第8讲第八讲列方程组解应用题知识站牌五年级秋季五年级秋季方程法解行程工程问题五年级暑假列方程组解应用题四年级春季方程与方程组四年级秋季列方程解应用题解方程组，列方程组解应用题漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入很多同学害怕利用方程(组)解应用题，是因为我们对方程（组）不熟悉.其实方程是用顺向思维去思考问题，根据题目中的等量关系，直接列出含有未知数的等式，在解决应用题时会比算术方法更快速、更方便.正由于它的优越性，方程(组)广泛应用于数学、物理等理科研究中.今天让我们一起用这种高效的方法去解决应用题吧！教学目标1、复习解方程与解方程组，能熟练解二元一次方程组及轮换三元一次方程组；2、能够通过题目意思，找到题目中的等量关系，并能根据等量关系列出方程组。经典精讲一、等式（1）等式：含有等号的式子；（2）等式基本性质1：等式两边同时加上同一个数或减去同一个数，等式仍然成立；即如果A=B，那么A±m=B±m．（3）等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不等于零的数，等式仍然成立；AB即如果A=B，那么Am=Bm或（m、n为两个数，n≠0）．nn二、一元一次方程（1）方程：含有未知数的等式；（2）一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程；（3）一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；（4）解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1三、二元一次方程（组）（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数均为1的方程；（2）二元一次方程组：由若干个二元一次方程组成的方程组；（3）二元一次方程的解：适合于一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解；（4）二元一次方程组的解：满足方程组中每一个方程的解就是这个方程组的解；（5）解二元一次方程组的基本思想：消元（6）解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法2第9级上优秀A版教师版\n第8讲四、列方程组解应用题的基本步骤：(1)审：分析题意．认真读题,反复审题,弄清问题中的已知量是什么,未知量是什么,它们之间有什么等量关系；(2)设：合理选择未知数是解题的关键步骤之一．可直接设元,也可间接设元；(3)列：根据题目中的已知条件,利用等量关系列出方程(组)；(4)解：求出未知数的值；(5)答：对方程(组)的解进行检查验算,看是否符合题意,针对问题作出答案.例题思路模块1：例1，解方程与方程组模块2：例2-4，二元一次方程组解应用题例2：简单类方程组应用题例3：化简类方程组应用题例4：倍数类方程组应用题模块3：例5，多元一次方程组解应用题例5：轮换方程类应用题例1解下列方程(组)：（1）4x6=3x1（2）12（3x4=）x3xy5（3）5x2y122x5y17（4）3x6y21xy5（5）yz6zx7(学案对应：学案1)【分析】（1）方程的解为x=5（2）方程的解为x=4x2（3）可用加减消元法或代入消元法，方程组的解为y12x5y17x1（4）化简原方程组得：，之后利用加减法解得.x2y7y3x3（5）三式相加再除以2可得：x+y+z=9，之后分别减去原三式可得y2z4第9级上优秀A版教师版3\nx5y0想想练练：解方程组：3x2y17x5【分析】方程组的解y1例2甲、乙二人每小时一共可加工27个零件，甲加工3小时的零件比乙加工4小时的零件还多4个．问：甲乙每小时各加工多少个零件？（学案对应：学案2）【分析】解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件.则：xy27x16解得3x4y4y11答：甲每小时加工16个零件，乙每小时加工11个零件．想想练练：苹果和梨共80斤，价值210元，已知苹果2元一斤，梨3元一斤，那么苹果和梨各多少斤？【分析】解：设苹果x斤，梨y斤，则：xy80x30解得．2x3y210y50答：苹果有30斤，梨有50斤．“元”的概念宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶1248年写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数”。所以现在在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未知数的方程叫“一元方程”。而两个以上的未知数，在古代又称为“天元”、“地元”、“人元”。例330辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？（学案对应：学案3）【分析】设每辆小车每次运货x吨，每辆卡车每次运货y吨，则：30x3y7510xy25化简得45x6y12015x2y40x2解得y5答：每辆小车每次运货2吨，每辆卡车每次运货5吨。4第9级上优秀A版教师版\n第8讲例4一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍．问：男孩、女孩各有多少人？(学案对应：学案4)【分析】解：设男孩有x人，女孩有y人．则：(x1)y5x14解得.x2(y1)y8答：男孩有14人，女孩有8人．想想练练：小宝和小峰互相借阅课外书，小宝说：“如果你借给我7本书，我的书就是你的3倍”，小峰说：“如果你借给我8本书，我的书就是你的2倍”，那么他俩各有多少本书？【分析】解：设小宝有x本，小峰有y本．则：x73(y7)x20解得y82(x8)y16答：小宝有20本书，小峰有16本书．例5王先生看到甲带着乙，丙，丁在玩，于是就问他们分别多少岁了．年龄较大的甲先回答了，其他三人也学着甲回答．四人的回答如下：甲说：不算我，他们三人年龄之和为24岁；乙说：不算我，他们三人年龄之和为30岁；丙说：不算我，他们三人年龄之和为31岁；丁说：不算我，他们三人年龄之和为32岁．聪明的你能告诉王先生，甲多少岁了吗？【分析】解：设这四个人的年龄分别为x,a,b,c,则：abc24bcx30cxa31xab32四式相加除以3后，再减①式可得x=15.答：甲15岁．第9级上优秀A版教师版5\n老师家的电话号码五年级一班同学想知道数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，你们得动动脑筋。”接着说，“我家的电话号码是八位数，前四位数字相同，后四位数字是从大到小的连续的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，巧的是，这个号码的后五位数字也是连续的自然数，这回你们能知道我家的电话号码了吗？”答案：电话号码为88887654杯赛提高一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡.如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡.如果从右盘两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡.问：白球、黑球每个各重多少克？【分析】解：设白球重x克，黑球重y克，因为，原来天平是平衡的，在进行调整后天平重新达到平衡，但总重量增加了一个砝码的重量.对于第一次调整，增加了20克，对于第二次调整，增加了50克.那么实际上，第一次调整，天平两边各重了10克，第二次调整各重了25克.通过天平一侧的重量变化建立方程组：2yx10x202xy25y15答：白球每个重20克，黑球每个重15克.附加题1、某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【分析】解：设小明答对了x道题，答错了y道题.则：404xy102x16解得603x3y102y2162220答：考试一共有20道题.2、一条鱼分为鱼头、鱼身、鱼尾三段。如果鱼尾重1千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重6第9级上优秀A版教师版\n第8讲量，鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。请问：这条鱼有多重？【分析】解：设鱼头的重量为x千克，鱼身的重量为y千克，则：1xy1x32解得yx1y41348答：这条鱼一共有8千克.知识点总结1、解方程组解多元一次方程组的基本思想：消元解多元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法2、列方程组解应用题的基本步骤：(1)审：认真读题,反复审题,弄清问题中的已知量是什么,未知量是什么,它们之间有什么等量关系；(2)设：合理选择未知数是解题的关键步骤之一．可直接设元,也可间接设元；(3)列：根据题目中的已知条件,利用等量关系列出方程(组)；(4)解：求出未知数的值；(5)答：对方程(组)的解进行检查验算,看是否符合题意,针对问题作出答案.家庭作业11x9y491、解方程组：13x3y17x2【分析】方程组的解为y32、长方形周长是64厘米，长比宽多2厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？【分析】解：设长方形的宽是x厘米，长为y厘米.则2(xy)64x15解得yx2y17答：长方形的长17厘米，宽15厘米．3、六年级学生去秋游，要分成15个组，一部分由8人组成一个小组，另一部分由5个人组成一个小组，8人组成小组的总人数比5人组成小组的总人数多3人，求六年级共有多少名同学参加秋游？【分析】解：设8人小组有x组，5人小组有y组，则:xy15x6解得8x5y3y9第9级上优秀A版教师版7\n共有8×6+5×9=93(人)答：共有93人参加秋游．4、甲、乙二人2小时共可加工54个零件，甲加工3小时的零件比乙加工4小时的零件还多11个．问：甲乙两人每小时各加工多少个零件？【分析】解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件.则：2x2y54x17解得3x4y11y10答：甲每小时加工17个零件，乙每小时加工10个零件．5、有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？【分析】解：设原来大盘有苹果x个，小盘有苹果y个.则：x1y1x5解得x13y1y3答：大盘原来有苹果5个，小盘原来有苹果3个．6、四个自然数，每次取其中的三个相加，得到四个和，分别为22，24，27和20，求这四个数各是多少？【分析】解：设这四个数分别为a,b,c,d，则：abc22a7bcd24b4解得cda27c11dab20d9答：这四个数分别为7、4、11、9．A版学案9x2y20【学案1】（1）解方程：15（2x3=5）x（2）解方程组：3x4y10【分析】（1）方程的解为x=3x2（2）方程组的解为y1【学案2】商店有胶鞋、布鞋共45双，胶鞋每双35元，布鞋每双24元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多100元．问：两种鞋各多少双？【分析】解：设胶鞋有x双，布鞋有y双，则：xy45x20解得35x24y100y25答：胶鞋有20双，布鞋有25双．【学案3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了112个8第9级上优秀A版教师版\n第8讲松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？【分析】解：设晴天有x天，雨天有y天，则：20x12y1125x3y28化简得14(xy)112xy8x2解得y6答：其中6天下雨.【学案4】教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍.问：最初有多少名女生？【分析】解：设原来男生人数为x，女生人数为y，则：x2(y10)5(x9)(y10)x10解得y15答：最初有15名女生．第9级上优秀A版教师版9