第6讲第六讲质数与合数进阶知识站牌五年级寒假五年级秋季因数与倍数进阶因数与倍数初步五年级暑假质数与合数进阶五年级暑假质数与合数初步四年级春季整除特征进阶分解质因数；因数个数(和)定理．漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入一七四二年,哥德巴赫发现,每一个大于4的偶数都可以写成两个质数的和．例如6=3+3,又如24=11+13等等．他对许多偶数进行了检验,都说明这是确实的．但是这需要给予证明．因为尚未经过证明,只能称之为猜想．他自己却不能够证明它,就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉,请他来帮忙作出证明．一直到死,欧拉也不能证明它．从此这成了一道世界难题,吸引了成千上万数学家的注意．两百多年来,多少数学家企图给这个猜想作出证明,都没有成功．值得骄傲的是,到目前为止,这个世界难题证明的最好的,是我国著名的数学家陈景润,他的研究成果处于国际领先的地位．这一成果被命名为“陈氏定理”．但是他的证明离成功只有一步之遥,就匆匆的走完了他的一生．老一辈数学家留下来的任务,要靠我们这一代来完成,所有现在我们应该好好学习知识,说不定将来的第二位陈景润就在我们中间．教学目标1.熟练掌握分解质因数的方法,并能快速分解质因数；2.灵活利用分解质因数解决个数及其他问题．经典精讲1．质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公因数只有1的两个自然数,叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.2例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如1222323,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即：aaaanp1p2p3pk123k其中p为质数,a为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.ii例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7,∴可知这三个数是5、6和7.3部分特殊数的分解：105357；111337；999337；100171113；10031759；210071953；1111141271；1000173137；199535719；20073223；32220082251；2009741；20122503;10101371337.最小的3位质数是101,最小的4位质数是1009.2第9级上超常体系教师版\n第6讲2．因数个数定理aaaa设自然数n的质因子分解式如pp12p3pk.123k那么n的因数个数为dn()(a11)(a21)(a31)(ak1)aa121aa121自然数n的因数和为Snp1p1pp1p2p2pp111112222aa121pkpkpp1kkkk例题思路模块1：1-2,分解质因数基础；模块2：3-5,分解质因数应用；模块3：6-8,因数个数(和)定理.例1分解质因数,并写成标准式．（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660；(5)2013；(6)111555【分析】36023325,5397211,373是质数,2212660235211,201331161,1115553353767353767例2分解质因数,并写成标准式．(1)10!；(2)101214161820；(3)5556575859【分析】连续数相乘的分解质因数,用短除的方法会非常麻烦．若是考虑到最终的标准式中底数均为质数,而指数是出现的总次数,就可以只分析质因数即可．(1)10!中含有的质因数有2,3,5,7,其中质因数2出现的个数为1+2+1+3+1=8个(注：2,4,6,8,10中分别含有1,2,1,3,1个),质因数3出现的个数为1+1+2=4个,质因数5出现的个数为1+1=2842个,质因数7只出现了1次．因此10!2357．这种分析的方法在以后学最小公倍数里也可以用．(2)101214161820含有的质因数有2,3,5,7,出现的个数依次为11个,3个,2个,11132个．因此1012141618202357.(3)5556575859含有的质因数有2,3,5,7,11,19,29,59,出现的个数依次为44,1,1,1,1,1,1,1.因此5556575859235711192959.第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版3\n梅森素数众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。2300p年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“21”的形式，这里的指数p也是一个素数。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。而17世纪法国数学家、法兰西p科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“21”型的素数称为“梅森素数”。迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。例3在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数各是多少？(学案对应：超常1,带号1)【分析】17642233772(23)377,和是25;(22)3377,和是24;22(33)77,和是27;1(22)(33)77,和是28;1(23)(23)77,和是27;28244,所以甲是24环,乙是28环.【铺垫】三个连续自然数的乘积是210,求这三个数是多少？【分析】210分解质因数：2102357,可知这三个数是5、6和7。【铺垫】甲、乙、丙、丁四人打靶,每人打三枪。四人各自中靶的环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数.把四个人按个人总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙、丁.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？2【分析】60235,6016102310435256,和分别是17,15,12,13,那么4环是丁打的。【拓展】冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104。正确的乘积是多少？44【分析】11042323，其中只有2348含数字8，所以1104=48×23，正确结果是45×23=1035【拓展】两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）4第9级上超常体系教师版\n第6讲5【分析】480480480100123571113因为最高得分不超过20分，13只能单独，13超过了11分，所以另一得分是11或是15,3×5=15分，（1）当另一得分为15分时，则7可以配2的14分，刚好剩余了4个2，等于16分，所以三场比赛是16:14,15:13,11:1。（2）当另一得分为11分时，则超过11分的可以有12分、14分与15分；无法构成。所以各局比分是：16:14；15:13；11:1。例4请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组,使得这两组数的乘积相等。(学案对应：超常2)【分析】要使所分的2组的乘积相等,就要使得2组的乘积的质因数完全一样,将它们分解质因数有33322=2；5=5；1427；2423；273；55511；5627；99311。现在要将其分为两组,假设为第一组与第二组。根据题意,考虑第一组.如若27在第一组,则24与99均应在第二组；从质因数11可以看出,55应在第一组。从质因数5可以看出,5应在第二组；现在第一组有：27、55；第二组有：5、24与99；从质因数2可以看出,56应在第一组；从质因数7可以看出,14应在第二组,则2应在第一组。所以第一组有数：27、55、56、2；第二组有数：5、14、24与99。小结：此类问题可分三步解决：1.分解；2.统计；3.分配．【铺垫】请将4、9、10、14、15、21这六个数分为两组,使这两组的乘积相等.【分析】分解质因数得：2242,93,1025,1427,1535,2137统计得质因数2,3,5,7的个数分别为4,4,2,2.平分后个数分别为2,2,1,1分组如下：第1组：4,15,21第2组：10,14,9例5某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了1073棵,那么平均每人种了棵树？(学案对应：超常3)【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积,所以首先想到的是把1073分解成两数相乘,一个数为人数，一个数为每人种的棵数,10732937,注意到人数减去1是3倍数,所以人数是37,平均每人种了29棵。例6将16200分解质因数,并回答以下问题：(1)16200有多少个因数？第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版5\n(2)16200有多少个奇因数？(3)16200有多少个偶因数？(4)16200的因数中有多少个是3的倍数？(5)16200的因数中有多少个是6的倍数？(6)16200的因数中有多少个不是5的倍数？(7)16200的所有因数的积是多少？(用乘方表示)(学案对应：带号2)342【分析】首先对16200进行分解质因数,可以分解成16200235,所以(1)有（3+1）×（4+1）×（2+1）=60个因数；(2)奇因数有：（4+1）×（2+1）=15；(3)偶因数有：3×（4+1）×（2+1）=45个；或者从反面考虑,总因数有60个,而奇因数有60-15=45个；(4)其中有：4×（3+1）×（2+1）=48个是3的倍数。(5)有：3×4×（2+1）=36个是6的倍数。(6)有：（3+1）×（4+1）=20不是5的倍数。(7)因数是成对出现的,成对出现的因数相乘得16200,60个因数可以分成30组,因此16200的30所有因数的积是16200.【铺垫】240有多少个因数？4【分析】240235.42342的因数：1,2,2,2,2共5个.3的因数：1,3共2个.5的因数：1,5共2个.根据乘法原理,240的因数个数为：(41)(11)(11)20.【巩固】数160的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们的积又是多少?【分析】对任意一个自然数,我们首先可以将它作因数分解,化成质数及其次数的乘积,以160为例,我51们有16025.要算它的因数的个数,我们可以这样来理解：因数的因数只可能是2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数,从而因数的因数2的次数可以为0,1,2,3,4,5；而5的次数也只可能是0或1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：2345情况1：不包含5的因数：1,2,2,2,2,2,2345情况2：包含5的因数:15,25,25,25,25,25.从而我们可以任意地从中选若干个2,5的次数,即：(15)(11)12(个)奇因数有1+1=2个；偶因数有12-2=10个.至于要算它们的因数的积,我们可以将它的因数配对：一个因数和它被原数除的数组成一对(如2和80是160的一对).这样,对于非平方数而言,我们得到整数对,并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言,仅仅是多了一个数(它的开方),从而通过对它的因数的个数,可以求出它们的积.6对本题而言,我们有(1,160),(2,80),(4,40),(5,32),(8,20),(10,16)共6对.从而它们的积为160.例7(1)160的所有因数的和是多少？(2)1998的所有因数的倒数和是多少？(学案对应：带号3)52021222324255051636378.(1)16025,和为【分析】6第9级上超常体系教师版\n第6讲3(2)19982337,共16个因数．不妨设这16个因数由小到大依次为xxx1,2,3,,x16,因1111此此题求的是的值．x1x2x3x16因为一个数的因数是成对出现的．所以存在如下关系：xx116xx215xx891998．所以1111xxxx12316111111()()()xxxxxx11621589xxxxxx11621589xxxxxx11621589xxxxxx116215891998此时分母为1998,而分子为1998的所有因数的和．根据公式可得结果为(12)(13927)(137)456076019981998333SN()小结：正整数N的所有因数的倒数和为,其中SN()为N的所有因数和．N例8126拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？分别列出来．(学案对应：超常4,带号4)【分析】设126拆成n个连续数之和,且首项为k+1.即126(k1)(k2)(kn)2整理后可得(2kn1)n252．因为2k+n+1＞n,25216．因此n为252的因数且1n16．符合条件的n有2,3,4,6,7,9,12,14,又因为n与2k+n+1的奇偶性不同,所以2,6,14不符合要求．所以只有当n为3,4,7,9,12时,126能拆成若干个连续非零自然数之和．共5种拆法．注：我们可以看看符合条件的5种情况．252=3×84=4×63=7×36=9×28=12×21,可以看出每个式子中均有一个非1的奇质数．252共有6个奇因数,而5=“252的奇因数的个数”-1=“126(乘2不影响奇因数的个数)的奇因数的个数”-1．n3n4n7n9n12拆法如下：(需要先求出对应的n和k,;;;;)k40k29k14k9k4126=41+42+43=30+31+32+33=15+16+…+20+21=10+11+…+17+18=5+6+…+15+16小结：把整数Ｎ拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和的拆法总数为：Ｎ的奇因数个数-1【拓展】有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法。这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）【分析】连续20个正整数的和可以写成“10×奇数”的方式．因此原数至少有质因数2和5.根据例题的规律，拆成连续正整数之和的方式为“奇因数个数-1”，因此这个数的奇因数个数为2020+1=21个．奇因数不需要考虑2，21=20+1=(2+1)×(6+1)，对应的最小数分别为25和6262235，其中最小的为235第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版7\n不说话的学术报告1903年10月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑67板前，没说话，用粉笔写出21，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了2自乘67次再减去1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？答案：至少156天．知识点总结1.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即：npa1pa2pa3pak123k其中pi为质数,ai为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式(分解质因数的标准式).2.因数个数(和)定理aaaa设自然数n的质因子分解式如pp12p3pk.123k那么n的因数个数为dn()(a1)(a1)(a1)(a1)123kaa121aa121自然数n的因数和为Snp1p1pp1p2p2pp111112222aa121pkpkpp1kkkk家庭作业1.分解质因数,并写成标准式．(1)8547,(2)7812392332【分析】(1)8547371137；(2)781239321323313231320!2.将分解质因数,并写成标准式．10!20!1042【分析】111220235711131710!8第9级上超常体系教师版\n第6讲3.已知5个人都属牛，他们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？22【分析】分解因数得到589225571337113253749，五个人的年龄和为1+13+25+37+49=125岁。4.请将33,9,65,85,91,22,34,21这8个数分成两组,使每组4个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：233311,93,65513,85517,91713,22211,34217,2137统计得质因数2,3,5,7,11,13,17的个数分别为2,4,2,2,2,2,2.平分后每组的个数分别为1,2,1,1,1,1,1个．最终结果如下：第1组：33,21,65,34第2组：22,9,91,855.张老师带领同学们去种树,学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积,而每个人种的棵数又不超过10,所以通过枚举法来解(注意人数减去1后是3的倍数)：1312,3121311不是3的倍数；2156,1561155不是3的倍数；3104,1041103不是3的倍数；478,78177不是3的倍数；652,52151是3的倍数；839,39138不是3的倍数；共有51个学生,每个人种了6棵树.6.210210有____个因数,其中有____个奇因数.【分析】对210210进行分解质因式,可得2210210210100123577111323571113,所以其因数个数为(1+1)×(1+1)×(1+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=96.其中奇因数有：(1+1)×(1+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=48个.7.(1)100的所有因数的和为____.(2)100的所有因数的倒数和为____.21722【分析】10025,(1)所有因数的和为(124)(1525)217；(2)所有因数的倒数和为1008.2013拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？【分析】201331161,根据例题的结论,共有(1+1)×(1+1)×(1+1)-1=7种拆法．超常班学案【超常班学案1】（老师可以先引入：小明一家四兄弟,大哥叫大毛,二哥叫二毛,三哥叫三毛,那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人,他们的年龄一个比一个大2岁,他们四个人年龄的乘积是48384.问他们四个人的年龄各是几岁？【分析】题中告诉我们,48384是四个人年龄的乘积,只要我们把48384分解质因数,再按照每组相差2来分成四个数相乘,这四个数就是四个人的年龄了。8348384237第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版9\n242(23)(27)2(23)12141618由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。［巧妙解法］由题意可知,这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数,当然这四个数不是奇数,一定是偶数.又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中,没有个位数字是0的,那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8.44又因为1048384,而4838420,所以可以断定,这四个数一定是12、14、16、18。也就是说,这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。【超常班学案2】请将14,33,35,30,75,143,169,39这8个数平均分成两组,使每组4个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：221427,33311,3557,30235,7535,1431113,16913,39313统计可得：质因数2,3,5,7,11,13的个数分别为2,4,4,2,2,4.平分后个数应该分别为1,2,2,1,1,2分组如下：第1组：14,75,33,169第2组：30,35,143,39,或第1组：14,75,143,39,第2组：30,35,33,169【超常班学案3】某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师,14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?【分析】这个学校最少有35+14×34=469名师生,最多有35+14×45=665名师生,并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133,在469～665之间的因数只有5×133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995÷665=3元．【超常班学案4】60拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？分别列出来.2【分析】60235,非零的奇因数共有(1+1)×(1+1)－1=3个．如例题分析,n3n5n8(2kn1)n120,120=3×40=5×24=8×15.对应的值如下：;;k18k9k3拆法如下：60=19+20+21=10+11+…+13+14=4+5+…+10+11123班学案【超常123班学案1】2004720的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积,这三个连续自然数之和最小是多少？【分析】首先分解质因数,20047202222357167,其中最大的质因数是167,所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.1653511,166283,16822237,1691313,所以165166167,166167168,167168169都没有4个2,不满足题意.说明167不可行.尝试3341672,335567,336222237,10第9级上超常体系教师版\n第6讲3343353362222235767167,包括了2004720中的所有质因数,所以这组符合题意,以此三数之和最小为1005.【超常123班学案2】数3600的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们的积又是多少?422【分析】3600235，共有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个因数；奇因数个数为(2+1)×(2+1)=92245个；45-9=36个偶因数；它们的积为60360060【超常123班学案3】求720的所有因数的倒数之和．(124816)(139)(15)403【分析】72024325,如例题的分析,可知最终结果为720120【超常123班学案4】下面几个数能否拆成若干个(至少2个)连续奇数之和,如果能,至少写出一种拆法．如果不能,说明原因．并回答什么样的数可以拆成若干个连续奇数之和．(1)45(2)60(3)70【分析】设M可以拆成首项是k(k为奇数),公差为2,项数为n的连续奇数之和．即Mk(k2)(k2n2)(kn1)n．因为k为奇数,所以(k+n-1)与n奇偶性相同．即当M为奇数或4的倍数时,此式能成立．因此45,60可以拆成,而70不能拆成．拆法如下：n3n5(1);,对应的拆法如下：45=13+15+17=5+7+9+11+13k13k5n2(2),对应的拆法如下：60=29+31k29(3)70仅是2的倍数,不是4的倍数,因此无法拆成．第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版11