第9讲第九讲数阵图综合知识站牌五年级秋季五年级秋季数字谜中的最值神奇的9五年级暑假数阵图综合四年级春季数独四年级春季横式数字谜复习数阵图；在数阵图进阶的基础上综合漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之.”河图洛书是最早的数阵图.其对中华文化的影响深远，明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，中华文化起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化.大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端.这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一.从洛书发端的幻方等数阵图在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题.教学目标1.能熟练掌握数阵图的基本解题思路，并能运用基本解题思路解决基本数阵图问题；2.掌握并运用幻方解决数阵图问题；3.能够理解并能利用数阵图的基本解题思路解决复杂数阵图问题.经典精讲把一些数，按照一定的要求，排成各种各样的几何阵列，这样的图形叫做数阵图，数阵图是一类非常有趣而且奇特的数学问题．这类问题中，最早出现的是纵横图，也就是把数纵横排列成正方形.尽管数阵图各式各样，花样繁多，但数阵中线或区域上的数要求满足特定关系.数阵图大体可以分为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图解决数阵图问题的基本思路如下：1、区分数阵图中的普通格和关键格；2、利用所有数之和、幻和（关系线或关系区域上的数之和）的数量关系；确定关键格的可能值与幻和可能值；3、运用已经得到的信息进行尝试填图．2第9级上超常体系教师版\n第9讲例题思路模块1：例1-3，基本数阵图例1：辐射型数阵图例2：封闭型数阵图例3：幻方变化型数阵图模块2：例4-5,复合型数阵图例4：简单复合型数阵图例5：综合复合型数阵图模块3：例6-8,千姿百态数阵图例6：花瓣型数阵图例7：奥运环数阵图例8：六角数阵图例1（1）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等.如果中心圆内填的数相同，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.（2）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上的三个数和大圆上的三个数之和都等于10.（3）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上的三个数和两个圆上的三个数之和都相等.第9级上超常体系教师版3\n（学案对应：超常1）【分析】（1）首先确定中间数：设每边和为k，(abc)(cde)(cfg)kkk(abcdefg)2c3k282c3k282c是3的倍数c14或或7k101214或或（2）先考虑三条直线，则30=1+2+3+4+5+6+7+2A=28+2A,A=1，答案如图所示（答案不唯一）：（3）设每条直线和大圆上的三个数相等的和为S，先考虑三条直线，则3S=1+2+3+4+5+6+7+2A=28+2A,说明（28+2A）是3的倍数，所以A可以取1,4,7再考虑两个大圆，则2S=28-A，说明（28-A）是2的倍数，所以A为偶数，所以A=4，如图所示（答案不唯一）：4第9级上超常体系教师版\n第9讲例2把1～8填入图的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数之和相等，且小正方形顶点的数之和是大正方形顶点的数之和的一半.（学案对应：带号1）【分析】按图将圆圈依次编号：abcdefgh(acfh)(bdeg)2(bdeg)(bdeg)3(bdeg)1234567836bdeg12123612124512设三角形三数之和为k(abd)(bce)(fdg)(geh)4kabcdefgh(bdeg)4k(1238)(bdge)4k36124k484k12k先填8，确定1和3，再填7，确定2，然后将其他数填上，可得答案：【巩固】把1～8这八个数填入图中的八个圆圈内，使得每条边上三个数之和都相等，那么这个和最大是多少？并请给出一种填法.第9级上超常体系教师版5\n【分析】设每条边三个数之和为S，则4S=（1+2+…+8）+A+B+C+D=36+A+B+C+D，这说明（36＋A+B+C+D）是4的倍数，所以A+B+C+D之和为4的倍数，最大为24.此时S=15，24=8+7+6+3=8+7+5+4，经试验8+7+5+4不能构成，答案如下（不唯一）：例3（1）把1，2，3，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个三角形及三条线段上3个数之和都相等．（2）下图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等．（3）把1，2，…，16填入图中16个空白圆圈内，使得四个长方形及四条线段上4个数之和都相等．（学案对应：超常2、带号2）【分析】（1）由三个三角形的和相等，可得和为45÷3=15，而1-9中三数之和为15的8种情况在三阶幻方中均出现了．原图中每个数在线段上，三角形中均出现了2次．因此可以在三阶幻方中选同一行(列)三数放入任一线段或三角形中，而对应的同一列(行)三数放入对应的三角形或线段中．下图是两种基本放法．6第9级上超常体系教师版\n第9讲（2）由三个三角形的和相等，可得和为45÷3=15，将1～9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有两种分法，三阶幻方的三横或三竖.设三条直线上四个数的和为S，则3S=45+15，S=20.经尝试，中间三个数只能填9、5、1或3、5、7中间三个数填9、5、1时，得到一个基本解如图2；中间三个数填3、5、7时，得到另一个基本解如图3.图1图2图3（3）先编制好一个四阶幻方，见左下图（老师铺垫怎么编制），接着把幻方的第一行放在数阵图的一条线段上，接着把幻方的第二行填在数阵图的第二条线段上，但是要保证16和5在同一个正方形上面，2和11,3和10及13和8也在同一正方形上面；接着把幻方第三行放在数阵图第三条线段上，同时保证16,5,9在同一正方形上，2,11,7在同一正方形，3,10,6在同一正方形；最后把幻方的第四行放在数阵图的最后一条线段上，保证16,5,9,4一个正方形，同理其它的每一竖行在一个正方形就可以了，见右下图（本题答案不唯一）1621623133135111084141518101151297612674141519第9级上超常体系教师版7\n幻方与反幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。而任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等的图表，称为“反幻方”。反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。如下图3阶反幻方的比较（图中边框外围的数之和就是幻和）：例4将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为_______.【分析】设每条直线上圆圈内所填数之和为s,除去位置A处的数，剩下的8个数恰好组成三行，也就是说1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3s.因此，A一定是3的倍数，也就是说A=3，6或9，而相应的s就等于14，13或12.但是，如果A=9的话，那么右下角的圆圈内只能填1或者2了，此时就要求左下角的数至少为10，显然不可能.如果A=6，则每条直线上圆圈内所填数之和等于13，而在下图中我们知道B=C+6（比较法），因此就要D+6+B=C+D+12=13，是不可能的.所以A=3，而相应的s就等于14，由D+B+6=14和B=C+3可得C+D=8.然后我们就可以找到一种填数的方法，使得每条直线上圆圈内所填数之和就等于14.答案如下图：8第9级上超常体系教师版\n第9讲【铺垫】将数0，1，2，，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和都等于13.【分析】先考虑除A以外的三个三角形，则3×13=1+2+…+9-A=45-A，所以A=6，因此B+C=D+E=F+G=7，7=0+7=1+6=2+5，将它们填入B、C、D、E、F、G中，最后填出所有数，如图所示（答案不唯一）：例5将自然数1～11填入下图的11个圆圈内（其中3和9已填入），使得每条直线（共10条）上的三个数之和都相等.（对应学案：超常3）【分析】本题中A由5条线共有，因此应当首先确定A（关键格）以及每条直线三个数的和.设每条直线的三个数之和为S；首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=66+A，联立两式，解得A=6,S=(66+6)÷4=18.然后考虑不包含A的五条线如图3，其中B由三条线共有.注意到这五条线上的数没有6，在除6以外的十个数中，三个数的和等于18的共有以下八组：18=11+5+2=11+4+3=10+7+1=10+5+3=9+8+1=9+7+2=9+5+4=8+7+3，其中同时出现在三个算式中的数只有3、7、9，所以B只能为3、7、9，而3、9已经出现，所以B=7，然后依次填出其他各数，答案如图4：第9级上超常体系教师版9\n图1图2图3图4例6将1～12填入图中的12个区域内，使得每个圆圈内的4个数之和都相等.（学案对应：带号3）【分析】如图1，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到：A+B+2+5=B+C+7+8，则A-C=8.因此要么A=9，C=1或者A=11，C=3（因为12和10已经有了）.如果A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道D=E-10（为什么？大家自己思考），所以不可能.因此A=9，C=1，那还剩下4个数需要填：3，6，11，12.由于10+D+9=E+4+7，于是D+8=E.所以就有D=3而E=11.剩下的数就很简单了.答案如下图2：图1图210第9级上超常体系教师版\n第9讲例7下图是奥林匹克五环标志，五个圆圈内共分成了九个部分.请在这九个部分中填入1～9这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等.请问：这个和最大是多少？（学案对应：带号4）【分析】设每个大圆圈内数之和为S，3S=1+2+3+4+5+6+7+8+9-c-g=45-c-g，要使S最大，则c和g最小，取1和2，得出S=14.构造如下图，所以和最大为14.例8下图是有名的“六角幻方”：将1～19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等.美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答.如今已用计算机证明“六角幻方”也只有阿当斯构造的一种解，现在我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”.（学案对应：超常4）【分析】首先，根据每条线上的和相等，设这个和为s,只看横行可以得到5s=1+2+3+…+19=190，所以s=38,所以F=38-13-8-11=6;设外围12个数之和为x，因为A13B38，E11L38M19I38，所以C1217x383，同理13+19+11=-383x，所以x157C+12+17=13+19+11=43，C=14从而J38146171，K38111197，H38177122，D38192134，G190x684271190157285，如图表示：第9级上超常体系教师版11\n最后剩下的数有3，9，10，15，16，18，由于A+M=38-8-5-7=18=3+15，L+M=21=3+18，所以M=3，A=15，L=18，从而E=9，I=16，B=10.答案如下：九株十行英国一位数学家1821年出了一道题智力题：春风艳阳暖，园中植树忙，每行植三株，九株栽十行。意思就是有九棵树，种成十行，要求每行要有三棵树，应该怎么种?答案：图中点表示树知识点总结数阵图大体可以分为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图解决数阵图问题的基本思路如下：12第9级上超常体系教师版\n第9讲1、区分数阵图中的普通格和关键格；2、利用所有数之和与幻和（关系线或关系区域上的数之和）的数量关系；确定关键格的可能值与幻和可能值；3、运用已经得到的信息进行尝试填图．附加题1、将1～9分别填入图中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都相等.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.569【分析】设每个三角形三个顶点的数之和为S，则3S=1+2+…+9=45，S=15.然后根据三角形三个顶点之和为15，填出A=4，B=1，C=8，D=2，E=7，F=37352468912、把1～6这六个数填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最大是多少？最小是多少？【分析】设每边之和为k，第9级上超常体系教师版13\nkkk123456abc3k21abck最大时3k21456k12k最小时3k123k93、图中共有10个圆圈，6条直线.请问：（1）能否将1～10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（2）能否将0～9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1～11中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等.【分析】（1）如果把6条直线上的每一个数都加起来，则说明1到10每一个数加两遍，设幻和为55k，则6k=2×（1+2+…+10），k=，不符.所以不能.3（2）如（1）的方法，可以得到幻和为15，那么上下两横线的和为30，中间两个圆圈的和为（0+1+2+……+9）-2×15=15.所以只能为7+8或6+9，当中间两圆圈填7和8时，9和7或8的和均已经超过15，不能；当中间两圆圈填6和9时，8只能和6在同一条直线上.所以1、6、8在同一条直线上，由和9在一条直线上（共两条）的两个数之和为6，6=1+5=2+4，所以1还必须和9在同一条直线上，不能满足要求，所以不能.（3）如（1）的方法，有6k=2×（1+2+……+11-x），可知，x为3的倍数，只能为3、6和9.经试验，都可以，和分别为21、20和19.例如：14第9级上超常体系教师版\n第9讲家庭作业1、将1～5这5个数填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等.【分析】我们先求出这个相等的和，我们发现，如果把每横行、竖行、大圆周和都加起来，相当于把每个圆圈里的数加两遍（1+2+3+4+5）×2=30.而这个相等的和加了三遍，这个相等的和为30÷3=10，经过调整，可填一种.2、在图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整.116976【分析】a9b76ba4，所以每条边上各数之和为：116421，然后填出其它数如图2图1图23、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都等于14.第9级上超常体系教师版15\n【分析】法1：由于每条线上各数相等，所以A+1+D=F+9+D，所以A-F=8，所以A=10，F=2，由B+E+2=B+3+10，得E=11，这时还剩三个数4、5、6，所以B+C+D=5+6+7=18，每条线上所有数之和为18,，因此B=5，C=6，D=7，如图：法2：先把这9个数填入三阶幻方中，如左下图所示，然后顺时针旋转45度，然后依次填入即得到答案：4、将数0，1，2，，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和都等于14.【分析】先考虑除A以外的三个三角形，则3×14=1+2+…+9-A=45-A，所以A=3，因此B+C=D+E=F+G=11，11=2+9=4+7=5+6，将它们填入B、C、D、E、F、G中，最后填出所有数，如图所示（答案不唯一）：16第9级上超常体系教师版\n第9讲5、将自然数1～11填入下图的11个圆圈内（其中3和5已填入），使得每条直线（共10条）上的三个数之和都相等.【分析】本题中A由5条线共有，因此，应当首先确定A（关键格）以及每条直线三个数的和.设每条直线的三个数之和为S；首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=66+A，联立两式，解得A=6,S=(66+6)÷4=18.然后依次填出其它数，答案如图3：图1图2图36、请分别将1，2，4，6这四个数填在图中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.【分析】ad3，bd7，cd5所以a+b+c+d+2d=15，而a+b+c+d=13，所以d1，a=2，b6，c4。第9级上超常体系教师版17\n7、下图是奥林匹克五环标志，五个圆圈内共分成了九个部分.请在这九个部分中填入1～9这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等.请问：这个和最小是多少？【分析】计算五个圈内各数之和的和，其中b、d、f、h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入小数时能使这个和取得最小值，b、d、f、h为1、2、3、4时，这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11．构造如图：8、将1～12这12个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和是多少？【分析】将图中6条直线上所有的数相加，相当于每个圆圈中的数算两次，和为2×（1+2+3+4+…+12）=156，另一方面，这正是每条直线上四个数之和的6倍，所以相等的和为156÷6=26.超常班学案【超常班学案1】把1～10这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等.如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.18第9级上超常体系教师版\n第9讲【分析】设每条直线上的四个数的和为S，则3S=1+2+3+…+10+2A=55+2A，所以（55+2A）是3的倍数，因此A可以取１，4，7，10，对应的S分别为19，21，23，25然后填出四组解分别如下图：【超常班学案2】在下图中，将1~9这九个数，填入圆圈内，使每个三角形三个顶点的数之和都相等．【分析】设每个三角形三个顶点的数之和为S，则3S=1+2+3+…+9=45，S=15．在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有8种，即三阶幻方的三横三竖及两对角线：(1、9、5)；(1、8、6)；(2、9、4)；(2、8、5)；(3、7、5)；(2、7、6)；(3、8、4)；(4、5、6)；观察九个数在上述8种情况下出现的次数看，数2、4、5、6、8都均出现了三次及以上，其他数均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的中间三个圆圈内，这样就得到本题的两个基本解．【超常班学案3】在图中每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中所填数的和都是234，那么，标有★的圆圈中所填的数是多少？第9级上超常体系教师版19\nab★xcde图6【分析】将一部分圆圈中的数用字母标出，标有★的圆圈中所填的数设为x，则有abedc234，axdxcebx234，可知abedc234234，所以3x234，x78．【超常班学案4】把1～12分别填入下图所示六角星的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整.【分析】627cc51a,9a,每行和93b618b填数为48101112,、、、、de2b18bde,1641216d4，e12627c18bc,3b1183,c11，b8,x10123班学案【超常123班学案1】如图，有一座长方形城堡，四周有十个掩体.守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？武器手枪步枪自动步枪冲锋枪轻机枪威力数12345武器重机枪迫击炮火箭筒加农炮榴弹炮威力数67891020第9级上超常体系教师版\n第9讲掩体掩体掩体掩体掩体城堡掩体掩体掩体掩体掩体【分析】设各边和为k，4k(12310)abcd55abcd55abcd最大为5578910=8989不是4的倍数，所以用88=5568910此时，k=22，构造如图（答案不唯一）：【超常123班学案2】在图中有6个正方形，请你将1～9填入图中各圆圈中，使得每个正方形的4个顶点上的数之和都相等.第9级上超常体系教师版21\n【分析】六个正方形的所有顶点上所填数的总和为6S，另一方面，ACGI计算了2次，BDFH计算了3次，E计算了4次，所以6S=（1+2+3+…+9）×2+（B+D+F+H）+2E，由于B+D+F+H=S，所以5S=90+2E，说明（90+2E）为5的倍数，因此E=5，S=20.这样每个小正方形上除中心圆圈外剩下的三个数（四个三角形）的和为15，且要求三数中不含5，结合三阶幻方的知识，B、D、F、H在四个三角形中计算两次，所以必须是2、4、6、8，然后填出完整的数阵图（答案不唯一）：【超常123班学案3】将1～12填入图中的12个区域内，使得每个圆圈内的4个数之和都等于25.【分析】如图，设每个区域内的数分别为a,b,c,d,e,f,g,所有数之和为：1+2+3+4+…+12=78，左右两个圆内四数之和为50，所以b=78-50-1-9-6=12上下两个圆之和为50，所以a+c=78-50-4-3=21=12+9=11+10，由于9已经用过，所以a+c=11+10；当a=10，c=11时，d+e=g+f,这时只剩下的数有：2、5、7、8，不能满足要求；当a=11，c=10时，d-f=6+12-4-11=3，所以d=8，f=5，e=2，g=7.得出答案如下图：【超常123班学案4】将0～9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的.请问：这个和最小是多少？最大是多少？22第9级上超常体系教师版\n第9讲【分析】设a+c+e+g+i=M,b+d+f+h+j=N,这个相等的和为x.则M+2N=5x，而M+N=0+1+2+…+9=45.那么45+N=5x，则要使x最小N=0+1+2+3+4.和最小为11，构造如图；要使x最大，N=9+8+7+6+5.和最大为16，构造如图:第9级上超常体系教师版23