第10讲第十讲比和比例知识站牌五年级秋季五年级秋季定义新运算循环小数五年级暑假比和比例五年级暑假分数加减五年级暑假分数乘除比和比例意义及性质；比例方程；化连比漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入“÷”我们每一个人最熟悉的符号之一，在我们的数学学习和日常生活中几乎离不开它，可是别看它这么简单，关于它的形成还有段美丽的传说：由于历史和文化不同，在“÷”表示除法之前，除号有多种表示方法，其中有些国家用分数线作除号，另一些国家用“：”作除号，有一次来自不同国家的数学家在一起讨论问题，大家都说要用自己国家的除法符号表示除法，一直争论不休，差点打起来，最后决定让中立国的瑞士大数学家拉哈当法官进行裁判，他看了两国提供上来的符号，突然有灵感，将分数线和比号结合在一块，就形成了我们现在除法符号“÷”.但是后来发现“÷”这一个符号承担的东西太多，于是又将它拆开，用“－”和“：”表示除法的不同含义，前面我们学习了第一个内容——分数，今天我们将学习第二个内容——比和比例.教学目标1、理解比和意义和性质，能熟练利用比的性质化简比、求比值和化连比；2、理解比例的基本性质，能熟练利用比例的基本性质构造比例和解比例方程；经典精讲一、比的意义⑴34也可以写作3:4，读作3比4，比表示两个数的相除关系，两个数相除又叫做两个数的比，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，比的结果叫比值．⑵比与除法和分数的关系比除法分数前项被除数分子后项除数分母比值商分数值⑶比的性质由于3468，所以3:46:8，因此得到比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，比值不变.二、比例的意义（1）比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例.96如：12:154:5128组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.例如：2第9级上优秀A版教师版\n第10讲2.4:1.6=60:40内项外项在以上3个比例中，我们可以发现：12:154:5125154609698126721282.4:1.660:402.4401.66096（2）比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.解比例：根据比例的基本性质，如果我们已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项.求比例中的未知项，就叫做解比例.如：x:1201:55x12011201x5x24（3）比和比例的区别：比是表示两个数相除的关系；比由两项组成（前项、后项）；任意两个数都能组成比.比例是表示两个比相等的关系；比例由四项组成（两个内项、两个外项）；任意四个数不一定都能组成比例.三、正比例和反比例（选讲）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的比值一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系．如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用下面式子表示：y÷x=k（k一定）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面式子表示：x×y=k（k一定）例题思路模块1：例1-2，比的概念及性质例1：比的概念、例2：化简比、求比值模块2：例3-4，比例的基本性质及解比例例3：比例的基本性质例4：解比例模块3：例5，化连比例5：化连比第9级上优秀A版教师版3\n例11、在下列括号内填上适当的数（1）两个数相除又叫做这两个数的（）.（2）比的前项相当于除法的（），后项相当于（），比值相当于（）；比的前项相当于分数的（），后项相当于（），比值相当于（）.（3）比的基本性质：比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（零除外），比值（）.（4）六（1）班有男生21人，女生31人，男生与女生人数的比是（），男生与总人数的比是（）.（）（5）4:5==12：（）=（）÷25102、判断对错（1）50米：5米=10米.（）1（2）一杯盐水，盐占盐水的，盐和水的比是1∶9.（）10（3）4：3的后项加上6，要想比值不变，前项也要加上6.（）4（4）既可以看作分数，也可以看作比.（）5（5）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：100.（）（6）化简12：6的结果是2.（）【分析】1、（1）比（2）被除数除数商分子分母分数值（3）不变（4）21：3121：52（8）（5）4:5==12：（15）=（20）÷25102、（1）×（2）√（3）×（4）√（5）√（6）×错误答案简要说明：同类量的比，比值是一个比率，没有单位；不同类量的比，比值是一个量，有单位.因此1错；3题比的前项应该加8；化简比最终的形式仍然是比的形式，因此6题应该是2：1.例21、化简比（最终仍然是比的形式）12（1）15∶25（2）（3）1.2∶2.82772133（4）:（5）1:0.3（6）3:481645111321（7）6:12:18（8）::（9）::3454582、求比值（最终为整数、小数或分数形式）3524：120.12：0.0951204第9级上优秀A版教师版\n第10讲323:0.3:5米:1.5千米898（学案对应:学案1）【分析】1、化简比124（1）15：25=3：5（2）=（3）1.2：2.8=3：727972137371035（4）:2:3（5）1:0.3=：===35:681644104363（6）3:4=9:105（7）对于整数连比，只要除以它们的最大公因数；(6,12,18)66:12:18(66):(126):(186)1:2:3（8）对于含有分数和小数的连比，先化成整数连比，再化简.111111[3,4,5]60::(60):(60):(60)20:15:12345345321（9）::=3016:5：4582、求比值3572424:12=2=0.12：0.095=12024193227341:=0.3:=5米:1.5千米=891685300【教学提示】结合化简比和求比值，我们可以看出两者的相似之处.但它们是完全不同的两个概念：比值是一个数值，比是两数的关系.比值和比都可以用分数表示，但分数表达的意义是不同的，前者是一个数，后者是两数的关系.【想想练练】化简下列各比：801(1)(2)0.7:2(3)1.25:375升毫升12048080402【分析】（1）12012040317171（2）0.7:2:2(20):(220)14:4541041041或0.7:20.7:2.25(0.7100):(2.25100)70:225(705):(2255)14:454（3）1.25:375升毫升1250毫升:375毫升＝（1250125:375125）（）＝10:3第9级上优秀A版教师版5\n黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播得最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。例3下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：3,4,6,8（学案对应：学案2）【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.3:46:83:64:838464:38:66:38:4（注：4个数写成的比例是4个还是8个一直有争议，有老师认为3：4=6：8与6：8=3：4是不同的式子，因为它们的内外项发生变化；但从比例的定义入手，表示两个比相等的式子叫做比例，上面的式子仅仅是左右换了一个顺序，还是这两个式子，因此是一个比例.苏教版数学课本第43页题目如下：3：6=2：4，你能说出其他三个比例的内项和外项各是多少吗？）1【想想练练】一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是．8【分析】内项之积为1，所以另一个外项是8例4解下列的方程（1）x:2512:751（2）25:x:42x2（3）18126第9级上优秀A版教师版\n第10讲2x（4）4:325（学案对应：学案3）【分析】（1）75x2512，解得x4；1（2）x254，解得x2002（3）12x182，解得x32（4）x425，解得x1503例5(1)ab:3:2,:ac3:5，则abc::________(2)ab:4:3,:bc2:1，则abc::________(3)ab:2:3,:bc2:3,:cd2:3，则abcd:::________111(4)若abc::1:2:3，则::_____abc（学案对应：学案4）【分析】(1)3：2：5；(2)8：6：3；(3)8：12：18：27；(4)6：3：2【想想练练】甲、乙、丙、丁四个数，甲：乙=3:4，乙:丙=3:4，丙:丁=3:4则甲、乙、丙、丁四个数的比是.【分析】甲：乙：丙：丁27:36:48:64．黄金分割比你听说过黄金分割比吗？1：0.618是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。从古希腊以来，一直有人认为把黄金比应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉。在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，换言之，若人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接越近0.618，越给人以美感，若一个人身高是1.50米，那么他的下半身长度是多少时，才会给人以最美感?答案：0.927米杯赛提高213（1）甲、乙、丙三个数，甲的等于乙的，又等于丙的，则甲、乙、丙三个数的比是.745第9级上优秀A版教师版7\n11（2）甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数325和的，则甲、乙、丙三个数的比是.7【分析】（1）甲：乙：丙21:24:10．（2）由于三数和相同，[4,3,12]12，所以有甲（:乙丙）1:33:9，乙：（甲+丙）1:24:8，甲：（乙+丙）5:7，所以甲：乙：丙3:4:5．附加题1、（1）把144:63化成最简单的整数比是，读作．3（2）把:0.75化成最简单的整数比是，比值是．1012（3）把1:化成最简单的整数比是，比值是．43【分析】根据比的基本性质，我们可以让前项和后项同时乘以或除以一个数，使得前项和后项为两互质的整数.（1）144:63(1449):(639)16:7，读作“16比7”333332（2）:0.75:(203):(203)2:5，比值是10104104512525215（3）1:=:(12):(12)15:8，比值是43434381x32、（1）7x5（2）(3x2):(2x3)4:7【分析】（1）5(1x)3(7x)，解得x8（2）7(3x2)4(2x3)，解得x21233、（1）12:30:42（2）::234【分析】（1）对于整数连比，只要除以它们的最大公因数；(12,30,42)612:30:42(126):(306):(426)2:5:7（2）对于含有分数和小数的连比，先化成整数连比，再化简.123123[2,3,4]12::(12):(12):(12)6:8:92342344、（1）在一副地图上，用3厘米的线段表示18千米的实际距离，这副地图的比例尺是多少？（2）一个电子零件的实际距离是2毫米，画在图纸上的长度是4厘米，这张图纸的比例尺是多少？（3）在比例尺为1:1000的地图上，量得一栋大厦的地基（长方形）的长为8厘米，宽5厘米，这栋大厦地基的实际的长和和宽分别是多少米？面积是多少？（4）一副地图上，用5厘米的距离表示实际距离1500千米.在这副地图上量得A、B两地的距离是3.5厘米，如果甲乙两辆汽车同时分别从AB两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行57千米，几小时相遇？8第9级上优秀A版教师版\n第10讲【分析】（1）比例尺=图上距离：实际距离，18千米=1800000厘米，3:1800000=1:600000（2）比例尺=图上距离：实际距离，4厘米=40毫米，40:2=20:111（3）实际距离=图上距离÷比例尺，长：8÷=8000厘米=80米，宽：5÷=5000厘10001000米=50米，面积为80×50=4000平方米53.5（4）同一张地图上比例尺一样，设A、B两地相距x千米，，解得x=1050千米，1500x相遇时间：1050÷（48+57）=10小时知识点总结一、比的意义：比：两个数相除就叫做两个数的比比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变二、比例的基本性质：外项积等于内项积；若a:b=c:d则ad=bc家庭作业1、判断对错（1）化简15：5的结果是3.（）1（2）一杯盐水，盐占盐水的，盐和水的比是1∶10.（）10（3）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：99.（）（4）4：3的后项加上9，要想比值不变，前项也要加上9.（）（5）30米：5米=6米.（）（6）一个比的前项与后项同时扩大3倍，则比值也扩大3倍.（）【分析】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）×（6）×2、化简下列各比：403(1)(2)0.3:4(3)6.25:375米毫米72044040401【分析】（1）72072040183319419（2）0.3:4:(20):(20)8:954104104（3）6.25:375米毫米6250毫米:375毫米=（6250125:375125）（）=50:323、求比值27：6339:520.6:1153329【分析】27：63=39:52=0.6:1=741517第9级上优秀A版教师版9\n54、一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是，另一个内项是．66【分析】外项之积为1，所以另一个内项是5x25、解下列的方程（1）25:x10:4（2）157.5【分析】（1）10x254，解得x10（2）7.5x215，解得x46、甲、乙、丙三个数，甲数与乙数的比是3:7，乙数与丙数的比是4:3，则甲、乙、丙三个数的比是多少？【分析】甲：乙：丙12:28:21A版学案2732【学案1】把下面比化成最简比：（1）39:26（2）（3）:13545【分析】根据比的基本性质，我们可以让前项和后项同时乘以或除以一个数，使得前项和后项为两互质的整数.（1）39:26(3913):(2613)3:2272793（2）=3:141261269143232（3）:(20):(20)15:84545【学案2】下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：（1）45,7,9,（2）2,4,7,14【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.（1）找不到乘积两两相等的关系，所以不能（2）214472:74:142:47:14214474:214:77:214:4【学案3】解下列的方程5（1）x:24:621（2）20:x:435【分析】（1）6x24，解得x10；210第9级上优秀A版教师版\n第10讲1（2）x204，解得x240323【学案4】甲、乙两个数，甲的等于乙的，则甲、乙两个数的比是.74【分析】甲：乙21:8第9级上优秀A版教师版11