；求86__________．【分析】305.规定23☆234,45☆45678，求7☆4_________．【分析】34例题思路模块1：例1-2，直接运算型模块2：例3-4，反解未知数型模块3：例5-8，数论及综合型例111设a、b都表示数，规定a△bab．231111⑴求△，△；2332⑵这个运算“△”有交换律吗？⑶求186△△3，18△63△；⑷这个运算“△”有结合律吗？55⑸如果已知△b，求b．33(学案对应：超常1，带号1)1111111113【分析】⑴△2322334936第9级下超常体系教师版3\n111111111△；322332663⑵没有；11111113⑶186△△3186△3113△11312323221111118△63△18△63184△1841023233⑷没有；⑸由题意得：1515b23325b5632b1036b5例2我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数1523(0.6)(0.625)2335中较小数的运算，例如：5335=3△△，计算：的结果是多少？3411(0.3)(2.25)99615232531(0.6)(0.625)233538241【分析】341119312(0.3)(2.25)9963412例3abab将4个数a、bcd、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=adbc，上述cdcdx1x5记号就叫做2阶行列式，若2，则x________174(学案对应：超常2)x1x57x7x23x2812【分析】2，x1542023744第9级下超常体系教师版\n第13讲相信很多人都做过这么一道题：如果1=5,2=10,3=15,4=20,5=？第一次接触的人一定会脱口而出：25，这样的话就刚好落到了出题者的圈套中，因为一开始题目告诉了你1=5，那么5=1，你一定为你的上当而感到愤愤不平，这道题到底符不符合逻辑呢，按照规律来说5=20是推出来的答案，但是按照第一个条件来推断，5=1又成立．其实这里的“=”定义很模糊，因为如果是普通意义“=”的话，1和5是不能建立相等的关系的，所以题目本身有问题．如果把这里的“=”改成“≈”，道理就说通了，1≈5,2≈10,3≈15,4≈20,按照这个规律推下去5≈25，这里的≈应理解为只能从左到右才成立，并不像=一样，左=右也可以推出右=左，5≈1是不成立的，所以答案应该是5≈25等大家到了高中进一步学习函数就会理解的更深刻.例4mab＋对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab=（m是一个确定的整数）．如果2ab14=23，那么34等于________．(学案对应：超常3，带号2)m14m2363411【分析】根据14=23，得到，解出m=6．所以，34．21422323412例5设a表示不超过a的最大整数，例如：11，0.20．1302303309030求的值是多少？90909090(学案对应：带号3)【分析】原式00111222333292929303129292301335例6两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉254,6☉82.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉195,而x小于50,求x.(学案对应：超常4，带号4)【分析】⑴1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;第9级下超常体系教师版5\n由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26x1927=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.例7规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5B△3)(B○5A△3)96，且A、B均为大于0的自然数，AB的所有取值为．【分析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5．对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论．1)当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；2)当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；3)当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11．4)当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；5)当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；6)当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=96，则A=9.此时B=3后者B=4．则他们乘积有27与36两种；7)当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96．此时A+B=12．A与B的乘积有11与20两种；8)当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96．此时有B=9.不符；9)当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12．则A=5,B=9，乘积为45．所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种例8m2定义新运算：mn，那么20122011201010.mn4m21123【分析】mn,当n2时，m2．因此只需要算10，因此答案为mn422366第9级下超常体系教师版\n第13讲如图2,一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式：21222111的路线．BBBAAA图1图2图3答案：如图知识点总结1.定义新运算分类：①直接运算型（照猫画虎）；②反解未知数型（方程法）；③观察规律型；④其它类型综合．2.定义新运算注意事项：①新的运算不一定符合运算规律（如交换律、结合律、分配律等），特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．附加题112311234111.规定*3，*4，那么，*4*3__________．223477891025【分析】题目中的新定义运算符号“*”表示连乘，“*”左边的数表示第一个因数，“*”右边的数表示2因数的个数，而这些因数的分子、分母分别是几个连续的自然数．如*4表示4个数连5乘，分子是2345，分母是5678．12341238原式．234556735112333456252.如果3，4．求4322345567858234556761【分析】原式56788910168第9级下超常体系教师版7\n3.设ab*表示a的3倍减去b的2倍，即ab*3a2b，例如，6*5362.543(1)计算：**；(2)已知：x*(4*1)7，求：x．354545417173173877【分析】⑴*32,*3283535554541010⑵4*1431，4*110,x*107,3x1027,所以x10394.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：⑴f10，f21，f32，f43，……，1111⑵f2，f3，f4，f5，……23451利用以上规律计算：ff2010_______．2011【分析】原式201120092ab5.设a,b是两个非零的数,定义a※b.ba(1)计算23※※4与2※34※.(2)如果已知a是一个自然数,且a※32,试求出a的值.2313342513【分析】(1)按照定义2※3,3※4.于是(2※3)※4※32643126132564132474525212242512014=.2※(3※4)=2※.4132413312122522524600612a3(2)由已知得2①3aaa3若a≥6,则≥2,从而2与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①33a式中检验知,只有a=3符合要求.1x36.对所有的数ab,，把运算a※b定义为a※babab，则方程※的解是__________．3251xx1x2x132x147【分析】※，，x326323353155(12)*(12)**(12)_____7.表格中定义了关于“*”的运算，如3*4=2.则2012个(12)*1234112342241333142443212*2**2【分析】经查表，122，所以原式变为2012个222，2*24，2*2*24*23，2*2*2*23*21，2*2*2*2*22发现为周期为4的周期规律，20124503，没有余数，所以最后结果为周期中的第4个，8第9级下超常体系教师版\n第13讲因此结果为1.ab201020102010201020108.定义运算：ab，算式的计算结果是．ab共9颗“”201020102010【分析】2010201020102010220102010201022010201022010320102201020102010320102010320104201032010找到了规律：有n个2010，就得n2010现在有9颗就有10个2010，所以结果是2011011x9.如aba2b2，且1，那么x________23511x112x114x74x4x525【分析】1，，x．23526543512551248家庭作业6xy111.对于任意的非零整数x与y定义新运算“△”：xy=,求．x2y2511366xy112552【分析】根据定义xy=于是有．x2y25119322510baba132.设a和b都是除0以外的数，若规定ab，ab□，那么1.324□的值是abab25多少？4213【分析】原式1.3△2425131.32.5△252.51.3131.32.525251211313第9级下超常体系教师版9\nab3.对于两个数a与b，规定ab*，已知x*(*10)xx，那么x________．2x10x*()x2x10x2【分析】x2x10x2x=10114.“*”表示一种运算符号，对于非零的x,y,它的含义是：xy，已知xyx1yA11221，求19981999．21211A312111【分析】根据题意得,,211A6,A1，所以211A32211A61111200019981998199919981999199811999119981999199920001998199920003998119981999200019980005.用{x}表示数x的小数部分，[]x表示x的整数部分。如{2.3}0.3,[2.3]2。若a[]15.3,b{}ab7.8,则a____,b____。【分析】根据题意，[]b是整数，所以a15.3[],b小数部分是0.3，那么b7.8{},ab7.80.37.5,由此可得a15.3[]15.37b8.3，所以a8.3,b7.5。6.用a*b表示a和b中较大的数除以较小的数所得的余数.已知(18*c)*18=4，并且c小于30，c等于______【分析】由已知可得18*c=22或14或7，因为c小于30，所以满足条件的c只有11或25.7.x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：xy*mxny，xykxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*25，2*3464，求12*3的值.【分析】x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，1△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：10第9级下超常体系教师版\n第13讲m2m1m3，2（舍去）n2nn13（1）当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.（2）当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k77有36k=64，解出k1，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k1这组值应舍去．99所以m=1，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.2a38.定义新运算：ab，那么20132012201165____.ab92a31111【分析】ab,当b6时，a6．因此只需要算5，因此答案为ab93332超常班学案a1【超常班学案1】对于非零自然数a,b,定义新运算为a⊙b，⑴求2⊙(3⊙4)的值；⑵若bx⊙41.35则x的值为多少？3121【分析】⑴因为3⊙41，所以2⊙(3⊙4)=2⊙1=3．41x1⑵x⊙41.35，x141.355.4,x4.4，所以x的值为4.4．4d【超常班学案2】对于a，b，c，d，规定a，b，c，d2ab，已知123，，，x2，则cx_________．x【分析】21223x423x23x66xy【超常班学案3】对于任意的非零整数x与y定义新运算“△”：x△y=(其中m是一个确定mx2y的整数).如果1△22，则2△9=_______·【分析】已知1△2=2，根据定义得第9级下超常体系教师版11\n61261△2=2，于是有m222m2629272m26，解出m1．所以2912295【超常班学案4】如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.若（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等于（21-5）16的大于5的因数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#x）8与（21#x）16.对于（21#x）8可分别解得，把21作被除数时：x13，把21作除数时为：x29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#x）16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x37，58……所有形如21N+16这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．123班学案【超常123班学案1】如果规定运算ab*a1b11，那么下列式子中正确的有个．①a*bcab*ac*②a1*a1aa*1③a*0a④a*bc*ab**c【分析】①令abc1，则左边1*22315，右边1*11*1221(221)6．从而式①不正确．22②左边aa21a2a1，右边a1a111a2a1，从而式②正确．③a*0a111a，从而③式正确．④左边a*[b1)(c11]a1b1c1111a1b1c11右边a1b11*ca1b1c11，从而④式正确．【超常123班学案2】对于任意数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=axbycxy,其中的abc,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。【分析】由题设的等式x※y=axbycxy及x※m=x(m≠0),得a0bmc0m0,所以bm=0,又m≠0,a2c3故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得2a6c4解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.12第9级下超常体系教师版\n第13讲【超常123班学案3】已知x、y满足x[]y2009，{}xy20.09；其中[]x表示不大于x的最大整数，{}x表示x的小数部分，即{}xx[]x，那么x_______【分析】根据题意，[]y是整数，所以x2009[]y也是整数，那么{}xx[]0x，由此可得y20.09{}x20.09020.09，所以[]y20，x2009[]y2009201989．【超常123班学案4】定义新运算如下：ab,为自然数a,b中的大数除以小数的余数．如7,52，15,194．按此规则，若35x50，则x,33,x,400中x的所有可能值的和为______.【分析】余数为0，意味着两数成倍数关系．分类讨论：情况1：若35x40，则x33的余数与40x的余数成倍数关系．40和33差7，和为7的数中只有1和6成倍数关系，因此x39．情况2：x40时，会出现除数为0的情况，不符合，舍去．情况3：40x50时，x33的余数与x40的余数成倍数关系，两个余数相差为7，因此较小余数必为7的因数．有余1和7两种情况．因此x41或x47．综上所述：所有可能值的和为39+41+47=127第9级下超常体系教师版13