第9讲第九讲数阵图综合知识站牌五年级秋季五年级秋季数字谜中的最值神奇的9五年级暑假数阵图综合四年级春季数独四年级春季横式数字谜复习数阵图；在数阵图进阶的基础上综合漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之.”河图洛书是最早的数阵图.其对中华文化的影响深远，明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，中华文化起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化.大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端.这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一.从洛书发端的幻方等数阵图在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题.教学目标1.能熟练掌握数阵图的基本解题思路，并能运用基本解题思路解决基本数阵图问题；2.掌握并运用幻方解决数阵图问题；3.能够理解并利用数阵图的基本解题思路解决复杂数阵图问题.经典精讲把一些数，按照一定的要求，排成各种各样的几何阵列，这样的图形叫做数阵图，数阵图是一类非常有趣而且奇特的数学问题．这类问题中，最早出现的是纵横图，也就是把数纵横排列成正方形.尽管数阵图各式各样，花样繁多，但数阵中线或区域上的数要求满足特定关系.数阵图大体可以分为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图解决数阵图问题的基本思路如下：1、区分数阵图中的普通格和关键格；2、利用所有数之和、幻和（关系线或关系区域上的数之和）的数量关系；确定关键格的可能值与幻和可能值；3、运用已经得到的信息进行尝试填图．2第9级上优秀A版教师版\n第9讲例题思路模块1：例1-3，基本数阵图例1：辐射型数阵图例2：封闭型数阵图例3：幻方变化型数阵图模块2：例4-5，复合型数阵例4：简单复合型数阵图例5：综合复合型数阵图例1（1）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等.如果中心圆内填的数相同，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.（2）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上的三个数和大圆上的三个数之和都等于10.（3）把1～7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上的三个数和两个圆上的三个数之和都相等.（学案对应：学案1）第9级上优秀A版教师版3\n【分析】（1）首先确定中间数：设每边和为k，(abc)(cde)(cfg)kkk(abcdefg)2c3k282c3k282c是3的倍数c14或或7k101214或或（2）先考虑三条直线，则30=1+2+3+4+5+6+7+2A=28+2A,A=1，如图所示（答案不唯一）：（3）设每条直线和大圆上的三个数相等的和为S，先考虑三条直线，则3S=1+2+3+4+5+6+7+2A=28+2A,说明（28+2A）是3的倍数，所以A可以取1,4,7再考虑两个大圆，则2S=28-A，说明（28-A）是2的倍数，所以A为偶数，所以A=4，如图所示（答案不唯一）：想想练练：把1～11这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等.如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.4第9级上优秀A版教师版\n第9讲【分析】首先确定中间数：设每边和为S，中间数为A，则5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，这说明（66＋4A）是5的倍数，所以A能取1,6,或11.例2把1～6这六个数填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最大是多少？并请给出一种填法.（学案对应：学案2）【分析】设每边之和为k，kkk123456abc3k21abck最大时3k21456k12想想练练：把1～6这六个数填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都等于10，请给出一种填法.第9级上优秀A版教师版5\n【分析】1+2+3+4+5+6+a+b+c=10×3，所以a+b+c=9，9=6+2+1=5+3+1=4+3+2，经试验，只有9=5+3+1时，可以满足要求，填法如图：例3把1，2，3，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个三角形及三条线段上3个数之和都相等．【分析】由三个三角形的和相等，可得和为45÷3=15，而1～9中三数之和为15的8种情况在三阶幻方中均出现了．原图中每个数在线段上，三角形中均出现了2次．因此可以在三阶幻方中选同一行(列)三数放入任一线段或三角形中，而对应的同一列(行)三数放入对应的三角形或线段中．下图是任意两种放法．想想练练：将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都等于14.6第9级上优秀A版教师版\n第9讲【分析】法1：由于每条线上各数相等，所以A+1+D=F+9+D，所以A-F=8，所以A=10，F=2，由B+E+2=B+3+10，得E=11，这时还剩三个数4、5、6，所以B+C+D=5+6+7=18，每条线上所有数之和为18，因此B=5，C=6，D=7，如图：法2：先把这9个数填入三阶幻方中，如左下图所示，然后顺时针旋转45度，然后依次填入即得到答案：幻方与反幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。而任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等的图表，称为“反幻方”。反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。如下图3阶反幻方的比较（图中边框外围的数之和就是幻和）：第9级上优秀A版教师版7\n例4将数0，1，2，，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和都等于14.（学案对应：学案3）【分析】先考虑除A以外的三个三角形，则3×14=1+2+…+9-A=45-A，所以A=3，因此B+C=D+E=F+G=11，11=2+9=4+7=5+6，将它们填入B、C、D、E、F、G中，最后填出所有数，如图所示(答案不唯一)例5将自然数1～11填入下图的11个圆圈内（其中3和8已填入），使得每条直线（共10条）上的三个数之和都相等.（学案对应：学案4）【分析】本题中A由5条线共有，因此，应当首先确定A以及每条直线三个数的和.设每条直线的三个数之和为S；首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=66+A，联立两式，解得A=6,S=(66+6)÷4=18.然后依次填出其它数，答案如图3：图1图2图38第9级上优秀A版教师版\n第9讲九株十行英国一位数学家1821年出了一道题智力题：春风艳阳暖，园中植树忙，每行植三株，九株栽十行。意思就是有九棵树，种成十行，要求每行要有三棵树，应该怎么种?答案：图中点表示树杯赛提高下图是有名的“六角幻方”：将1～19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等.美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答.如今已用计算机证明“六角幻方”也只有阿当斯构造的一种解，现在我们给大家填入了7个自然数，请你完成这个“六角幻方”.【分析】首先，根据每条线上的和相等，设这个和为s,只看横行可以得到5s=1+2+3+…+19=190，所以s=38,所以F=38-13-8-11=6;从而J38146171，K38111197，H38177122，D38192134，G190383（14+17+12）-(6+8+4+2+7+1）5，如图2表示：第9级上优秀A版教师版9\n图1图2最后剩下的数有3，9，10，15，16，18，由于A+M=38-8-5-7=18=3+15，L+M=21=3+18，所以M=3，A=15，L=18，从而E=9，I=16，B=10.答案如下：注：原题中14没有标出，但可以求出来，求法如下：将14的地方设为C，设外围12个数之和为x，因为A13B38，E11L38，M19I38，所以C1217x383，同理13+19+11=-383x，所以x157，C+12+17=13+19+11=43，C=14附加题1、如图所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等.【分析】由89a7ab，可得b=10，所以每条线上三个数的和为：8+3+10=21，从而填出其它数，如图：10第9级上优秀A版教师版\n第9讲2、将1～9分别填入图中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都相等.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.569【分析】设每个三角形的三数之和为S.则3S=1+2+…+9=45,所以S=15然后依次确定A=4，B=1，C=8，D=2，E=7，F=3，答案如图：7352468913、在图中的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数.现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好.【分析】最下面一行中间填（13+17）÷2=15.可以设A处为x，则B处为2x-15，C处为2x-17，D处为2x-13，如中下图，可以列方程2（2x-17）=2x-15+13，x=16.然后填出其它数，答案如右下图：4、将1～12这12个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这第9级上优秀A版教师版11\n个相等的和是多少？【分析】将图中6条直线上所有的数相加，相当于每个圆圈中的数算两次，和为2×（1+2+3+4+…+12）=156，另一方面，这正是每条直线上四个数之和的6倍，所以相等的和为156÷6=26.知识点总结数阵图大体可以分为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图解决数阵图问题的基本思路如下：1、区分数阵图中的普通格和关键格；2、利用所有数之和与幻和（关系线或关系区域上的数之和）的数量关系；确定关键格的可能值与幻和可能值.3、运用已经得到的信息进行尝试填图．家庭作业1、将1～6分别填入图中的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等.这个和最大是多少？并给出一种填法.【分析】设横行和竖行相等的和为S，则2S=1+2+…+6+A=21+A，所以A为奇数，A最大取5，此时和最大，最大为13，填法如图（答案不唯一）：12第9级上优秀A版教师版\n第9讲2、把1～6这六个数填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？并请给出一种填法.【分析】设每边之和为k，kkk123456abc3k21abck最小时3k21+123k93、在图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整.116976【分析】a9b76ba4，所以每条边上各数之和为：116421，然后填出其它数如图2图1图24、将1～5这5个数填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等.第9级上优秀A版教师版13\n【分析】我们先求出这个相等的和，我们发现，如果把每横行、竖行、大圆周和都加起来，相当于把每个圆圈里的数加两遍（1+2+3+4+5）×2=30.而这个相等的和加了三遍，这个相等的和为30÷3=10，经过调整，可填一种.5、将数0，1，2，，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和都等于13.【分析】先考虑除A以外的三个三角形，则3×13=1+2+…+9-A=45-A，所以A=6，因此B+C=D+E=F+G=7，7=0+7=1+6=2+5，将它们填入B、C、D、E、F、G中，最后填出所有数，如图所示（答案不唯一）：6、将自然数1～11填入下图的11个圆圈内（其中3和5已填入），使得每条直线（共10条）上的三个数之和都相等.14第9级上优秀A版教师版\n第9讲【分析】本题中A由5条线共有，因此，应当首先确定A以及每条直线三个数的和.设每条直线的三个数之和为S；首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=66+A，联立两式，解得A=6,S=(66+6)÷4=18.然后依次填出其它数，答案如图3：图1图2图3A版学案【学案1】如图，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.【分析】（9+1+a）+（9+7+c）+(9+9+b)=3（a+b+c）,可以得到每条线上的三个数的和：a+b+c=22,从而填出其他数如图：【学案2】把1～8这八个数填入图中的八个圆圈内，使得每条边上三个数之和都相等，那么这个和最大是多少？并请给出一种填法.第9级上优秀A版教师版15\n【分析】设每条边三个数之和为S，则4S=（1+2+…+8）+A+B+C+D=36+A+B+C+D，这说明（36＋A+B+C+D）是4的倍数，所以A+B+C+D之和为4的倍数，最大为24.此时S=15，24=8+7+6+3=8+7+5+4，经试验8+7+5+4不能构成，答案如下（不唯一）：【学案3】将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都等于14.【分析】除去A处的数，剩下的8个数恰好组成三行，也就是说1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=42.所以A=3，所以E+C=B+D=11=2+9=4+7=5+6，而C+D=22-（E+B）=22-14=8=1+7=2+6，所以C+D=2+6，又由于C+F=14，所以C=6，然后依次填出其它数，答案如图：【学案4】将自然数2～12填入下图的11个圆圈内（其中4和6已填入），使得每条直线（共10条）上的三个数之和都相等.16第9级上优秀A版教师版\n第9讲【分析】本题中A由5条线共有，因此，应当首先确定A以及每条直线三个数的和.设每条直线的三个数之和为S；首先考虑图1的五条直线，可得5S=（2+3+…+12）+4A=77+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=77+A，联立两式，解得A=7,S=(77+7)÷4=21.然后依次填出其它数，答案如图3：图1图2图3第9级上优秀A版教师版17