第7讲第七讲牛吃草知识站牌五年级秋季五年级秋季工程问题分数应用题五年级暑假牛吃草四年级秋季平均数进阶三年级春季年龄问题经典的牛吃草问题；牛吃草问题的变形漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。教学目标1.熟练掌握经典牛吃草问题的处理方式；2.掌握牛吃草问题的本质，会处理变形的牛吃草问题．经典精讲牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？这就是经典的“牛吃草问题”，这道题的关键在于，草的总量是变化的（草要不停地长哦）。同学们，今天我们就来学习这个非常有趣的数学题目。“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有三步：1、求出草的生长速度2、求出牧场原有草量3、最后求出可吃天数或牛的头数相关公式⑴草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；⑵原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑶吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；⑷牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。2第9级上优秀A版教师版\n第7讲例题思路模块1：1-3,经典牛吃草问题模块2：4-5,变形的牛吃草.例1有一块匀速生长的草场，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？(学案对应：学案1)【分析】设1头牛1周的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162份；23头牛吃9周共吃了239207份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这45份草是牧场的草963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：16261572．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．27头牛6个星期23头牛9个星期3个星期21头牛？个星期【巩固】有一块匀速生长的草场，30头牛5天可以吃完，或者35头牛4天可以吃完。若是20头牛，要___天才可以吃完。【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，则每天草的生长量为(305354)(54)10，原有草量为(3010)5100，需要天数为100(2010)10天【巩固】有一块匀速生长的草场，12头牛10天可以吃完，或者15头牛6天可以吃完。若是9头牛，要___天才可以吃完。【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，则每天草的生长量为(1210156)(106)7.5，原有草量为(127.5)1045，需要天数为45(97.5)30天例2有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？(学案对应：学案2)【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015天生长的草量为1225241060，所以第9级上优秀A版教师版3\n每天生长的草量为60154；原有草量为：24410200．20天里，草场共提供草200420280，可以让2802014头牛吃20天．想想练练：有一块匀速生长的草场，8头牛9天可以吃完，或者10头牛6天可以吃完。若是____头牛，要12天就可以吃完。【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，则每天的生长量为(89126)(96)4，原有草量为(84)936，需要牛数为361247头.牛顿的故事牛顿非常勤奋，他一生中的绝大部分时间是在实验室度过的，他常通宵达旦地做实验，有时一连六个星期都在实验室工作，不分白天和黑夜，直到把实验做完为止。有一天，他请一个朋友吃饭。可是朋友来了，他却还在实验室里工作。吃饭的时间早过了，还不见牛顿从实验室里出来。朋友饿急了，就自己到餐厅里把一只鸡吃了，鸡骨头留在了碗里。过了一会儿，牛顿来到餐厅，看到碗里有很多鸡骨头，不觉惊奇地说：“原来我已经吃过饭了。”于是又回到了实验室工作。又有一次牛顿一边思考问题,一边准备煮鸡蛋。不知不觉地把自己的怀表扔进锅里煮了起来。牛顿就是这样忘我，这样孜孜不倦地钻研学问的。牛顿虽然是位伟大的科学家，却从来没有骄傲自满过，他谦虚地说：在科学的道路上，我们只是一个在海边玩耍的孩子，偶然拾到一块美丽的石子。至于真理的大海，我还没有发现呢！例3有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【分析】法1：“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为11204016480草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天吃草88草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。法2：也可以把题目中的“牛”全部换成羊。这样，题目变为“若56只羊30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完。那么，1742088只羊多少天可将草吃完?”例4仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。若用3辆汽车运则需要多少天运完？4第9级上优秀A版教师版\n第7讲(学案对应：学案3)【分析】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2，原有存货为(42)918，若用3辆汽车运则需要18(32)18（天）想想练练：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水,8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【分析】设1人1小时淘出的水量是“1”，进水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)324，要求2小时淘完，要安排242214人淘水。例5某游乐场在开门前有400人排队，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入10个游客，如果开放了4个入口，20分钟后就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门分钟后没有人排队.(学案对应：学案4)【分析】我们可以把入场口看成是“牛”，人看成是“草”，每分钟来的人数看成是草的生长速度，那么每分钟来的人是(42010400)2020（人），由于一个入口每分钟可以进入10人，所以要有两个入口专门使新来的人进入游乐场，所以原来排队的人可以理解为从剩下的入口进入，因此过400[(62)10]10分钟就没有人排队.想想练练：假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【分析】(9021011090)(21090)75亿人。古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：5一条长80安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的黑蛇，以天爬1411117安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每天长安古拉。请你算一算，这条大蛇多少天全244部进洞？答案：黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长，要求出黑蛇全部爬进洞的时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度：15111黑蛇爬行的速度=721；蛇尾生长的速度11；21444二者的速度差=21-11=10全部进洞的时间=80÷10=8（天）第9级上优秀A版教师版5\n附加题1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120．若有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)．2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105150；10天吃完需要牛的头数是：15010105(头)．3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？【分析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2；原来牧场有草(252)4108，12天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。杯赛提高一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为：5130120．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．知识点总结“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有三步：1、求出草的生长速度2、求出牧场原有草量3、最后求出可吃天数或牛的头数6第9级上优秀A版教师版\n第7讲相关公式⑴草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；⑵原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑶吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；⑷牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。家庭作业1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．那么它可供25头牛吃几天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100。供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．2.有一块匀速生长的草场，10头牛7天可以吃完，或者12头牛5天可以吃完。若是____头牛，35天就可以吃完。【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，则每天的生长量为(107125)(75)5，原有草量为(105)735，需要牛数为353556头.3.一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210，原有草量为：161020120．10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．4.码头仓库原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用3辆汽车，则40天恰好运完；如果每天用6辆汽车，则16天恰好运完。若用5辆汽车运，则需要多少天运完？【分析】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(340616)(4016)1，原有存货为314080，仓库里原有的存货若用5辆汽车运则需要805120（天）5.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【分析】设1人1分钟淘出的水量是“1”，401624分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080．5人淘水需要第9级上优秀A版教师版7\n805120(分钟)把水淘完．6.画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【分析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8:30到9:00共30分钟，3个入口共进入33090。8:30到8:45共15分钟，5个入口共进入51575，15分钟到来的人数907515，每分钟到来15151。8：30以前原有人33013060。所以应排了60160（分钟），即第一个观众在7：30来。A版学案【学案1】有一片牧场，草每天都在均匀的生长。如果在牧场上放养24头牛，那么6天就可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。那么：（1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛？（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？【分析】(1)设1头牛1天的吃草量为“1”，那么862天生长的草量为21824624，所以，每天生长的草量为24212。也就是说，每天生长的草量可以供12头牛吃1天。那么要让草永远也吃不完，最多放养12头牛。(2)原有草量(2412)672，可供36头牛吃72(3612)3天。【学案2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【分析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供牛的头数为72181519（头）【学案3】有一池水，池底有泉水不断涌出，想要把水池里的水抽干，10台抽水机需要8小时，8台抽水机需要12小时，如果要用6小时将水抽完，那么需要多少台抽水机？【分析】设1根抽水管1小时抽水的量为“1”，那么1284小时进水量为81210816，即每小时进水量为1644，原有水量为：104848．要用6小时将水抽完，需要抽水机的台数为：486412(台)．【学案4】超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了.【分析】我们可以把收银台看成是“牛”，前来排队的顾客看成是“草”，“银台平均每小时有60名顾客前来排队付款”，说明草的生长速度是60，所以原来排队的顾客有80460480，所以过80(28060)0.8小时就没有人排队了.8第9级上优秀A版教师版